阶段质量检测(一) 第1章 直线与圆（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

阶段质量检测(一) (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线y＝x＋1的倾斜角为(　　) A． B． C． D． B　解析：直线y＝x＋1的斜率k＝1， 故倾斜角为. 2．若直线x＋y－1＝0与直线2x＋my＋3＝0平行，则它们之间的距离是(　　) A．1 B． C．3 D．4 B　解析：由直线x＋y－1＝0与直线2x＋my＋3＝0平行，可得2－m＝0， 解得m＝2，则直线x＋y－1＝0与直线2x＋2y＋3＝0之间的距离为＝. 3．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为(　　) A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－1)2＋(y－1)2＝8 B　解析：因为直径的两端点分别为(0，2)，(2，0)， 所以圆心为(1，1)，半径为. 故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 4．若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　　) A． B．－ C．1 D．－1 A　解析：由题可知圆心为(a，0)，因为直线2x＋y－1＝0是圆的对称轴，所以圆心在直线上， 即2a＋0－1＝0，解得a＝. 5．已知圆C1：x2＋y2－2x＝0，圆C2：(x－3)2＋(y－1)2＝4，则C1与C2的位置关系是(　　) A．外切 B．内切 C．相交 D．外离 C　解析：圆C1的圆心为(1，0)，r1＝1， 圆C2的圆心为(3，1)，r2＝2， 所以r2－r1<|C1C2|＝＝<r2＋r1， 所以圆C1与C2的位置关系是相交．故选C. 6．若点P(x，y)在以A(－3，1)，B(－1，0)，C(－2，0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界)，则的取值范围是(　　) A．[，1] B．(，1) C．[，1] D．(，1) D　解析：令k＝，则k可以看成过点D(1，2)和P(x，y)的直线斜率．如图，显然kAD是最小值，kBD是最大值．kAD＝＝，kBD＝＝1，由于不包含边界，所以k∈(，1). 7．与圆(x＋2)2＋(y－6)2＝1关于直线3x－4y＋5＝0对称的圆的方程是(　　) A．(x＋4)2＋(y＋2)2＝1 B．(x－4)2＋(y－2)2＝1 C．(x－4)2＋(y＋2)2＝1 D．(x＋4)2＋(y－2)2＝1 C　解析：设圆心(－2，6)关于直线3x－4y＋5＝0对称的点的坐标为(m，n)， 所以 解得 故对称圆的圆心为(4，－2)，对称圆的半径和原来的圆一样． 故对称圆的方程为(x－4)2＋(y＋2)2＝1.故选C. 8．在平面直角坐标系xOy中，以点(0，1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为(　　) A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2 C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16 B　解析：由直线x－by＋2b＋1＝0可得该直线过定点A(－1，2). 设圆心为B(0，1)，由题意可知要使所求圆的半径最大， 则rmax＝|AB|＝＝， 所以半径最大的圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2.故选B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线l：x＋by＋1＝0与圆C：(x＋b)2＋(y＋2)2＝8相交于A，B两点，且△ABC是顶角为的等腰三角形，则b的值可能为(　　) A．－1 B．－ C． D．1 BD　解析：圆C：(x＋b)2＋(y＋2)2＝8的圆心为(－b，－2)，半径为2， 由题意△ABC是顶角为的等腰三角形可知，圆心到直线l的距离为，即＝，解得b＝1或b＝－. 10．对于直线l1：ax＋2y＋3a＝0，l2：3x＋(a－1)y＋3－a＝0.以下说法正确的有(　　) A．l1∥l2的充要条件是a＝3 B．当a＝时，l1⊥l2 C．直线l1一定经过点M(3，0) D．点P(1，3)到直线l1的距离的最大值为5 BD　解析：当l1∥l2时，a(a－1)－6＝0， 解得a＝3或a＝－2， 当a＝－2时，两直线为l1：x－y＋3＝0， l2：x－y＋＝0，符合题意； 当a＝3时，两直线为l1：3x＋2y＋9＝0， l2：3x＋2y＝0，符合题意，故A项错误； 当a＝时，两直线为l1：x＋5y＋3＝0， l2：15x－3y＋13＝0，kl1·kl2＝－×5＝－1， 所以l1⊥l2，故B项正确； 直线l1：ax＋2y＋3a＝0即直线a(x＋3)＋2y＝0， 故直线过定点(－3，0)，故C项错误； 因为直线l1：ax＋2y＋3a＝0过定点(－3，0)，当直线l1：ax＋2y＋3a＝0与点P(1，3)和(－3，0)的连线垂直时，P(1，3)到直线l1的距离最大，最大值为＝5，故D项正确． 11．已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　) A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当∠PBA最小时，|PB|＝3 D．当∠PBA最大时，|PB|＝3 ACD　解析：圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，半径为4， 直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0， 圆心M到直线AB的距离为＝＝>4， 所以点P到直线AB的距离的最小值为－4<2，最大值为＋4<10， A项正确，B项错误； 如图，当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP，BM，可知PM⊥PB， ＝＝，＝4，由勾股定理， 可得＝＝3，C，D项正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．经过点(1，1)，且方向向量为(1，2)的直线方程是______________． 答案：2x－y－1＝0　解析：∵直线的方向向量为(1，2)， ∴直线的斜率k＝2， ∴直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. 