第2章 2.2 双曲线的简单几何性质（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

圆锥曲线 2.2　双曲线的简单几何性质 第二章 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 学习目标 1.了解双曲线的简单几何性质． 2．理解双曲线的渐近线及离心率的意义． 3．会利用双曲线的几何性质解决一些简单的问题． 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 (－a，0)，(a，0) 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R 顶点 ___________________ _________________ 对称性 对称轴：___________；对称中心：________ 轴长 实轴长＝_____，虚轴长＝_____ (0，－a)，(0，a) x轴、y轴 坐标原点 2a 2b 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 1 就越大 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 A 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 A 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 课时梯级训练（17） 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 知识点一　双曲线的范围及对称性 在学习椭圆时，我们用椭圆方程研究了椭圆的几何性质，那么是否可以类比来获得双曲线的几何性质呢？已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，双曲线C有怎样的对称性？为什么？ 标准 方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图形 过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F1(－c，0)垂直于x轴的弦AB即焦点弦，则|AB|＝. A [例1] (1)若直线x＝t与双曲线－y2＝1有两个交点，则t的值可以是(　　) A．4 B．2 C．1 D．－2 BD (2)(多选)已知双曲线－＝1，则(　　) A．焦点坐标是(0，±) B．焦点坐标是(±，0) C．虚轴长为3 D．实轴长为4 (1)在－y2＝1中，x≥2或x≤－2， 当t＝－2或t＝2时，直线与双曲线均只有一个交点； 当t>2或t<－2时，直线与双曲线有两个交点； 当－2<t<2时，直线与双曲线无交点．综上，A选项正确． (2)因为双曲线方程为－＝1，焦点在x轴，所以a＝2，b＝3，c＝＝， 所以焦点坐标为(±，0)，故A错误，B正确；虚轴长为6，故C错误；实轴长为4，故D正确． 探究双曲线几何性质的方法 看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这是依据方程求参数a，b，c值进而求顶点及实虚轴长的关键． [练1] 已知双曲线C：－＝1(m>0)的虚轴长是实轴长的2倍，则C的焦距为__________. 答案：2　 由题意可知，双曲线中b＝2a，故b2＝4a2，即m＋9＝4m，所以m＝3. 故c2＝m＋m＋9＝15. 故焦距为2c＝2. [练2] 若坐标原点O和点F(－2，0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的最小值为__________. 答案：3＋2 ∵F(－2，0)是已知双曲线的左焦点， ∴a2＋1＝4，即a2＝3.∴双曲线方程为－y2＝1. 设点P(x0，y0)，则有－y＝1(x0≥)，解得y＝－1(x0≥). ∵＝(x0＋2，y0)，＝(x0，y0)， ∴·＝x0(x0＋2)＋y ＝x0(x0＋2)＋－1＝＋2x0－1. ∵x0≥， 根据二次函数的单调性分析可知＋2x0－1在[，＋∞)上单调递增， ∴当x0＝时，·取得最小值为×3＋2－1＝3＋2. 知识点二　双曲线的离心率 椭圆的离心率刻画椭圆的扁圆程度，那么双曲线有离心率吗？双曲线的离心率刻画了双曲线的什么呢？ (1)双曲线的离心率e＝_____，离心率的范围：e>__． (2)因为e＝＝＝，所以离心率越大，双曲线的开口______． 双曲线的离心率刻画了双曲线的开口程度． 等轴双曲线a＝b，所以离心率e＝. [例2] (1)(2024·阜阳高二期末检测)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l经过点F2且与该双曲线的右支交于A，B两点，若△AF1B的周长为7a，则该双曲线离心率的取值范围是(　　) A. B． C． D． (2)双曲线－＝1的离心率e＝2，则m＝__________. (3)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，若满足|PF2|＝|F1F2|，∠F2F1P＝，则该双曲线的离心率为______. 12 (1)根据双曲线定义知，△AF1B的周长为4a＋2|AB|，而|AB|≥， 所以4a＋2|AB|≥4a＋，而△AF1B的周长为7a，所以4a＋≤7a，即4b2≤3a2，所以4(c2－a2)≤3a2，解得e≤， 所以该双曲线离心率的取值范围是. (2)由双曲线－＝1可得a＝2.