第2章 3.2 抛物线的简单几何性质（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

圆锥曲线 3.2　抛物线的简单几何性质 第二章 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 学习目标 1.了解抛物线的简单几何性质． 2．能利用性质解决与抛物线有关的问题． 3．能用方程与数形结合思想解决焦点弦问题． 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 图形 范围 x≥0， y∈R ___________ ____________ ___________ x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 对称轴 x轴 ______ ______ ______ 顶点坐标 O(0，0) 离心率 e＝__ x轴 y轴 y轴 1 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 AD 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 课时梯级训练（19） 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 知识点一　抛物线的几何性质 已知抛物线C：y2＝2px(p>0). 1．如何判断抛物线C的对称性？ 2．类比椭圆、双曲线的范围，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的范围怎样确定？ 抛物线的几何性质 抛物线的离心率等于1，只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有对称中心，也没有渐近线. D [例1] (1)设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　) A．(6，＋∞) B．[6，＋∞) C．(3，＋∞) D．[3，＋∞) C (2)(2024·淮北高二期末检测)双曲线C1：x2－＝1(a>0)的一个焦点与抛物线C2：y2＝8x的焦点重合，则双曲线的离心率为(　　) A. B． C．2 D．3 (1)∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴＝3，即p＝6. 又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞). (2)抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，即为双曲线的一个焦点坐标，所以c＝2，所以双曲线的离心率为e＝＝2. 抛物线各元素间的关系 (1)抛物线的焦点在其对称轴上． (2)顶点就是抛物线与对称轴的交点． (3)准线与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称． (4)顶点到焦点的距离与顶点到准线的距离均为. [练1] 已知圆x2＋y2＝1与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则p等于(　　) A． B． C． D． 因为四边形ABCD是矩形，所以由抛物线与圆的对称性知，弦AB为抛物线y2＝2px(p＞0)的通径，因为圆的半径为1，抛物线的通径为2p，所以＋p2＝1，解得p＝. [练2] 已知圆(x－2)2＋y2＝42与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则p＝__________. 答案：4　 由题意，抛物线的准线方程为x＝－，则圆心(2，0)到准线的距离为d＝2＋＝4，解得p＝4. 知识点二　抛物线几何性质的应用 抛物线的几何性质有范围、对称性、定点、焦点、离心率等，抛物线的这些性质有何应用？在解决与抛物线有关的问题给我们带来什么方便呢？ 设曲线f(x，y)＝0上任意点P(x，y)， 若点(x，－y)满足方程f(x，y)＝0，说明f(x，y)＝0关于x轴对称； 若点(－x，y)满足方程f(x，y)＝0，说明f(x，y)＝0关于y轴对称； 若点(－x，－y)满足方程f(x，y)＝0，说明f(x，y)＝0关于原点对称． [例2] (1)已知点(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋3的最小值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．0 (2)已知正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上．求这个正三角形的边长． (1)因为点(x，y)在抛物线y2＝4x上，所以x≥0， 因为z＝x2＋y2＋3＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2， 所以当x＝0时，z最小，最小值为3. (2)设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则y＝2px1(p>0)，y＝2px2(p>0). 由|OA|＝|OB|，得x＋y＝x＋y，即(x1＋x2)(x1－x2)＝2px2－2px1. ∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0. ∵x1>0，x2>0，2p>0， ∴x1－x2＝0，即x1＝x2. 由此可知|y1|＝|y2|，即点A，B关于x轴对称， ∴AB⊥x轴，且∠AOx＝30°， ∴＝tan 30°＝. ∵x1＝，∴y1＝2p，|AB|＝2y1＝4p. ∴这个正三角形的边长为4p. 