第1章 习题课 圆的方程的应用（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

直线与圆 习题课　圆的方程的应用 第一章 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 学习目标 能用圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 证 明 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 A 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 A 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 A 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 课时梯级训练（13） 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 综合应用一：与圆有关的实际问题 [例1] 已知某圆拱桥，当水面距拱顶2 m时，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽多少米？ 以拱顶为坐标原点，以过拱顶且与圆拱相切的直线为x轴，以过拱顶的竖直直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则O(0，0)，A(6，－2). 设圆的标准方程为x2＋(y＋r)2＝r2(r＞0). 将A(6，－2)的坐标代入方程得r＝10， 所以圆的标准方程为x2＋(y＋10)2＝100. 当水面下降1 m后，可设点A′(x0，－3)(x0＞0).将A′(x0，－3)代入圆的标准方程，求得x0＝， 所以水面下降1米，水面宽为2x0＝2 m． 解决圆的方程的实际应用题的步骤 [练1] 在某地举办的智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地ABCD(如图)，AB的长为9 m，AD的长为18 m．在AB边上距离A点6 m的F处有一只电子狗，在距离A点3 m的E处放置一个机器人．电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点(电子狗和机器人沿各自的直线方向到达某点)，那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失败点． (1)判断点A是否为失败点(不用说明理由)； (2)求在这个矩形场地内电子狗失败的区域面积S. (1)由于|AF|＝6，|AE|＝3，|AF|＝2|AE|，即机器人和电子狗同时到达点A，故A是失败点． (2)建立以A点为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴的直角坐标系，如图，则E(0，3)，F(0，6). 设机器人的速度为v，则电子狗的速度为2v，电子狗失败的区域内任意一点Q(x，y)， 可得≤，即x2＋(y－2)2≤4(0≤x≤2)， 即失败点组成的区域为以M(0，2)为圆心，2为半径的半圆及其内部， 所以电子狗失败的区域面积S＝×4π＝2π(m2). 综合应用二：与圆有关的最值问题 (1)(x－a)2＋(y－b)2的几何意义是A(x，y)与B(a，b)两点距离的平方． (2)的几何意义是A(x，y)与B(a，b)两点连线的斜率． (3)ax＋y几何意义是直线y＝－ax＋b在y轴上的截距． 解决与圆有关的最值问题，关键是明确所求代数式的几何意义． [例2] 已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3. (1)求的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值． (1)原方程表示以点(2，0)为圆心，以为半径的圆．设＝k，即y＝kx. 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，此时＝，解得k＝±. 故的最大值为，最小值为－. (2)设y－x＝b，即y＝x＋b. 当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，即b＝－2±. 故y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－. (3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方．由平面几何知识知，它在过原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4. 与圆有关的最值问题类型及求法 (1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题； (2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题； (3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题． [练2] 已知点P(m，n)在圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝9上运动，则(m＋2)2＋(n＋1)2的最大值为______． 答案：64　 由题得圆心C(2，2)，半径r＝3.(m＋2)2＋(n＋1)2表示圆C上的点P到点M(－2，－1)的距离的平方． 因为|CM|＝5，所以|PM|max＝5＋3＝8，即(m＋2)2＋(n＋1)2的最大值为64. [练3] 已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点，则的最大值为______． 答案：　 设k＝，则y－2＝k(x－1)，即直线方程为kx－y＋2－k＝0. 因为P(x，y)为圆C上任一点，所以圆心C(－2，0)到直线的距离为d＝＝≤1， 即|2－3k|≤，解得≤k≤，所以的最大值为. 知识点　圆过定点问题 (1)若方程(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F)＋λ(Ax＋By＋C)＝0表示圆，则该圆必过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线Ax＋By＋C＝0的交点. (2)若方程(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示圆，则该圆必过圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点． (1)含参数的圆过定点，实质是定点与参数无关． (2)圆上的点一定是以直径为斜边的直角三角形的顶点． [例3] 方程x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0(k为参数，k≠－1)表示何种曲线？找出该直线所过定点的坐标． 方程x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0可化为(x＋k)2＋[y＋(2k＋5)]2＝5(k＋1)2. 该方程表示圆心为(－k，－2k－5)，半径为|k＋1|的圆． 方程x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0可化为x2＋y2＋10y＋20＋k(2x＋4y＋10)＝0， 由解得 即圆过定点M(1，－3). 含参数的圆过定点问题的解决方法 (1)化简圆的方程，将圆的方程中的参数分离出来； (2)令参数的系数为0，不含参数的部分也为0； (3)解方程组，即可得出定点． [练4] 已知点P(－2，－3)和以Q为圆心的圆(x－m＋1)2＋(y－3m)2＝4. (1)求证：圆心Q在过点P的定直线上； (2)当m为何值时，以P，Q为直径的圆过原点？ (1)由题可知圆心Q(m－1，3m). 令消去m，得y＝3x＋3. 因为直线y＝3x＋3过点P(－2，－3)， 所以圆心Q在过点P的定直线y＝3x＋3上． (2)因为以PQ为直径的圆过原点， 所以OP⊥OQ，所以·＝－1， 解得m＝. 即当m＝时，以PQ为直径的圆过原点． 1．知识清单 (1)与圆有关的实际问题的求解方法； (2)与圆有关的最值问题； (3)圆过定点问题的解法． 2．方法归纳：转化与化归思想、数形结合思想、方程思想． 3．常见误区 (1)形如l＝ax＋by的最值问题，将l误认为是直线的截距； (2)形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，将(x－a)2＋(y－b)2误认为是两点间的距离． ◎随堂演练 1．已知直线l：kx－y＋－k＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2，点(m，n)是直线l上的任意一点，则m2＋n2的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径r＝2，圆心到直线的距离为d＝＝1，所以m2＋n2的最小值为d2＝1.故选A. 2．已知方程x2＋y2＋2mx－2my－2＝0表示的曲线恒过第三象限内的一个定点A.若点A又在直线l：mx＋ny＋1＝0上，则m＋n＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 方程x2＋y2＋2mx－2my－2＝0可化为x2＋y2－2＋2m(x－y)＝0. ∵曲线恒过定点A，∴解得或 ∵点A在第三象限，所以A(－1，－1)，代入直线l的方程mx＋ny＋1＝0， 可得m＋n＝1. 3．已知z∈C，且|z－2－2i|＝1(i为虚数单位)，则|z＋2－i|的最大值为(　　) A．＋1 B． C．－1 D． |z－2－2i|＝1表示以C(2，2)为圆心，r＝1为半径的圆， 则圆心C到点(－2，1)的距离d＝＝， 则|z＋2－i|的最大值为d＋r＝＋1. 4．设圆C：(x－)2＋(y－1)2＝4，直线l：x－y－5＝0，则圆C上到直线l距离最近的点的坐标和最远的点的坐标分别为__________． 答案：(＋，1－)，(－，1＋)　 圆C的圆心为C(，1)，半径r＝2， 圆心C(，1)到直线l的距离为＝>2，所以直线l与圆C相离． 又直线l的斜率为1， 所以过C(，1)且与直线l垂直的直线方程为y－1＝－(x－)，y＝－x＋＋1. 由解得或由此得最近点的坐标为(＋，1－)；最远点的坐标为(－，1＋). $$