又因为双曲线－＝1的离心率e＝2，所以c＝4，则m＝b2＝c2－a2＝16－4＝12. (3)因为|PF2|＝|F1F2|＝2c，∠F2F1P＝，所以|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|cos ∠F2F1P， 即4c2＝|PF1|2＋4c2－2|PF1|·2c×， 所以|PF1|＝2c.又|PF1|－|PF2|＝2a， 所以2c－2c＝2a，即e＝＝. 求双曲线的离心率的方法 (1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得a，c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值； (2)齐次式法：由已知条件得出关于a，c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解； (3)特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. [练3] 已知双曲线C：x2－＝1经过点(，2)，则离心率为__________. 答案： 双曲线x2－＝1经过点(，2)，所以2－＝1，解得m＝4，所以双曲线方程为x2－＝1，所以双曲线焦点在x轴上，a＝1，b＝2，c＝，所以离心率为e＝. 知识点三　双曲线的渐近线 双曲线的渐近线是双曲线特有的性质，双曲线的渐近线有何作用呢？双曲线渐近线的斜率能否刻画双曲线的张口大小？ (2)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)渐近线方程为y＝________. ±x (1)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)渐近线方程为y＝_______． ±x (1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同． (2)若已知双曲线的渐近线方程为ax±by＝0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，此方程为共渐近线的双曲线系方程． [例3] (1)若直线y＝3x－1与双曲线C：x2－my2＝1的一条渐近线平行，则实数m的值为(　　) A． B．9 C． D．3 (2)(2024·梧州高二期末检测)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率e＝__________. (1)C：x2－my2＝1的渐近线方程满足x＝±y.因为双曲线C的一条渐近线与y＝3x－1平行，所以渐近线方程为y＝±3x，故m＝. (2)因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x＝±x， 所以双曲线的焦点在x轴上，且＝， 所以双曲线的离心率e＝＝＝. 巧设双曲线方程的方法 (1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a＞0，b＞0). (2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a＞0，b＞0). (3)与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ<a2). (4)与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0). (5)渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0). [练4] 双曲线－＝1上任意一点到两条渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率e＝(　　) A． B． C． D． 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上的点P(x0，y0)满足b2x－a2y＝a2b2，点P到两条渐近线bx±ay＝0的距离之积为d1d2＝×＝＝， ∴e2＝，故e＝. 1．知识清单 (1)双曲线的几何性质； (2)注意双曲线性质间的联系，尤其是双曲线的渐近线斜率与离心率之间的联系； (3)椭圆、双曲线的标准方程都可写成Ax2＋By2＝1的形式，当A>0，B>0且A≠B时表示椭圆，当AB<0时表示双曲线． 2．方法归纳 (1)双曲线的离心率、渐近线，要注意数形结合； (2)与双曲线有关求解或求参数的值(或范围)，要注意方程思想． 3．常见误区 (1)由双曲线的方程求双曲线的几何性质时，要特别注意焦点所在的位置，防止将焦点坐标和渐近线方程写错； (2)方程Ax2＋By2＝1不一定表示椭圆、双曲线，一定要注意讨论． ◎随堂演练 1．双曲线－＝1的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 由已知得a＝，b＝， 则双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x. 2．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x 因为2b＝2，所以b＝1， 因为2c＝2，所以c＝， 所以a＝＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x. 3．双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标为______，离心率为______. 答案：(－1，0)，(1，0)　　 将4x2－y2＝4变形为x2－＝1， ∴a＝1，b＝2，c＝， ∴顶点坐标为(－1，0)，(1，0)，e＝＝. $$