课时梯级训练(9) 圆的标准方程（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

课时梯级训练(9)　圆的标准方程 1．圆心是(4，0)，且过点(2，2)的圆的标准方程为(　　) A．(x－3)2＋(y＋4)2＝2 B．(x－4)2＋y2＝2 C．(x－3)2＋(y＋4)2＝8 D．(x－4)2＋y2＝8 D　解析：易知r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8， ∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8. 2．已知圆的方程(x－2)2＋(y＋8)2＝9，则过坐标原点和圆心的直线方程为(　　) A．4x－y＝0 B．4x＋y＝0 C．x－4y＝0 D．x＋4y＝0 B　解析：由圆的标准方程，知圆心为(2，－8)，所以过坐标原点和圆心的直线方程为y＝－4x，即4x＋y＝0. 3．点M(a，a＋1)与圆C：(x－1)2＋y2＝1的关系是(　　) A．M在C外 B．M在C上 C．M在C内 D．不确定与a的取值有关 A　解析：因为圆心C(1，0)，|MC|＝＝≥＞1，故选A. 4．设A(2，－1)，B(4，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　) A．(x－3)2＋y2＝2 B．(x－3)2＋y2＝8 C．(x＋3)2＋y2＝2 D．(x＋3)2＋y2＝8 A　解析：直径|AB|＝＝2，所以半径为，圆心坐标(3，0)，则圆的方程为(x－3)2＋y2＝2. 5．(多选)已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则下列点在圆外的是(　　) A．(－3，2) B．(3，2) C．(1，4) D．(1，1) AD　解析：因为(－3－2)2＋(2－3)2＝26>4，所以点P(－3，2)在圆外． 因为(3－2)2＋(2－3)2＝2<4，所以点P(3，2)在圆内． 因为(1－2)2＋(4－3)2＝2<4，所以点P(1，4)在圆内． 因为(1－2)2＋(1－3)2＝5>4，所以点P(1，1)在圆外． 6．(多选)圆上的点(2，1)关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是(　　) A．x2＋y2＝5 B．(x－1)2＋(y－3)2＝5 C．x2＋(y－2)2＝5 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝5 AD　解析：由题意可知圆心在直线x＋y＝0上，设圆心坐标为(a，－a)， 则(2－a)2＋(1＋a)2＝5，解得a＝0或a＝1， ∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5或x2＋y2＝5. 7．圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)，则圆的标准方程为__________． 答案：x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25　解析：设圆心为C(0，b)， 则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，∴b＝0或b＝－8， ∴圆心C的坐标为(0，0)或(0，－8). 又r＝5， ∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. 8．已知圆C的圆心在直线x＋2y－1＝0上，点(3，0)与(1，－2)都在圆C上，则圆C的面积为________． 答案：4π　解析：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 所以解得所以圆的面积S＝πr2＝4π. 9．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求该三角形的外接圆的标准方程． 解：方法一　设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 因为A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程， 于是有 解得 故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25. 方法二　因为A(0，5)，B(1，－2)，所以线段AB的中点的坐标为(，)，直线AB的斜率kAB＝＝－7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y－＝(x－)，即x－7y＋10＝0.同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0. 由得圆心的坐标为(－3，1)， 又圆的半径r＝＝5， 故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25. 10．圆心在y轴上，半径为1且过点(－1，2)的圆的方程为(　　) A．x2＋(y－3)2＝1 B．x2＋(y－2)2＝1 C．(x－2)2＋y2＝1 D．(x＋2)2＋y2＝1 B　解析：设圆心(0，b)，则x2＋(y－b)2＝1.又圆过点(－1，2)，代入得b＝2， ∴圆的方程为x2＋(y－2)2＝1. 11．方程y＝－表示的曲线是(　　) 　 A　解析：对y＝－两边平方，整理得x2＋y2＝4(y≤0). 所以，此方程表示圆心为坐标原点，半径为2的圆在x轴及下方的部分，A选项满足． 12．已知M(2，0)，N(10，0)，P(11，3)，Q(6，1)四点，试判断它们是否共圆，并说明理由． 解：设M，N，P三点确定的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， ∴解得 ∴过点M，N，P的圆的方程为(x－6)2＋(y－3)2＝25. 将点Q的坐标(6，1)代入方程左端，得(6－6)2＋(1－3)2＝4＜25， ∴点Q不在圆(x－6)2＋(y－3)2＝25上， ∴M，N，P，Q四点不共圆． 13．过点A(1，－1)与B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程为(　　) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x－1)2＋(y－1)2＝4 C．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 B　解析：线段AB的中点为(0，0)，AB的斜率为－1， 所以线段AB的垂直平分线方程为y＝x. 由可得圆心为(1，1). 半径为圆心到点A的距离2， 所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 14．已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为(　　) A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52 B　解析：如图，结合圆的性质可知，坐标原点在圆上，圆的半径为r＝＝. 故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13. 学科网（北京）股份有限公司 $$