第1章 2.4 圆与圆的位置关系（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

直线与圆 2.4　圆与圆的位置关系 第一章 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 学习目标 1.理解圆与圆的几种位置关系． 2．掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利用上述方法判定两圆的位置关系． 3．体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性． 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 ______________ 内含 ______________ 相交 _________＜d＜________ d＞r1＋r2 d＜|r1－r2| |r1－r2| r1＋r2 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 内切 ______________ 外切 ______________ d＝|r1－r2| d＝r1＋r2 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 外切或内切 相离或内含 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B D 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 C 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 C ±2或0 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 A 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 C 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 课时梯级训练（12） 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 知识点　圆与圆的位置关系的判定 奥运五环象征着什么？试着说一说圆与圆的位置关系． 1．用几何法判定圆与圆的位置关系 已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r， C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r， 则圆心距d＝|C1C2|＝. 圆C1，C2有如下位置关系： 2.用代数法判定圆与圆的位置关系 已知两圆的方程C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0. 将方程联立，得 消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，则： (1)判别式Δ＞0时，C1与C2相交； (2)判别式Δ＝0时，C1与C2__________； (3)判别式Δ＜0时，C1与C2__________． 用代数法消元后，若Δ＜0，两圆不一定相离，还可能为内含． [例1] (1)圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1与圆x2＋y2－14x－2y＋14＝0的位置关系是(　　) A．外切 B．内切 C．相交 D．相离 (2)已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为(　　) A．1或3 B．4 C．0 D．2 (1)圆x2＋y2－14x－2y＋14＝0可变形为(x－7)2＋(y－1)2＝36，圆心坐标为(7，1)，半径为r1＝6.圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1的圆心坐标为(3，－2)，半径为r2＝1，所以圆心距d＝＝5＝6－1＝r1－r2，所以两圆内切． (2)由已知得C1(1，－2)，C2(2，－1)，所以|C1C2|＝＝. 又r1＝1，r2＝，所以r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2， 所以圆C1与圆C2相交． 故这两个圆的公切线共有2条． 判断圆与圆的位置关系的一般步骤 (1)分别求出两圆的圆心坐标和半径r1，r2. (2)求两圆的圆心距d. (3)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小． (4)根据大小关系确定两圆位置关系． [练1] 两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是(　　) A．内切 B．外离 C．外切 D．相交 由题意可得两圆方程分别为x2＋y2＝1和(x－2)2＋(y＋1)2＝9， 所以两圆圆心分别为(0，0)和(2，－1)，半径分别为r1＝1和r2＝3， 所以圆心距d＝＝，所以|r1－r2|<<|r1＋r2|，所以两圆相交． [练2] 若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是(　　) A．r＜＋1 B．r＞＋1 C．|r－|≤1 D．|r－|＜1 由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0，得 (x＋1)2＋(y－2)2＝1，圆心为(－1，2)， 两圆圆心距为＝. 因为两圆有公共点，所以|r－1|≤≤r＋1， 所以－1≤r≤＋1，即－1≤r－≤1， 所以|r－|≤1. 综合应用一：两圆的相切问题 [例2] (1)若圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则实数m的值为(　　) A．2 B．－5 C．2或－5 D．不确定 (2)已知圆O1：x2＋y2＝1，圆O2：(x＋4)2＋(y－a)2＝25.如果这两个圆有且只有一个公共点，则实数a＝__________． (1)两圆的圆心坐标分别为(－2，m)，(m，－1)，两圆的半径分别为3，2， 由题意得＝3＋2， 解得m＝2或m＝－5. (2)因为两个圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切． 当两圆内切时，＝4；当两圆外切时，＝6， 所以a＝±2或0. 解决两圆相切问题的步骤 (1)定型，准确判断是内切还是外切．若已知两圆相切，则应分内切、外切两种情况讨论． (2)转化思想，即将两圆相切问题转化为圆心距与两圆的半径之间的关系． [练3] 已知圆M的圆心(2，0)，若圆M与圆O：x2＋y2＝1外切，则圆M的方程为(　　) A．(x－1)2＋y2＝1 B．(x－2)2＋y2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y－2)2＝1 易知两圆的圆心距为2，圆M的半径为2－1＝1，所以圆M的方程为(x－2)2＋y2＝1. [练4] 若两圆x2＋y2＝r2与(x－2)2＋(y＋1)2＝4r2(r＞0)内切，则r的值是(　　) A． B．5 C． D．2 因为两圆内切， 所以圆心距d＝＝2r－r， 解得r＝. 综合应用二：两圆的相交问题 [例3] (1)若圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直线方程是x－y＋1＝0，则(　　) A．E＝－4，F＝8 B．E＝4，F＝－8 C．E＝－4，F＝－8 D．