第1章 2.3 直线与圆的位置关系（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

直线与圆 2.3　直线与圆的位置关系 第一章 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 学习目标 1. 结合实例了解直线与圆的位置关系． 2．会解决直线与圆的位置关系相关的切线、弦长等问题． 3．能利用直线与圆的位置关系解决简单的应用性问题． 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜ 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 C 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 C 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 课时梯级训练（11） 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 知识点一　直线与圆的位置关系的判断 直线与圆有哪几种位置关系？在平面几何中，直线与 圆的位置关系是如何判定的？如何利用直线与圆的方程来判定直线与圆的位置关系？ 直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)与圆 (x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 判断方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d__r d__r d__r 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ__0 Δ__0 Δ__0 (1)“几何法”侧重于“形”，很好地结合了图形的几何性质； (2)“代数法”侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”． [例1] 已知直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝2，当b为何值时，直线与圆相交？相切？相离？ 方法一　圆的半径r＝，圆心O(0，0)到直线y＝x＋b的距离为d＝. 当d＜r，|b|<2即－2＜b＜2时，圆与直线相交． 当d＝r，|b|＝2，即b＝2或b＝－2时，圆与直线相切． 当d＞r，|b|＞2，即b＜－2或b＞2时，圆与直线相离． 方法二　由得2x2＋2bx＋b2－2＝0.① 方程①的判别式Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2). 当－2＜b＜2时，Δ＞0，直线与圆相交． 当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，直线与圆相切． 当b＜－2或b＞2时，Δ＜0，方程组没有实数解，直线与圆相离． 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． [练1] 对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是(　　) A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，由定点(0，1)在圆x2＋y2＝2内，则直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2一定相交．又直线y＝kx＋1的斜率存在，则该直线必不过圆心(0，0)，故选C. [练2] 若直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝2相离，则m的取值范围是______． 答案：{m|m＜－2或m＞2}　 因为直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝2相离，所以＞，解得m＜－2或m＞2. 知识点二　直线与圆的相切问题 在初中我们知道直线与圆相切，说明直线与圆有一个公共点，圆心与切点的连线与切线垂直．在平面直角坐标系中，如何研究直线与圆的相切问题呢？ (1)圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2与直线Ax＋By＋C＝0相切，则＝r. (2)过圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上的一点(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＋＋＋F＝0. 过点A(x0，y0)作圆的切线，切点不一定是点A. D [例2] (1)由直线x＋y＋3＝0上一点P向圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　) A． B． C． D．1 (2)过点P(2，3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线的方程是__________． x＝2或y＝3 (1)根据题意，圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝1的圆心C为(2，－3)，半径r＝1. 设切线长为d，则d＝＝， 所以当点P为圆心C到直线的距离最小的点时，切线长最小．而|PC|的最小值为点C到直线l的距离， 则|PC|min＝＝. 故切线长的最小值为＝1. (2)易知点P(2，3)在圆外，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，符合要求；当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y－3＝k(x－2)，根据圆心到直线的距离等于半径，得d＝＝1，解得k＝0，所以直线的方程为x＝2或y＝3. 过一点的圆的切线方程的求法 (1)点在圆上时，由切点与圆心连线与切线垂直，得出切线的斜率(或斜率不存在)，进而得出切线方程． (2)点在圆外时， ①由圆心到直线的距离等于半径可求得k，也就得切线方程． ②设出切线方程，与圆的方程联立，由Δ＝0求出k，可得切线方程． ③由圆外一点向圆引两条切线，但如果只求出一个k值，说明另一条切线斜率不存在． [练3] 若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为__________． 答案：x＋2y－5＝0 点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，可得此圆的方程为x2＋y2＝5，所以该圆在点P处的切线方程为1×x＋2×y＝5，即x＋2y－5＝0. [练4] 已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为(　　) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 设圆心坐标为C(a，－a)， 则＝，解得a＝1，故圆心坐标为(1，－1)， 所以r＝＝， 圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故选B. 知识点三　直线与圆的相交问题 求直线与圆相交时的弦长的两种方法 (1)几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有|AB|＝2. (2)弦长公式法：联立直线方程与圆的方程，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在). 直线与圆相交，注意弦长公式中|x1－x2|与|y1－y2|前面分别是和. A [例3] (1)圆x2＋y2＝4截直线x＋y－2＝0所得的弦长为(　　) A．2 B．1 C． D．2 (2)直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点．若弦AB的中点为C(－2，3)，则直线l的方程为(　　) A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0 A (1)圆心(0，0)到直线x＋y－2＝0的距离为＝，则弦长为2＝2. (2)由圆的一般方程，可得圆心为M(－1，2).由圆的性质易知，M(－1，2)与C(－2，3)的连线与弦AB垂直，故有kAB·kMC＝－1.又kMC＝＝－1，所以kAB＝1.故直线AB的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0. [练5] 直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为________． 答案：4　 将圆化为标准方程(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心(1，2)到直线x＋2y－5＋＝0的距离d＝＝1，所以弦长为2＝4. 1．知识清单 (1)判断直线与圆的位置关系的方法； (2)直线与圆相切，切线方程、切线长的求法； (3)已知直线与圆相交求弦长时，根据弦心距、半弦长、半径这三条线段形成的三角形． 2．方法归纳：方程思想、数形结合思想、转化与化归思想． 3．常见误区 (1)与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解； (2)利用判别式判断方程是否有根时，应注意二次项系数是否为零，若二次项系数为零，则判别式无意义． ◎随堂演练 1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 圆心到直线的距离d＝＝＜1. 又∵直线y＝x＋1不过圆心(0，0). ∴直线与圆相交但不过圆心． 2．若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则实数b的值是(　　) A．－2或12 B．2或－12 C．－2或－12 D．2或12 将圆的方程x2＋y2－2x－2y＋1＝0化为(x－1)2＋(y－1)2＝1. 由圆心(1，1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为＝1，得b＝2或b＝12.故选D. 3．设直线l过点P(－2，0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是(　　) A．±1 B．± C．± D．± 设直线l：y＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k＝0. 又直线l与圆x2＋y2＝1相切， ∴圆心(0，0)到直线l的距离为＝1. ∴k＝±. 4．直线x＋y－2＝0，截圆x2＋y2＝4所得的弦长是________． 答案：2 圆心到直线x＋y－2＝0的距离为d＝＝. 所以弦长l＝2＝2. $$