第1章 2.2 圆的一般方程（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

直线与圆 2.2　圆的一般方程 第一章 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 学习目标 1. 探索并掌握圆的一般方程． 2．能进行圆的一般方程与标准方程的互化． 3．会根据不同的条件利用待定系数法求圆的一般方程． 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 D2＋E2－4F＞0 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 A＝B≠0 0 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 C 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 A 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 C 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 课时梯级训练（10） 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 知识点　圆的一般方程 把圆的标准方程展开后你发现了什么？是不是所有的二元二次方程都表示圆呢？ 1．圆的一般方程的概念 (1)当________________时，称二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0为圆的一般方程． (2)圆的一般方程对应的圆心和半径： 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的 圆心为______________，半径长为________________． (－，－) 2．二元二次方程Ax2＋Cxy＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的代数特征 (1)x2，y2的系数相同，且不等于0，即___________； (2)不含xy这样的二次项，即C＝__． 具备上述两个特征是一般二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件． 对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)， (1)当D2＋E2－4F>0时表示圆； (2)当D2＋E2－4F＝0时表示点(－，－)； (3)当D2＋E2－4F＜0时不表示任何图形． [例1] 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． (1)根据题意，知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0， 即4m2＋4－4m2－20m＞0， 解得m＜. 故m的取值范围为(－∞，). (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m. 故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝(m<). 判断x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆的两种方法 (1)看D2＋E2－4F是否大于零； (2)直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数． [练1] 若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是(　　) A．R B．(－∞，1) C．(－∞，1] D．[1，＋∞) 由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0，可得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则5－5k>0，解得k<1.故实数k的取值范围是(－∞，1).故选B. [练2] 若圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)关于直线y＝x对称，则(　　) A．DE＝0 B．F＝0 C．D＝E D．D＝－E 由题意知圆心为(－，－)，圆关于直线y＝x对称，则直线过圆心，即－＝－，所以D＝E. 综合应用一：圆的一般方程的求法 [例2] (1)过点M(－1，1)，且圆心与已知圆C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0相同的圆的一般方程为__________． (2)过三点O(0，0)，M(7，1)，N(4，2)的圆的一般方程为______________． 答案：(1)x2＋y2－4x＋6y－12＝0　(2)x2＋y2－8x＋6y＝0　 (1)将已知圆的方程化为标准方程，即(x－2)2＋(y＋3)2＝16，圆心C的坐标为(2，－3)，故所求圆的半径为r＝|CM|＝＝5. 所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，即x2＋y2－4x＋6y－12＝0. (2)设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).由已知点O(0，0)，M(7，1)，N(4，2)的坐标满足上述方程，分别代入方程，可得 解得所求圆的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0. 待定系数法求圆的方程的解题策略 (1)如果容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标和半径列方程，分别求出D，E，F； (2)如果与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F. [练3] 当a取不同的实数时，由方程x2＋y2＋2ax＋2ay－1＝0可以得到不同的圆，则(　　) A．这些圆的圆心都在直线y＝x上 B．这些圆的圆心都在直线y＝－x上 C．这些圆的圆心都在直线y＝x或在直线y＝－x上 D．这些圆的圆心不在同一条直线上 将圆的方程变为标准方程(x＋a)2＋(y＋a)2＝2a2＋1，∴圆心坐标为(－a，－a)，故圆心都在直线y＝x上． [练4] 经过点A(1，)和点B(2，－2)，且圆心在x轴上的圆的一般方程为__________． 答案：x2＋y2－6x＝0　 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0). 因为圆心在x轴上，所以－＝0，即E＝0. 又圆经过点A(1，)和点B(2，－2)，所以 即 解得 故所求圆的一般方程为x2＋y2－6x＝0. [练5] 已知AB为圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0的直径，点A的坐标为(0，1)，则点B的坐标为__________． 答案：(2，－3)　 圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0即(x－1)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心坐标为(1，－1)，设B(x0，y0)，又因为A(0，1)，所以由中点坐标公式得解得所以点B的坐标为(2，－3). 综合应用二：与圆有关的轨迹方程 [例3] (1)已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是(　　) A．x2＋y2＝4 B．x2－y2＝4 C．x2＋y2＝4(x≠±2) D．x2－y2＝4(x≠±2) (2)过点A(8，0)的直线与圆x2＋y2＝4交于点B，则AB中点P的轨迹方程为________________． (x－4)2＋y2＝1 (1)设P(x，y)，由条件知PM⊥PN，且PM，PN的斜率肯定存在，故kMP·kNP＝－1，即·＝－1，所以x2＋y2＝4.又当P，M，N三点共线时，不能构成三角形，所以x≠±2，故所求轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2). (2)设点P的坐标为(x，y)，点B的坐标为(x1，y1).由题意，结合中点坐标公式可得x1＝2x－8，y1＝2y，故(2x－8)2＋(2y)2＝4，化简得(x－4)2＋y2＝1，则AB中点P的轨迹方程为(x－4)2＋y2＝1. 求与圆有关的轨迹方程的方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆的几何性质列方程． (4)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中得点P的轨迹方程． [练6] 已知动点M到点A(4，0)的距离等于点M到点B(1，0)的距离的2倍，则点M的轨迹方程为__________． 答案：x2＋y2＝4　 设M(x，y)，由题意有＝2，整理得点M的轨迹方程为x2＋y2＝4. 1．知识清单 (1)圆的一般方程； (2)待定系数法求圆的方程； (3)求与圆有关轨迹方程的方法． 2．方法归纳：方程思想、待定系数法、代入法． 3．常见误区 (1)忽略二元二次方程表示圆的条件； (2)求轨迹方程未注意把不符合条件的点的去除. ◎随堂演练 1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　) A．(2，3) B．(－2，3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为(－，－)，即(2，－3). 2．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是(　　) A．＜m＜1 B．m＞1 C．m＜ D．m＜或m＞1 方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜或m＞1. 3．若直线2x＋y＋m＝0过圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心，则m的值为(　　) A．2 B．－1 C．－2 D．0 圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，则圆心坐标为(1，－2). ∵直线2x＋y＋m＝0过圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心， ∴2－2＋m＝0，解得m＝0. 4．过O(0，0)，A(3，0)，B(0，4)三点的圆的一般方程为__________． 答案：x2＋y2－3x－4y＝0　 该圆的圆心为(，2)，半径为. 故其标准方程为(x－)2＋(y－2)2＝， 化成一般方程为x2＋y2－3x－4y＝0. $$