第2章 1.1 椭圆及其标准方程（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

圆锥曲线 §1　椭　圆 1．1　椭圆及其标准方程 第二章 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 学习目标 1.经历从具体情景中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义． 2．掌握椭圆的标准方程． 3．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程． 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 距离之和等于常数(大于|F1F2|) 椭圆 焦点 焦距 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) c2＝a2－b2 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 A 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 sin ∠F1PF2 |yP| c 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 4 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 A 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 课时梯级训练（14） 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 知识点一　椭圆的定义 在平面内，到定点距离等于定长的点的集合是圆．椭圆是满足什么条件的点的集合呢？ 平面内到两个定点F1，F2的____________________________的点的集合(或轨迹)叫作____．这两个定点F1，F2叫作椭圆的____，两个焦点间的距离|F1F2|叫作椭圆的____． 椭圆定义中，①若|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，则动点P的轨迹为线段F1F2；②若|PF1|＋|PF2|<|F1F2|，则动点P的轨迹不存在． [例1] (1)已知椭圆上一点P，它到两焦点的距离之和为8，到左焦点F1的距离为2，则它到右焦点F2的距离为(　　) A．4 B．6 C．30 D． (2)椭圆上一点A到左焦点F′的距离为8，点F为右焦点，B为AF的中点，O为坐标原点，则|OB|的值为(　　) A．8 B．4 C．2 D． (3)已知△ABC的周长为10，且|BC|＝4，则△ABC的顶点A的轨迹是什么？并说明理由． (1)由|PF1|＋|PF2|＝8， 知|PF2|＝8－|PF1|＝6. (2)如图， ∵|AF′|＝8， O，B分别为FF′，AF的中点， ∴|OB|＝|AF′|＝4. (3)因为△ABC的周长为10，且|BC|＝4，所以|AB|＋|AC|＝6，且|AB|＋|AC|>|BC|.根据椭圆的定义可知，△ABC的顶点A的轨迹是以B，C为焦点，焦距长为4的椭圆(不含椭圆与直线BC的交点). 椭圆定义的应用 (1)求动点的轨迹； (2)实现两个焦半径之间的相互转化； (3)将两个焦半径之和看成一个整体，求解定值问题． [练1] 设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是(　　) A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 ∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|， ∴动点M的轨迹是线段． [练2] 平面内有一个动点M及两定点A，B.设p：|MA|＋|MB|为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么下列说法正确的是(　　) A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的必要不充分条件 C．p是q的充要条件 D．p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件 若|MA|＋|MB|为定值，只有定值大于|AB|时，点M的轨迹才是椭圆，故p为q的必要不充分条件． 知识点二　椭圆的标准方程 在平面直角坐标系中，圆有它的标准方程、一般方程；那么椭圆在平面直角坐标系中有什么样的方程呢？ 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 焦点 _______________ _______________ a，b，c的关系 _______________ (1)同一椭圆在不同坐标系下的方程不同； (2)标准方程指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系，得到的椭圆方程； (3)椭圆的焦点总在长轴上，椭圆标准方程中x2项和y2项的分母“谁大在谁上”． [例2] (1)已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋x2＝1 (2)焦点坐标为(－4，0)，(4，0)，并且过点(－，)的椭圆方程为__________. (3)经过点P1(，1)，P2(－，－)的椭圆方程为__________. ＋＝1 ＋＝1 (1)由题意，得c＝1，a＝2，所以b2＝a2－c2＝3， 所以椭圆的方程为＋＝1. (2)依题意知椭圆的焦点在x轴上，可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).由已知得c＝4，所以a2－b2＝16.① 因为点(－，)在椭圆上， 所以＋＝1，即＋＝1.② 由①②得a2＝20，b2＝4. 因此，所求椭圆的标准方程为＋＝1. (3)设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)， 由已知得 解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 1．求椭圆标准方程的方法 (1)定义法：根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而求得标准方程． 