第2章 1.2 椭圆的简单几何性质（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

圆锥曲线 1．2　椭圆的简单几何性质 第二章 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 学习目标 1.掌握椭圆的简单几何性质． 2．了解离心率对椭圆扁平程度的影响． 3．掌握椭圆标准方程中的a，b，c，e的几何意义以及相互关系． 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　   焦点在x轴上 焦点在y轴上 对称性 对称轴_____________，对称中心___________ 范围 _____________________ －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 _____________________ ______________________ _______________________ _________________________ 轴长 短轴长＝______，长轴长＝________ 焦点 ____________________ ____________________ 焦距 |F1F2|＝____ x轴和y轴 (0，0) －a≤x≤a且－b≤y≤b A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 2b 2a F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 2c 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 C 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 0 1 扁 圆 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 C 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 课时梯级训练（15） 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 知识点一　椭圆的几何性质 上一节课我们学习了椭圆方程，椭圆有哪些几何性质呢，如何用椭圆方程研究椭圆的几何性质呢？ 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 椭圆上的点到焦点的最大距离为a＋c；最小距离为a－c. [例1] (1)焦点在x轴上的椭圆＋＝1的长轴长为4，则其焦距为__________. (2)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P是椭圆上的任一点，则·的最大值为__________. 6 6 (1)由题意得2|a|＝4， 所以a2＝12，c2＝a2－b2＝12－3＝9，即c＝3， 故焦距为2c＝6. (2)由椭圆＋＝1，可得点F(－1，0)，点O(0，0)， 设P(x，y)，x∈[－2，2]，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2， 当且仅当x＝2时，·取得最大值为6. 探究椭圆几何性质的方法 (1)看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这是依据方程求参数a，b，c值的关键． (2)写顶点坐标、焦点坐标时，需先由方程确定焦点所在的坐标轴，否则易出错． [练1] 某地全域旅游地图如图所示，它的外轮廓线是椭圆，根据图中的数据可得该椭圆的焦距为(　　) A．2 B．8 C．4 D．6 由题图可知长轴长为2a＝26， 短轴长为2b＝18，所以a＝13，b＝9， 故焦距为2＝4. [练2] 已知点A(m，n)在椭圆＋＝1上，则2m2＋n2的最大值是(　　) A．6 B．8 C．3 D．2 由题意可得＋＝1， 则m2＝4－2n2，故2m2＋n2＝8－3n2. 因为－≤n≤，所以0≤n2≤2， 所以2≤8－3n2≤8，即2≤2m2＋n2≤8. 因此，2m2＋n2的最大值是8. 知识点二　由椭圆的几何性质求标准方程 椭圆的几何性质是由椭圆的方程得出的．那么，如果已知椭圆的几何性质，如何求椭圆的标准方程呢？ (1)在椭圆的性质中，与形状有关的，有长轴长、短轴长、焦距； (2)在椭圆的性质中，与位置有关的，有顶点坐标、焦点坐标等． [例2] 长轴长为10，焦点坐标为(0，－3)，(0，3)的椭圆方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 由题得椭圆焦点在y轴上，且2a＝10，得a＝5.由焦点坐标为(0，－3)，(0，3)，得c＝3，所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，所以椭圆的标准方程为＋＝1. 已知椭圆的简单性质求标准方程的思路 一看题目的条件能否确定焦点所在的坐标轴，当不能确定焦点所在的坐标轴时，需分焦点在x轴上或在y轴上进行讨论． 二看由条件能否求得a，b，从而求得标准方程． C [练3] 已知方程＋＝1表示椭圆，则实数k的取值范围是(　　) A．(1，9) B．(－∞，9) C．(1，5)∪(5，9) D．(1，＋∞) 因为方程＋＝1表示椭圆，所以有 解得1<k<5或5<k<9.