课时梯级训练(13) 圆的方程的应用（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

课时梯级训练(13)　圆的方程的应用 1．苏州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥(如图)的跨度|AB|＝100 m，拱高|OP|＝10 m，在建造圆拱桥时每隔5 m需用一根支柱支撑，则与OP相距30 m的支柱MN的高度是(参考数据：≈3.162)(　　) A．6.48 m B．5.48 m C．4.48 m D．3.48 m A　解析：以O为原点，以AB所在直线为x轴，以OP所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系． 设圆心坐标为(0，a)，则P(0，10)，A(－50，0). 可设圆拱所在圆的方程为x2＋(y－a)2＝r2，由题意可得 解得a＝－120，r2＝16 900. 所以所求圆的方程为x2＋(y＋120)2＝16 900. 将x＝－30代入圆的方程，得900＋(y＋120)2＝16 900， 因为y>0，所以y＝40－120≈40×3.162－120＝6.48. 2．点P(x，y)是直线2x＋y－5＝0上任意一点，O是坐标原点，则以OP为直径的圆经过定点(　　) A．(0，0)和(1，1) B．(0，0)和(2，2) C．(0，0)和(1，2) D．(0，0)和(2，1) D　解析：设点P(t，5－2t)，则线段OP的中点为M(，)， 圆M的半径为|OM|＝＝， 所以以OP为直径的圆的方程为(x－)2＋(y－)2＝， 即x2＋y2－tx＋(2t－5)y＝0，即(x2＋y2－5y)＋t(2y－x)＝0， 由解得或 故以OP为直径的圆经过定点的坐标为(0，0)和(2，1). 3．已知a与b为单位向量，且a⊥b，向量c满足|c－a－b|＝2，则|c|的可能取值有(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 D　解析：设＝a，＝b，＝c， 以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，的方向为y轴的正方向建立坐标系， 则A(1，0)，B(0，1)，设C(x，y)，则c－a－b＝(x－1，y－1)， 若|c－a－b|＝2，则(x－1)2＋(y－1)2＝4， 则C在以(1，1)为圆心，半径为2的圆上． 设(1，1)为点M，则|OM|＝， 则r－|OM|≤|OC|≤r＋|OM|， 即2－≤|OC|≤2＋， 则|c|的取值范围为[2－，2＋]. 4．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋线”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，8，13，…为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如图为该螺旋线在边长为1，1，2，3，5，8的正方形中的部分，建立平面直角坐标系(规定小方格的边长为1)，则接下来的一段圆弧所在圆的方程为________． 答案：(x＋4)2＋(y－2)2＝169　解析：根据题意，接下来的一段圆弧所在圆的半径r＝5＋8＝13，其圆心为(－4，2)(根据题中图象规律发现)，则其标准方程为(x＋4)2＋(y－2)2＝169. 5．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0和直线l：3x－4y＋9＝0，点P是圆C上的动点． (1)求圆C的圆心坐标及半径； (2)求点P到直线l的距离的最小值． 解：(1)将圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9， 所以圆C的圆心坐标为(1，－2)，半径为3. (2)因为圆心到直线l的距离为d＝＝4， 所以点P到直线l的距离的最小值为4－3＝1. 6．(多选)已知直线l：mx－(2－m)y＋1－m＝0，圆C：(x－1)2＋y2＝1，则(　　) A．存在一个实数m，使直线l经过圆心C B．无论m为何值，直线l与圆C一定有两个公共点 C．圆心C到直线l的最大距离是 D．当m＝1时，圆C关于直线l对称的圆的方程为x2＋(y－1)2＝1 BCD　解析：圆心C的坐标为(1，0)，代入直线l的方程，得m＋1－m＝0，无解，所以不论m为何值，圆心C都不在直线l上，A项错误； 直线l的方程可整理为m(x＋y－1)－2y＋1＝0，由得即直线l过定点M(，)，所以|MC|＝＝<1，所以点M在圆C内部，所以直线l与圆C一定有两个公共点，B项正确； 设直线l与圆相交于A，B两点，弦AB中点为N，则CN⊥AB，|CN|为C到直线AB的距离，显然|CN|≤|CM|，N，M，重合时取等号，故圆心C到直线l的最大距离为|MC|＝，C项正确； 当m＝1时，直线l的方程为x－y＝0，点C(1，0)关于直线l的对称点为(0，1)，因此所求的圆的方程为x2＋(y－1)2＝1，D项正确． 7．若直线kx＋y＋2－2k＝0与曲线＋1＝x有两个不同的交点，则实数k的取值范围是(　　) A．(－∞，－1－)∪[5，＋∞) B．(，4] C．[－2，－1＋)∪(，2] D．(，＋∞) A　解析：直线kx＋y＋2－2k＝0恒过定点P(2，－2)，斜率为－k，曲线＋1＝x，即(x－1)2＋(y－1)2＝4(x≥1)，是圆心为C(1，1)，半径r＝2，在直线x＝1右侧的半圆，半圆弧端点A(1，－1)，B(1，3)， 在同一坐标系内作出直线kx＋y＋2－2k＝0与半圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝4(x≥1)，如图， 当直线kx＋y＋2－2k＝0与半圆C相切时， 由＝2，得－k＝＋1， 又kPB＝－5， 所以当－k>＋1或－k≤－5时，直线与曲线有两个不同的交点，所以k<－1－或k≥5. 8．已知直线l：2mx－y－8m－3＝0，则直线过定点__________，该直线被圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0截得的最短弦长为________． 答案：(4，－3)　2　解析：将直线l变形得2m(x－4)＝y＋3，即直线l恒过定点P(4，－3)，将圆的方程化为(x－3)2＋(y＋6)2＝25.显然点P在圆内．当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，直线l被圆所截得的弦AB的长度最短，此时PC⊥l. 又kPC＝＝3， 所以直线l的斜率为－， 则2m＝－，所以m＝－. 因为|PC|＝，|AC|＝5， 所以|AB|＝2＝2. 故当m＝－时，直线l被圆C截得的弦长最短，最短弦长为2. 9．在一个平面上，机器人在以点C(3，－3)为圆心，以8为半径的圆上运动，它在运动的过程中到经过点A(－10，0)与B(0，10)的直线的最短距离为________． 答案：8－8　解析：由题意知机器人运动的轨迹方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝64，直线AB的方程为＋＝1，即为x－y＋10＝0， 则圆心C到直线AB的距离为d＝＝8>8，即直线与圆相离，故机器人与直线AB的最短距离为8－8. 10．若对圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上任意一点P(x，y)，|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是(　　) A.a≤－4 B．－4≤a≤6 C．a≤－4或a≥6 D．a≥6 D　解析：依题意|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|＝5(＋)表示点P(x，y)到两条平行直线3x－4y＋a＝0和3x－4y－9＝0的距离之和的5倍．因为这个距离之和与x，y无关，所以两条平行直线3x－4y＋a＝0和3x－4y－9＝0在圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的两侧，画出示意图如图，故圆心(1，1)到直线3x－4y＋a＝0的距离d＝≥1，解得a≤－4(舍去)或a≥6. 学科网（北京）股份有限公司 $$