E＝4，F＝8 由两圆的方程作差，得－4x－Ey＋F＋4＝0，又公共弦所在的直线方程为x－y＋1＝0，所以E＝－4，F＝－8. (2)求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程． 方法一　设经过两圆交点的圆系方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，即x2＋y2－x－y－6＝0， 所以所求圆的圆心坐标为(，). 又圆心在直线x－y－4＝0上， 所以－－4＝0，即λ＝－. 所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0. 方法二　由 得两圆公共弦所在直线的方程为y＝x. 由 解得或 所以两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点坐标分别为A(－1，－1)，B(3，3).易求线段AB的垂直平分线所在直线的方程为y－1＝－(x－1). 由得 即所求圆的圆心为(3，－1)， 半径为＝4. 所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 过两圆交点圆系的方程及相关问题 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交， (1)圆C1与圆C2交点的圆系方程为λ(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋μ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0. (2)公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 提醒：(1)当两圆相切时，上面的公共弦方程就是一条公切线方程； (2)上面的圆系方程中，当λ＝0时，方程表示圆C2；当μ＝0时，方程表示圆C1. [练5] 若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b应满足的关系式为(　　) A．a2－2a－2b－3＝0 B．a2＋2a＋2b＋5＝0 C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 因为圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长， 所以两圆交点的直线过(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心(－1，－1)，两圆方程相减可得(2＋2a)x＋(2＋2b)y－a2－1＝0.将(－1，－1)代入，可得－2－2a－2－2b－a2－1＝0，即5＋2a＋2b＋a2＝0，B选项正确． [练6] 过两圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点(3，1)的圆的方程是__________． 答案：x2＋y2－x＋y＋2＝0　 根据题意，设所求圆的方程为(x2＋y2－x－y－2)＋λ(x2＋y2＋4x－4y－8)＝0(λ≠－1)， 即(λ＋1)x2＋(λ＋1)y2＋(4λ－1)x－(4λ＋1)y－8λ－2＝0. 要求圆经过点(3，1)，则有4＋10λ＝0， 解得λ＝－，所以所求圆的方程为 x2＋y2－x＋y＋2＝0. [例4] 在平面直角坐标系中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上． (1)求圆C的方程； (2)若圆C与圆D：(x－4)2＋(y－3)2＝4相交于A，B两点，求弦AB的长． (1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0，1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0). 又圆心在直线x＝3上，故可设该圆的圆心C为(3，t)， 则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1. 故圆C的半径为r＝＝3，所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9. (2)圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9，即x2＋y2－6x－2y＋1＝0. 圆D：(x－4)2＋(y－3)2＝4，即x2＋y2－8x－6y＋21＝0. 两圆方程相减，得相交弦AB所在直线方程为x＋2y－10＝0， 又圆心C(3，1)到直线x＋2y－10＝0距离为d＝＝，所以|AB|＝2＝2＝4. 两圆公共弦长的求法 (1)代数法：联立两圆的方程求出交点坐标，再利用距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． [练7] 圆C1：x2＋y2－2x－8＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的公共弦长为______． 答案：2　 由圆C1与圆C2的公共弦所在的直线l的方程为x－y＋1＝0，得点C1(1，0)到直线l的距离为d＝＝，圆C1的半径为r1＝3，所以圆C1与圆C2的公共弦长为2＝2＝2. 1．知识清单 (1)两圆位置关系的判断方法； (2)与两圆相交有关的圆系方程； (3)与两圆有关的切线问题； (4)两圆公共弦长的求法． 2．方法归纳：数形结合、方程思想． 3．常见误区 (1)判断两圆的位置关系，易忽略两圆相切的情况； (2)求两圆的公共弦问题时，未调整两圆的二次项系数. ◎随堂演练 1．已知两圆的圆心距为6，两圆的半径分别是方程x2－6x＋8＝0的两个根，则两圆的位置关系为(　　) A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 由题意知r1＋r2＝6(两圆圆心距)，所以两圆外切． 2．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0相交，则圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为(　　) A．x＋2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x－2y－1＝0 两个圆的方程相减，得x＋2y－1＝0.故选B. 3．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝(　　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 由圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)，可得公共弦所在直线的方程为y＝，又x2＋y2＝4的圆心坐标为(0，0)，半径为r＝2，由圆的弦长公式可得l＝2＝2＝2，解得a＝1. 4．求过两圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2－6x＝0的交点且过点(2，－2)的圆的方程． 设过两圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2－6x＝0的交点的圆系方程为x2＋y2－4x＋2y＋1＋λ(x2＋y2－6x)＝0， 即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2－(4＋6λ)x＋2y＋1＝0. 把(2，－2)代入，得4(1＋λ)＋4(1＋λ)－2(4＋6λ)－4＋1＝0，解得λ＝－. 所以圆的方程为x2＋y2＋2x＋8y＋4＝0. $$