13．过点A(4，0)作圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的切线，切点为B，则切线长|AB|是__________，切线方程是________. 答案：2　y＝(x－4)或y＝(x－4)　解析：设圆心为C，半径为r＝1， 由(x－1)2＋(y－2)2＝1，可知圆心坐标为C(1，2)，半径r＝1， ∴|AB|＝＝＝2. 设切线方程为y＝k(x－4)，则＝1， 解得k＝， 故切线方程为y＝(x－4)和y＝·(x－4). 14．已知点A(1，0)，B(3，0)，若·＝2，则点P到直线l：3x－y＋4＝0的距离的最小值为__________． 答案：－　解析：设点P的坐标为(x，y)， ∴＝(1－x，－y)，＝(3－x，－y). ∵·＝(1－x)(3－x)＋y2＝2， ∴(x－2)2＋y2＝3， 即P的轨迹是以(2，0)为圆心，为半径的圆．又点(2，0)到直线l的最短距离为，则可得点P到直线l的距离的最小值为－. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(13分)直线l1经过点A(1，－2)与点B(2，1)，直线l2经过点P(0，－1). (1)求直线l1的方程； (2)若点A，B到直线l2的距离相等，求直线l2的方程． 解：(1)由题设kl1＝＝3， 所以l1：y－1＝3(x－2)， 即3x－y－5＝0. (2)①若l1∥l2，则l2：y＋1＝3x， 整理得l2：3x－y－1＝0. ②若l2过AB的中点(，－)， 于是kl2＝＝， 则l2：y＋1＝x， 整理得l2：x－3y－3＝0. 所以直线l2的方程为3x－y－1＝0或x－3y－3＝0. 16．(15分)已知直线l：x－y＋c＝0，圆M：(x－2)2＋(y＋2)2＝1. (1)写出圆M的圆心坐标和半径r的值； (2)当直线l过圆心M时，求c的值； (3)若直线l与圆M有公共点，求c的取值范围. 解：(1)因为M：(x－2)2＋(y＋2)2＝1， 所以圆M的圆心坐标为(2，－2)，半径r＝1. (2)因为直线l过圆心M，将(2，－2)代入l：x－y＋c＝0， 得2－(－2)＋c＝0， 所以c＝－4. (3)因为直线l与圆M有公共点， 所以圆心M(2，－2)到直线l：x－y＋c＝0的距离小于等于半径， 即≤1， 所以－4－≤c≤－4＋， 即c∈[－4－，－4＋]. 17．(15分)在①圆经过点C(3，4)；②圆心在直线x＋y－2＝0上；③圆截y轴所得弦长为8且圆心M的坐标为整数，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解． 已知圆M经过点A(－1，2)，B(6，3)且______． (1)求圆M的方程； (2)求以(2，1)为中点的弦所在的直线方程． 解：(1)选条件①.设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意得 解得 所以圆M的方程为x2＋y2－6x＋2y－15＝0，即(x－3)2＋(y＋1)2＝25. 选条件②.设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意得 解得 所以圆M的方程为x2＋y2－6x＋2y－15＝0，即(x－3)2＋(y＋1)2＝25. 选条件③.设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得① 因为圆M截y轴所得弦长为8， 所以方程y2＋Ey＋F＝0有两个不等的实数根y1，y2，且|y1－y2|＝＝＝8， 即E2－4F＝64，② 由①②可得D＝－6，E＝2，F＝－15或D＝－，E＝－，F＝， 又因为圆心M的坐标为整数， 所以D＝－6，E＝2，F＝－15. 故圆M的方程为x2＋y2－6x＋2y－15＝0， 即(x－3)2＋(y＋1)2＝25. (2)由(1)知圆心M的坐标为(3，－1)，弦的中点为N(2，1)，弦的斜率k＝－＝－＝， 所以弦所在的直线方程为y－1＝(x－2)，即x－2y＝0. 18．(17分)已知圆O：x2＋y2＝1. (1)求过点(1，2)与圆O相切的直线方程； (2)点P(x0，y0)在直线l：3x＋2y－4＝0上，若在圆O上存在两个不同的点A，B，使＋＝，求x0的取值范围． 解：(1)当切线斜率不存在时，直线x＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，此时切线方程为x＝1， 当切线斜率存在时，设切线斜率为k，直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0， 因此有＝1，解得k＝，此时直线方程为3x－4y＋5＝0， 所以过点(1，2)与圆O相切的直线方程为x＝1和3x－4y＋5＝0. (2)如图，＋＝，故四边形OAPB为平行四边形，因为OA＝OB，所以四边形OAPB为菱形，故OP与AB互相垂直平分，则线段OP的中点在圆O内，因此<1， 即x＋y<4，又3x0＋2y0－4＝0， 即y0＝2－x0， 因此x＋(2－x0)2<4， 解得0<x0<， 所以实数x0的取值范围是(0，). 19．(17分)已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点． (1)求点M的轨迹方程； (2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积． 解：(1)由圆C：x2＋y2－8y＝0， 即x2＋(y－4)2＝16， ∴圆C的圆心坐标为C(0，4)，半径r＝4. 设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y). 由题意可得·＝0， 即x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0， 整理得(x－1)2＋(y－3)2＝2， ∴M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2. (2)由(1)知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆，由于|OP|＝|OM|， 故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上， ∴ON⊥PM. ∵kON＝3， ∴直线l的斜率为－， ∴直线l的方程为y－2＝－(x－2)， 即x＋3y－8＝0， 则O到直线l的距离为＝. 又N到l的距离为＝， ∴|PM|＝2＝. ∴S△POM＝××＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$