第1章 2.4 圆与圆的位置关系-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“圆与圆的位置关系”核心知识点，通过类比圆与直线位置关系，从公共点个数（0、1、2）及数量关系（圆心距d与半径r1、r2）系统梳理外离、内含、相交、内切、外切的判断方法，构建完整知识支架。 资料以奥运五环等生活实例导入培养数学眼光，通过思考问题驱动探究，例题与跟踪训练结合，运用几何法和代数法发展数学思维，公共弦长求法体现数形结合，课中助教师高效教学，课后助学生回顾强化、弥补知识盲点。

2．4　圆与圆的位置关系 新课导入 学习目标 　　圆与圆之间的关系是日常生活中经常见到的现象，如奥运五环、自行车轮、啮合的齿轮等，你知道这些圆有着怎样的位置关系吗？本节课我们一起来探讨吧！ 　　 上图反映了圆与圆的位置关系．本节课我们类比上一节课研究圆与圆的位置关系． 1.了解圆与圆的位置关系. 2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法. 　3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题． 知识点一　圆与圆位置关系的判断 思考1　两个半径不同的圆的公共点个数出现几种情况？每种情况对应的圆的位置关系一样吗？ 提示：公共点个数有0个、1个及2个的情况，其中当公共点个数为0时，位置关系有外离和内含；当公共点个数为1时，位置关系有外切和内切；当公共点个数为2时，位置关系为相交． 思考2　通过哪些数量关系可以判断圆与圆的位置关系？ 提示：可以用两圆的圆心距与两圆半径长度之间的关系判断． [知识梳理] 1．代数法 通过两圆方程组成的方程组的实数解的个数进行判断． 2．几何法 若两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，则两圆有以下位置关系： 位置关系 公共点 个数 圆心距与半 径的关系 图示 两圆外离 0 d>r1＋r2 两圆内含 d<|r1－r2| 两圆相交 2 |r1－r2|<d<r1＋r2 两圆内切 1 d＝|r1－r2| 两圆外切 d＝r1＋r2 [例1] (对接教材例9)已知两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0. (1)当a＝1时，两圆位置关系如何？ (2)当a为何值时，两圆外切、内切？ 【解】　(1)当a＝1时，圆C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆C2：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆心C1(1，－2)，半径r1＝3，圆心C2(－1，1)，半径r2＝2，所以圆心距d＝|C1C2|＝＝，r1＋r2＝5，r1－r2＝1，因为1<<5，所以两圆相交． (2)由x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0， 可得(x－a)2＋(y＋2)2＝9， 即圆心为C1(a，－2)，半径r1＝3， 由x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0，可得(x＋1)2＋(y－a)2＝4， 即圆心为C2(－1，a)，半径r2＝2， 所以圆心距d＝，若两圆外切， 则d＝＝r1＋r2＝5， 即a2＋3a－10＝(a＋5)(a－2)＝0， 所以a＝－5或a＝2. 若两圆内切，则d＝＝r1－r2＝1， 即a2＋3a＋2＝(a＋2)(a＋1)＝0， 所以a＝－2或a＝－1. 判断两圆位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆半径的和或差的绝对值与圆心距作比较，得到两圆的位置关系． (2)代数法：把两圆位置关系的判断问题转化为方程组的解的个数问题． [跟踪训练1] (1)(2026·榆林期中)圆C1：(x＋3)2＋(y－2)2＝9与圆C2：(x＋7)2＋(y＋1)2＝4的位置关系是(　　) A．相交 B．内切 C．外切 D．内含 解析：选C．由圆C1：(x＋3)2＋(y－2)2＝9的圆心C1(－3，2)，半径为R1＝3， 与圆C2：(x＋7)2＋(y＋1)2＝4的圆心C2(－7，－1)，半径为R2＝2， 得圆心距|C1C2|＝＝5＝3＋2＝R1＋R2，所以两圆的位置关系是外切． (2)圆(x－a)2＋(y－2a－3)2＝9上总存在两个点到(2，3)的距离为1，则a的取值范围是________． 解析：圆(x－a)2＋(y－2a－3)2＝9上总存在两个点到(2，3)的距离为1，则以(2，3)为圆心，1为半径的圆与已知圆相交，可得3－1<<3＋1，即解得－<a<0或<a<2，即a的取值范围是(－，0)∪(，2). 答案：(－，0)∪(，2) 知识点二　两圆的相切问题 [例2] (1)(多选)(2026·黔南期中)已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－a)2＝9有且只有一个公共点，则a的值可能是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)经过点(0，4)，且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0相切于原点的圆的方程为___________________________________________________________. 【解析】　(1)由题意知，圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径为r1＝1， 圆C2：x2＋(y－a)2＝9的圆心为C2(0，a)，半径为r2＝3. 因为两圆只有一个公共点，所以两圆内切或外切， 当两圆外切时，|C1C2|＝|a|＝r1＋r2＝4， 当两圆内切时，|C1C2|＝|a|＝r2－r1＝2. 故a＝±2或a＝±4. (2)由题意知圆C的标准方程为(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，圆心为C(－5，－5)，半径r＝5，所求圆与圆C切于原点，则圆心在直线y＝x上，设圆心为(a，a)，又圆过点(0，4)及原点，所以圆心(a，a)在直线y＝2上，即a＝2，r＝2，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8. 【答案】　(1)BD　(2)(x－2)2＋(y－2)2＝8 处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论． (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切)或两圆半径之和(外切). [跟踪训练2] (1)若圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：(x－4)2＋(y－3)2＝m外切，则m的值是(　　) A．