课时梯级训练(10) 圆的一般方程（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

课时梯级训练(10)　圆的一般方程 1．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则实数k的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(3，＋∞) C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－，＋∞) A　解析：方程可化为(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2>0，即k<－1时才能表示圆． 2．如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0关于直线y＝2x对称，那么(　　) A．D＝2E B．E＝2D C．E＋2D＝0 D．D＝E B　解析：若圆关于直线y＝2x对称，则圆心(－，－)在直线y＝2x上， 即－＝2(－)，故E＝2D. 3．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是(　　) A．一个点 B．一个圆 C．一条直线 D．不存在 A　解析：方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0， 即(x－1)2＋(y＋2)2＝0， 所以方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2). 4．圆2x2＋2y2－4ax＋12ay＋16a2＝0(a<0)的周长等于(　　) A．2πa B．－2πa C．2πa2 D．－πa B　解析：原方程配方得(x－a)2＋(y＋3a)2＝2a2. 因为a<0，所以半径r＝－a， 所以圆的周长为2π×(－a)＝－2πa. 5．(多选)使方程x2＋y2－ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的实数a的可能取值为(　　) A．－2 B．0 C．－1 D． BC　解析：将x2＋y2－ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0，配方得(x－)2＋(y＋a)2＝－a2－a＋1. 若该方程表示圆，则－a2－a＋1>0， 解得－2<a<.故选BC. 6．(多选)已知圆心为C的圆x2＋y2－4x＋6y＋11＝0与点A(0，－5)，则(　　) A．圆C的半径为2 B．点A在圆C外 C．点A与圆C上任一点距离的最大值为3 D．点A与圆C上任一点距离的最小值为 BCD　解析：依题意，圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝2，则圆心C(2，－3)，半径r＝，A项不正确； 因为|AC|＝＝2>r，所以点A在圆C外，B项正确； 因为点A在圆C外，在圆C上任取点P，所以|PA|≤|PC|＋|CA|＝r＋|CA|＝3，当且仅当P，C，A三点共线，且P在线段AC延长线上时取等号，C正确； 在圆C上任取点M，则|MA|≥|CA|－|MC|＝|CA|－r＝，当且仅当C，M，A三点共线，且M在线段CA上时取等号，D正确． 7．点P(x0，y0)是圆x2＋y2＝16上的动点，点M是OP(O为原点)的中点，则动点M的轨迹方程为__________． 答案：x2＋y2＝4　解析：设M(x，y)，则即又(x0，y0)在圆上， ∴4x2＋4y2＝16，即x2＋y2＝4. 8．点P(1，－2)和圆C：x2＋y2＋m2x＋y＋m2＝0的位置关系是__________． 答案：点P在圆C外　解析：将点P(1，－2)代入圆的方程，得1＋4＋m2－2＋m2＝2m2＋3>0，∴点P在圆C外． 9．(1)已知△ABC的三个顶点A(－3，0)，B(3，－2)，C(0，1)，求△ABC外接圆的方程． (2)已知圆C过点M(0，－2)，N(3，1)，且圆心C在直线x＋2y＋1＝0上，求圆C的标准方程． 解：(1)设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 因为A(－3，0)，B(3，－2)，C(0，1)在圆上， 可得解得 所以△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋x＋5y－6＝0. (2)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 则有解得 所以圆C的方程为x2＋y2－6x＋4y＋4＝0， 化为标准方程为(x－3)3＋(y＋2)2＝9. 10．已知点P(1，2)为圆x2＋y2＋x－4y＋m＝0外一点，则实数m的取值范围为(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，) C．(2，] D．(2，) D　解析：因为P(1，2)在圆外，所以12＋22＋1－8＋m>0，得m>2. 又x2＋y2＋x－4y＋m＝0表示圆，所以12＋(－4)2－4m>0，得m<. 综上，m的取值范围为(2，).故选D. 11．圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，则＋b的值为(　　) A．1 B． C．3 D．6 A　解析：由圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0可得标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝39. ∵圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称， ∴该直线经过圆心(－2，6)，即－2a－6b＋6＝0，∴＋b＝1. 12．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是______. 答案：(－2，－4)　5　解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得(x＋)2＋(y＋1)2＝－＜0，不表示圆； 当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5. 13．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)所表示的图形是圆． (1)求t的取值范围； (2)求其中面积最大的圆的方程； (3)若点P(3，4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围． 解：(1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9 ＝－7t2＋6t＋1， 由r2＝－7t2＋6t＋1＞0，得－＜t＜1. (2)∵r＝＝， ∵∈(－，1)， ∴当t＝时，圆的面积最大，rmax＝. 所对应的圆的方程为(x－)2＋(y＋)2＝. (3)∵当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)×4t2＋16t4＋9＜0时，点P恒在圆内， ∴8t2－6t＜0，∴0＜t＜. 14．已知圆C：x2＋y2＋2x－2my－4－4m＝0(m∈R)，则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为(　　) A． B．6 C．－1 D．＋1 D　解析：由x2＋y2＋2x－2my－4－4m＝0，得(x＋1)2＋(y－m)2＝m2＋4m＋5， ∴圆心为C(－1，m)，半径为r＝＝≥1， 当m＝－2时，半径最小，则面积也最小，∴圆心为C(－1，－2)，半径为r＝1， ∴圆心到坐标原点的距离为d＝＝>r， 即原点在圆C外．根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为d＋r＝＋1. 15．点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 解：(1)设线段AP的中点为M(x，y)(x≠2)，由中点坐标公式得点P坐标为P(2x－2，2y)(x≠2). ∵点P在圆x2＋y2＝4上， ∴(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2). (2)设线段PQ的中点为N(x0，y0)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ， ∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， ∴x＋y＋(x0－1)2＋(y0－1)2＝4， 故线段PQ的中点N的轨迹方程为x＋y－x0－y0－1＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$