2．如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为Ax2＋By2＝1，其中A，B是不相等的正常数. A [练3] (2024·淮北高二期末检测)若椭圆＋＝1(a＞b＞0)过点M，N，则椭圆方程为(　　) A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋y2＝1 D．x2＋＝1 由已知得解得所以椭圆方程为＋y2＝1. [练4] 已知椭圆＋＝1的一个焦点坐标为(0，2)，则k的值为(　　) A．1 B．3 C．7 D．9 B 由题意a2＝9，b2＝k＋2，∴9－(k＋2)＝22，解得k＝3. [练5] 已知定点A(0，－2)，点B在圆C：x2＋y2－4y－32＝0上运动，C为圆心，线段AB的垂直平分线交BC于点P，则动点P的轨迹E的方程为__________. 答案：＋＝1　 如图，由题意，得|PA|＝|PB|， 所以|PA|＋|PC|＝|PB|＋|PC|＝r＝6＞|AC|＝4， 所以点P的轨迹E是以A，C为焦点的椭圆，其中c＝2，a＝3，所以b＝， 所以椭圆方程为＋＝1. 知识点三　椭圆中的焦点三角形 在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点与椭圆上某一点构成一个三角形，该三角形称为焦点三角形，该三角形与椭圆的哪些元素有关，解决与该三角形有关的问题需要注意哪些问题呢？ (1)焦点三角形：对于椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2，称为焦点三角形． (2)三角形面积：S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|___________＝|F1F2|·____＝___·|yP|. [例3] (1)已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(0<m<81)的左、右焦点，过F2的直线与C交于点A，B.若|AF2|＝6，且∠F1AF2＝60°，则|BF2|＝(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 (2)设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积为__________. (1)由椭圆的定义可得|AF1|＝2a－|AF2|＝12. 在△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|·cos ∠F1AF2＝108，则|F1F2|2＋|AF2|2＝|AF1|2，即∠AF2F1＝90°，AB⊥x轴，故|BF2|＝|AF2|＝6. (2)由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝. 因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6且|PF1|∶|PF2|＝2∶1， 所以|PF1|＝4，|PF2|＝2， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 所以△F1PF2是直角三角形，且∠F1PF2＝90°，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4. 焦点三角形问题的解题策略 (1)常用定义，即|PF1|＋|PF2|＝2a. (2)在焦点三角形中利用正、余弦定理． (3)求焦点三角形面积时，把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无须单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量． [练6] (2024·南昌高二期中检测)已知P是椭圆＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是__________. 答案： 在椭圆＋y2＝1中， a＝2，b＝1，c＝， 由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，|F1F2|＝2. 在△F1PF2中，∠F1PF2＝60°， 由余弦定理可得12＝|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|＝16－3|PF1|·|PF2|， 解得|PF1|·|PF2|＝， 因此，S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝. 1．知识清单 (1)椭圆的定义及其标准方程； (2)求椭圆方程的方法； (3)椭圆的焦点三角形问题． 2．方法归纳：分类讨论思想、待定系数法、方程思想． 3．常见误区 (1)平面内到两定点距离之和等于常数的点的集合不一定是椭圆； (2)Ax2＋By2＝1，其中A，B是不相等的正常数，表示的椭圆焦点位置不确定． ◎随堂演练 1．已知点A(－7，0)，B(7，0)，动点P满足|PA|＋|PB|＝16，则点P的轨迹为(　　) A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 因为A(－7，0)，B(7，0)， 所以|AB|＝＝14. 又|PA|＋|PB|＝16>|AB|＝14， 根据椭圆的定义可知点P的轨迹为椭圆． 2．已知椭圆＋＝1上的点P到椭圆一个焦点的距离为7，则点P到另一个焦点的距离为(　　) A．2 B．3 C．5 D．7 根据椭圆定义可知，点P到两个焦点的距离之和为2a＝10，所以点P到另一个焦点的距离为10－7＝3. 3．椭圆＋＝1的焦距为2，则m＝________. 答案：3或5　 因为椭圆＋＝1的焦距为2，所以c＝1. 若焦点在x轴上，则有m＝4＋c2，解得m＝5； 若焦点在y轴上，则有4＝m＋c2，解得m＝3. 综上所述，m＝3或5. 4．已知B(－5，0)，C(5，0)，且△ABC的周长等于24，则顶点A的轨迹方程为__________. 答案：＋＝1(y≠0)　 由已知得，|AB|＋|AC|＝14，由椭圆的定义可知，顶点A的轨迹是椭圆． 又2c＝10，2a＝14，即c＝5，a＝7， 所以b2＝a2－c2＝24. 当点A在直线BC上，即y＝0时，A，B，C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是＋＝1(y≠0). $$