16 B．8 C．4 D．1 解析：选C．圆C1：x2＋y2＝9，则圆心C1(0，0)，半径r1＝3； 圆C2：(x－4)2＋(y－3)2＝m，则圆心C2(4，3)，半径r2＝， 则|C1C2|＝＝5＝r1＋r2＝3＋，则＝2，解得m＝4. (2)(2026·重庆期中)已知圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4，试写出一个半径为1，且与y轴和圆C都相切的圆的标准方程：____________． 解析：由图可知，满足题意的圆共有四个： 设与圆C内切的圆O1(1，a)，故有＝2－1，解得a＝1， 故圆O1的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1； 当圆心横坐标为－1且与圆C外切时，设圆心为O2(－1，b)，故有＝2＋1，解得b＝1，故圆O2的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1； 当圆心横坐标为1且与圆C外切时，设圆心为(1，c)，则有＝1＋2，整理得c2－2c－7＝0，解得c＝1±2. 由对称性可知，c的两解即O3，O4的纵坐标． 因此，满足题意的圆共有四个： O1：(x－1)2＋(y－1)2＝1，O2：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，O3：(x－1)2＋(y－1－2)2＝1，O4：(x－1)2＋(y－1＋2)2＝1，选择其中一个即可． 答案：(x－1)2＋(y－1)2＝1(答案不唯一) 知识点三　相交圆问题 [例3] (2026·石家庄期中)已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)与圆D：(x＋2)2＋(y－1)2＝9. (1)若圆C与圆D相交，求r的取值范围； (2)若r＝1，求圆C与圆D的公共弦长． 【解】　(1)圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)的圆心C(1，0)，半径为r， 圆D：(x＋2)2＋(y－1)2＝9的圆心D(－2，1)，半径为3，则|CD|＝＝，由圆C与圆D相交得|r－3|＜|CD|＜r＋3，即|r－3|＜＜r＋3，解得－3＜r＜＋3， 所以r的取值范围是(－3，＋3). (2)当r＝1时，圆C：(x－1)2＋y2＝1，圆C与圆D的方程相减整理得3x－y－2＝0， 所以圆C与圆D的公共弦所在的直线方程为3x－y－2＝0， 点C到直线3x－y－2＝0的距离为d＝＝，所以公共弦长为2＝. 两圆公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 常用结论　若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. [跟踪训练3] 已知圆P：(x－2)2＋(y－3)2＝9，点Q(－2，－3)，以PQ为直径作圆M，与圆P相交于A，B两点． (1)证明：QA与圆P相切； (2)求直线AB的方程． 解：(1)证明：因为PQ为圆M的直径，所以∠PAQ为直径PQ所对的圆周角，所以∠PAQ＝90°，所以PA⊥QA，所以直线QA与圆P相切． (2)由题意可知，点P的坐标为(2，3)， 则|PQ|＝＝2，PQ的中点M坐标为(0，0)，所以圆M的半径r＝＝，所以圆M的方程为x2＋y2＝13，联立 两式相减可得4x＋6y－17＝0，因为圆M与圆P相交于A，B两点，所以直线AB的方程为4x＋6y－17＝0. 1．(教材P39练习T1改编)圆C1：x2＋y2＋2x－4y＝4与圆C2：(x－1)2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相离 B．相切 C．相交 D．内含 解析：选C．圆C1化为标准方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，其圆心为C1(－1，2)，半径为r1＝3，圆C2的圆心为C2(1，0)，半径为r2＝1，因为|C1C2|＝＝2，r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，所以两圆相交． 2．(多选)点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，则(　　) A．两个圆外离 B．|PQ|的最小值为2 C．|PQ|的最大值为7 D．两个圆心所在直线的斜率为－ 解析：选ACD．由题意得，C1(0，0)，半径R1＝1，C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝1，C2(3，－4)，半径R2＝1，圆心距为|C1C2|＝＝5，对于A，圆心距|C1C2|＝5>R1＋R2＝2，所以两个圆外离，A正确；对于B，C，因为点P在圆C1上，点Q在圆C2上，|PQ|min＝|C1C2|－R1－R2＝3，|PQ|max＝|C1C2|＋R1＋R2＝7，故B错误，C正确；对于D，两个圆心所在直线的斜率为kC1C2＝＝－，D正确． 3．已知圆M：x2＋y2－2ay＋a2－4＝0与圆N：x2＋y2－4x＋3＝0有4条公切线，则a的取值范围为____________． 解析：由题可得，圆M：x2＋(y－a)2＝4，圆心为(0，a)，半径为2，圆N：(x－2)2＋y2＝1，圆心为(2，0)，半径为1.因为两圆有4条公切线，所以两圆外离，故圆心距|MN|＝>3，解得a∈(－∞，－)∪(，＋∞). 答案：(－∞，－)∪(，＋∞) 4．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求： (1)m取何值时两圆外切？ (2)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 解：(1)易得两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m(m<61)，设圆心分别为M(1，3)，N(5，6)，半径分别为和，当两圆外切时，满足＝＋，解得m＝25＋10. (2)当m＝45时，有＝4，则4－<<4＋，所以两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程为x2＋y2－2x－6y－1－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0，圆心M(1，3)到直线4x＋3y－23＝0的距离为d＝＝2，所以公共弦长l＝2×＝2. 1．已学习：两圆的位置关系的判定、两圆的相切问题、两圆的公共弦问题． 2．须贯通：判断两圆位置关系的方法有代数法和几何法，解决两圆相切与公共弦问题利用数形结合思想，可减少运算量． 3．应注意：解决两圆相切问题时，要分清两圆是内切还是外切． 学科网（北京）股份有限公司 $