第2章 2.1 双曲线及其标准方程（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

圆锥曲线 §2　双曲线 2．1　双曲线及其标准方程 第二章 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 学习目标 1.了解双曲线的定义． 2．了解双曲线的图形及其标准方程． 3．能利用双曲线的定义和待定系数法求双曲线的标准方程． 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 差的绝对值 双曲线 焦点 焦距 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 C 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 (a>0，b>0) (a>0，b>0) (0，－c) (0，c) a2＋b2 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 sin ∠F1PF2 |yP| c 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 课时梯级训练（16） 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 知识点一　双曲线的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆．那么双曲线的定义又是怎样的呢？ 平面内到两个定点F1，F2的距离之__________等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作______．这两个定点F1，F2叫作双曲线的____，两个焦点间的距离|F1F2|叫作双曲线的____． (1)由双曲线定义可知，当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． (2)双曲线定义中，将“差的绝对值”改为“差”，其他条件不变，动点的轨迹是双曲线的一支． [例1] (1)已知F1(－8，3)，F2(2，3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则点P的轨迹是(　　) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线 D (2)双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，到F1，F2的距离差为6且|PF1|＝20，则|PF2|等于(　　) A.14 B．26 C．14或26 D．16或24 C (1)F1，F2是定点且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线． (2)由已知||PF1|－|PF2||＝6且|PF1|＝20，故||PF2|－20|＝6，解得|PF2|＝14或26. 双曲线定义的应用 (1)求动点的轨迹； (2)实现两个焦半径之间的相互转化； (3)将两个焦半径之差的绝对值看成一个整体，求解定值问题． [练1] 动点P到点M(1，0)及点N(5，0)的距离之差为2a，则当a＝1和a＝2时，点P的轨迹分别是(　　) A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线 由题意，知|MN|＝4，当a＝1时，|PM|－|PN|＝2a＝2<4，此时点P的轨迹是双曲线的一支； 当a＝2时，|PM|－|PN|＝2a＝4＝|MN|，点P的轨迹为以N为端点沿x轴向右的一条射线． 知识点二　双曲线的标准方程 在平面直角坐标系中，圆、椭圆都有标准方程，那么双曲线在平面直角坐标系中有什么样的方程？如何求双曲线的标准方程呢？ 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1 ____________ －＝1 __________ 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1_________，F2________ 焦距 |F1F2|＝2c a，b，c的关系 c2＝__________ (1)“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上． (2)双曲线中c2＝a2＋b2，易与椭圆中a2＝b2＋c2混淆． [例2] (1)双曲线C的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线C的标准方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 (2)过点(3，－4)和的双曲线的标准方程为__________. －＝1 (1)因为2a＝|－|＝4， 所以a＝2.又c＝6， 所以b2＝c2－a2＝36－20＝16. 所以双曲线C的标准方程为－＝1. (2)设所求双曲线方程为Ax2－By2＝1(AB>0)， 则解得 所以双曲线的标准方程为－＝1. 1．求双曲线标准方程的方法 (1)定义法：根据双曲线的定义，判断出轨迹，然后写出方程． (2)待定系数法：根据双曲线焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而求得标准方程． 2．如果双曲线的焦点位置不能确定，可设方程为Ax2－By2＝1(AB>0). A [练2] (2024·宿州高二期末检测)已知A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C为其中一个焦点的椭圆过A，B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为(　　) A．y2－＝1(y≤－1) B．y2－＝1(y≥1) C．－x2＝1(y≤－4) D．－x2＝1(y≥4) 因为A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，所以|AC|＝＝13，|BC|＝＝15，|AB|＝14. 因为A，B都在椭圆上， 所以|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2<14， 故F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支， 又2c＝|AB|＝14，2a＝|AF|－|BF|＝2，即c＝7，a＝1，所以b2＝48， 因此F的轨迹方程是y2－＝1(y≤－1). 知识点三　双曲线中的焦点三角形 同椭圆一样，在平面直角坐标系中，双曲线的两个焦点与双曲线上某一点构成一个三角形，该三角形称为焦点三角形，该三角形与双曲线的哪些元素有关，解决与该三角形有关的问题需要注意哪些问题呢？ (1)焦点三角形：对于双曲线上一点P与双曲线的两焦点F1，F2构成的△F1PF2称为焦点三角形． (2)三角形面积：S＝|PF1|·|PF2|·____________＝|F1F2|·___＝___·|yP|. [例3] 已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． 由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5. 由双曲线定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°， 所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|＝64， 所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2 ＝×64×＝16. 焦点三角形问题的解题策略 (1)常用定义，即|PF1|－|PF2|＝±2a. (2)在焦点三角形中利用正、余弦定理． (3)求焦点三角形面积时，把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无须单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量． [练3] 设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为(　　) A． B．3 C． D．2 由已知，不妨设F1(－2，0)，F2(2，0)， 则a＝1，c＝2.因为|OP|＝2＝|F1F2|， 所以点P在以F1F2为直径的圆上， 即△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形， 故|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 即|PF1|2＋|PF2|2＝16. 又||PF1|－|PF2||＝2a＝2， 所以4＝||PF1|－|PF2||2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝16－2|PF1||PF2|， 解得|PF1||PF2|＝6，所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝3. 1．知识清单 (1)双曲线的定义及其标准方程； (2)求双曲线方程的方法； (3)双曲线的焦点三角形问题． 2．方法归纳 (1)利用双曲线方程的定义求双曲线标准方程常常涉及分类讨论思想； (2)求双曲线的标准方程可用待定系数法、方程思想． 3．常见误区 (1)平面内到两定点距离之差的绝对值等于常数的点的集合不一定是双曲线； (2)Ax2＋By2＝1，其中AB<0，表示的双曲线其焦点位置不确定． ◎随堂演练 1．已知动点P(x，y)在双曲线－＝1上，则(　　) A．－＝4 B．－＝4 C．|－|＝4 D．|－|＝4 利用双曲线定义可知选项D正确． 2．双曲线－＝1的焦距为(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 双曲线－＝1中，a＝，b＝，c＝2，所以双曲线的焦距为4. 3．相距1 400 m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3 s，已知声速是340 m/s，则炮弹爆炸点的轨迹是(　　) A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 设炮弹爆炸点为P，则||PA|－|PB||＝3×340＝1 020<1 400，故炮弹爆炸点的轨迹是双曲线． 4．与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程为__________. 答案：－＝1　 方法一　设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， 由题意易求得c＝2. 又双曲线过点(3，2)，∴－＝1. 又∵a2＋b2＝(2)2，∴a2＝12，b2＝8. 故所求双曲线方程为－＝1. 方法二　设双曲线方程为－＝1(－4<k<16)，将点(3，2)代入得k＝4(k＝－14舍去)， ∴所求双曲线方程为－＝1. $$