利用抛物线的性质的基本应用 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题． (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题． (4)焦点：解决焦点弦问题. [练3] 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作直线AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M. (1)求抛物线的方程； (2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标． (1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－， 由题意，得4＋＝5，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x. (2)由(1)及题意，得A(4，4)，B(0，4)，M(0，2). 又因为F(1，0)，所以kFA＝. 因为MN⊥FA，所以kMN＝－. 又FA的方程为y＝(x－1)，① MN的方程为y－2＝－x，② 联立①②，解得x＝，y＝，所以点N的坐标为. 知识点三　抛物线方程的实际应用 在现实生活中，有许多问题与抛物线有关，如卫星接收天线、抛物面反光镜、隧道的横断面等，如何利用抛物线的知识解决这些问题呢？ (1)解抛物线应用问题的关键是把实际问题转化为数学问题，即通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题． (2)在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样标准方程不仅具有对称性，而且不含常数项，形式更为简单，便于应用． [例3] 一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求使卡车通过的a的最小整数值． 以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点B的坐标为，如图所示． 设隧道所在抛物线方程为x2＝my(m<0)， 则＝m·，∴m＝－a，即抛物 线方程为x2＝－ay. 将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82＝－ay，即y＝－. 欲使卡车通过隧道，应有 y－＞3，即－＞3. ∵a＞0，∴a＞12.21.∴a应取最小整数值13. 求抛物线实际应用问题的基本步骤 (1)建立适当的坐标系． (2)设出合适的抛物线标准方程． (3)通过计算求出抛物线的标准方程． (4)求出需要求出的量． (5)还原到实际问题中，从而解决实际问题． [练4] 如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的钢筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口圆的直径为12 m，镜深2 m，若把盛水和食物的容器近似地看作点，求每根铁筋的长度为多少米． 如图，在反光镜的轴截面内建立平面直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于镜口圆的直径． 由已知，得A点坐标是(2，6)， 设抛物线方程为y2＝2px(p>0)， 则36＝2p×2，解得p＝9. 所以所求抛物线的标准方程是y2＝18x， 焦点坐标是F.因为盛水和食物的容器在焦点处，所以A，F两点间的距离即为每根铁筋长． |AF|＝＝6.5，故每根铁筋的长度是6.5 m． 1．知识清单 (1)抛物线的几何性质； (2)抛物线几何性质的应用； (3)利用抛物线的标准方程及其性质解决实际问题． 2．方法归纳：方程思想、数形结合思想、转化与化归思想． 3．常见误区 (1)与抛物线有关的最值问题要注意范围； (2)注意实际问题中，变量的取值问题． ◎随堂演练 1．抛物线x2＝4y的对称轴是直线(　　) A．x＝－2 B．y＝2 C．y＝0 D．x＝0 因为抛物线x2＝4y，所以其关于y轴对称，即对称轴为直线x＝0. 2．若点(m，n)在抛物线y2＝－13x上，则下列点中一定在该抛物线上的是(　　) A．(－m，－n) B．(m，－n) C．(－m，n) D．(－n，－m) 由抛物线关于x轴对称易知，点(m，－n)一定在该抛物线上． 3．(多选)关于抛物线y2＝－2x，下列说法正确的是(　　) A．开口向左 B．焦点坐标为(－1，0) C．准线方程为x＝1 D．对称轴为x轴 因为y2＝－2x，开口向左，故A正确；又因为y2＝－2x，焦点坐标为，故B错误；因为y2＝－2x，准线方程为x＝，故C错误；又因为y2＝－2x，对称轴为x轴，故D正确． 4．某抛物线形拱桥跨度是20 m，拱桥高度是4 m，在建桥时，每4 m需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长． 如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0). 依题意知，点P(10，－4)在抛物线上， ∴100＝－2p×(－4)，2p＝25. 即抛物线方程为x2＝－25y. ∵每4 m需用一根支柱支撑， ∴支柱横坐标分别为－6，－2，2，6. 由图知，AB是最长的支柱之一，点B的坐标为(2，yB)，代入x2＝－25y，得yB＝－.点A(2，－4)， ∴|AB|＝4－＝3.84， 即最长支柱的长为3.84 m． $$