故实数k的取值范围为(1，5)∪(5，9). 知识点三　椭圆的离心率 椭圆好像是一个被压扁了的圆，有的椭圆形状接近于圆，而有的圆扁成了近似一条线段，什么量能刻画椭圆的扁圆程度呢？ (1)椭圆的离心率：e＝__，范围：__＜e＜__． (2)椭圆的离心率e的大小决定了椭圆的扁圆程度．当e越趋近于1时，椭圆越__；当e越趋近于0时，椭圆越接近于__． [例3] (1)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，过F2的直线与椭圆交于A，B两点．若|AF1|∶|AB|∶|BF1|＝3∶4∶5，则该椭圆的离心率为(　　) A． B．2－ C． D． (2)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，点关于直线y＝x的对称点落在椭圆C上，则椭圆C的离心率为(　　) A． B． C． D． (1)如图所示，设|AF1|＝3t，则|AB|＝4t，|BF1|＝5t，∴|AF1|2＋|AB|2＝|BF1|2，∴∠F1AF2＝90°， 由椭圆定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝12t＝4a， ∴t＝，∴|AF1|＝3t＝a，∴|AF2|＝2a－|AF1|＝a， ∴△AF1F2为等腰直角三角形，可得|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，∴2a2＝4c2， ∴该椭圆的离心率为e＝＝. (2)易知点关于直线y＝x的对称点为， 根据题意可得＋＝1，故可得＝或2.又a>b，故＝， 则离心率e＝＝＝＝. 求椭圆的离心率的方法 (1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得a，c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值； (2)齐次式法：由已知条件得出关于a，c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解； (3)特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. [练4] (2024·钦州高二期末检测)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上一点P(x，y)到焦点F1的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆C的离心率为(　　) A． B． C． D． 由题意，得|PF1|max＝a＋c＝7，|PF1|min＝a－c＝3， 可得a＝5，c＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝. [练5] 已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为________． 答案： 如图，AB＝2c＝4，∵点C在椭圆上，∴|CB|＋|CA|＝2a＝3＋5＝8，∴e＝＝＝. 1．知识清单 (1)椭圆的几何性质； (2)由椭圆的几何性质求椭圆的标准方程； (3)求椭圆离心率的方法． 2．方法归纳 (1)求椭圆的标准方程可采用待定系数法； (2)求椭圆的离心率可用方程的思想； (3)解决椭圆的方程与几何性质常常用到转化与化归思想． 3．常见误区 (1)求与椭圆有关的最值问题易忽略椭圆的范围； (2)求椭圆离心率范围时易忽略离心率的范围． ◎随堂演练 1．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于(　　) A． B． C． D． ∵a2＝2，b2＝m， ∴c2＝2－m，∴e2＝＝＝， ∴m＝. 2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则(　　) A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2 C．a＝2b D．3a＝4b 因为椭圆的离心率e＝＝， 所以a2＝4c2. 又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2. 3．(2024·长郡中学高二期末检测)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的中心是坐标原点O，F是椭圆E的右焦点．若椭圆E上存在点P，使△OFP是等边三角形，则椭圆E的离心率为(　　) A． B．4－2 C．－1 D． 如图，设点P为椭圆E上位于第一象限内的点，设F1为椭圆E的左焦点， ∵△OFP是等边三角形， ∴|PF|＝|OF|＝|OP|＝c，∠POF＝60°， ∵|OP|＝|OF1|＝c，∴∠OPF1＝∠OF1P＝30°， ∴∠FPF1＝∠OPF＋∠OPF1＝90°， ∴|PF1|＝＝c， 由椭圆的定义可得2a＝|PF|＋|PF1|＝(＋1)c， 因此，椭圆E的离心率为e＝＝＝－1. 4．若椭圆经过点B(0，)，且焦点坐标为F1(0，－1)，F2(0，1)，则椭圆的离心率为__________. 答案：　 设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则由已知得a＝，c＝1， 所以椭圆的离心率为e＝＝. $$