第1章 2.1 圆的标准方程（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

直线与圆 §2　圆与圆的方程 2．1　圆的标准方程 第一章 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 学习目标 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程． 2．会根据已知条件求圆的标准方程． 3．会判断点与圆的位置关系． 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 定点 圆心 圆心 半径 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 A 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 ≤ ≤ 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 x y 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 C 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 课时梯级训练（9） 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 知识点一　圆的标准方程 在平面直角坐标系中，直线可以用二元一次方程来表示，那么圆的方程是怎样的？ 1．圆的定义：平面内到____的距离等于定长的所有点的集合(或轨迹)叫做圆，定点称为____，定长称为圆的半径． 2．圆的要素：____和____，如图所示． 3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程是_____________________． (1)圆的标准方程指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显． (2)建立不同的坐标系时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的． [例1] (1)圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是(　　) A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3 C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9 因为圆心为(1，－2)，半径为3，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9. (2)求满足下列条件的各圆的方程： ①圆心在原点，半径是3； ②经过点P(5，1)，圆心在点C(8，－3)； ③已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上． ①易知所求圆的标准方程为(x－0)2＋(y－0)2＝32，即x2＋y2＝9. ②圆的半径r＝|CP|＝＝5，圆心在点C(8，－3)， 所以圆的方程是(x－8)2＋(y＋3)2＝25. ③由条件知kAB＝＝－，且线段AB的中点为(，)，即(3，2)，可求得线段AB的垂直平分线方程为2x－y－4＝0，由圆的垂径定理可知，2x－y－4＝0与x轴的交点(2，0)即为圆心C的坐标，半径为|CB|＝，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10. 直接法求圆的标准方程 确定圆心C(a，b)及半径r，直接代入圆的标准方程即可．确定圆心和半径时，常用到平面几何的一些知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等． [练1] 已知圆的方程为x2＋y2＝4，那么这个圆的面积等于(　　) A．2 B．3 C．π D．4π 由题意可得，圆x2＋y2＝4的半径为2，所以面积为π×22＝4π. [练2] 经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是__________． 答案：(x＋2)2＋y2＝4 圆心是(－2，0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4. [例2] 已知△ABC的顶点A(0，0)，B(0，2)，C(－2，2)，求其外接圆方程． 设△ABC的外接圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 因为△ABC的顶点A(0，0)，B(0，2)，C(－2，2)， 所以解得 因此(x＋1)2＋(y－1)2＝2即为所求圆的方程． 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 [练3] 圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5). 设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由条件知 解得 故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 知识点二　点与圆的位置关系 在平面直角坐标系中，点与有序实数对即坐标对应，每个圆都有自己的方程，那么点与圆有哪些位置关系呢？如何判断它们的关系呢？ 已知点P(x0，y0)，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (1)若(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，则点P在圆C上； (2)若(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，则点P在圆C内； (3)若(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，则点P在圆C外． [例3] 已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0). (1)若点M(6，9)在圆上，求a的值； (2)已知点P(3，3)和点Q(5，3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围． (1)因为点M在圆上， 所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2. 又a＞0，可得a＝. (2)由两点间距离公式可得， |PN|＝＝， |QN|＝＝3. 因为线段PQ(不含端点)与圆有且只有一个公共点，即P，Q两点一个在圆N内，另一个在圆N外，又3＜，所以3＜a＜.即a的取值范围是(3，). 判断点与圆的位置关系的方法 (1)将点的坐标代入圆的标准方程，由(x0－a)2＋(y0－b)2与r2的关系得出结论． (2)利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断． [练4] 点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 ∵m2＋25＞24，∴点P在圆外． [练5] 若点P(5a＋1，12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为__________． 答案：{a|a>或a<－} ∵点P在圆外， ∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1， 169a2>1，a2>，∴a>或a<－. 知识点三　圆的简单几何性质 在平面直角坐标系中，每个圆都有自己的方程，那么有了圆的方程，能得到圆的性质吗？ 已知圆的标准方程：x2＋y2＝r2. (1)范围：|x|__r，|y|__r，即圆上的所有点都在两条平行直线x＝±r与两条平行直线y＝±r围成的正方形之间． (2)对称性：圆x2＋y2＝r2.* ①因为P(x，y)与P1(x，－y)的坐标都满足*式，所以圆x2＋y2＝r2关于__轴对称； ②因为P(x，y)与P2(－x，y)的坐标都满足*式，所以圆x2＋y2＝r2关于__轴对称； ③因为P(x，y)与P1(－x，－y)的坐标都满足*式，所以圆x2＋y2＝r2关于原点对称． [例4] P(x，y)是圆C：(x－2)2＋(y＋2)2＝1上的任一点，求点P到直线x－y＝0的距离的最大值和最小值？ 圆心(2，－2)到直线x－y＝0的距离d＝＝2，所以P到直线x－y＝0的距离的最大值为2＋1，最小值为2－1. 与圆有关最值问题的处理思路 (1)圆外一点到圆的最大距离是该点到圆心的距离再加上圆的半径；最小距离是该点到圆心的距离再减去圆的半径． (2)圆上的任一点到与圆没有公共点的直线距离的最小值是圆心到直线的距离再减去圆的半径；最大值是圆心到直线的距离再加上圆的半径． [练6] 已知圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，根据给出的条件，分别写出a，b，r应满足的条件： (1)圆心在x轴上，则______； (2)与y轴相切，则______； (3)过原点，则______； (4)过原点且与y轴相切，则______； (5)与两坐标轴相切，则______． 答案：b＝0　|a|＝r　a2＋b2＝r2　b＝0，|a|＝r　|a|＝|b|＝r　 圆心在x轴上，则b＝0；与y轴相切，则|a|＝r；过原点，则a2＋b2＝r2；过原点且与y轴相切，则b＝0，|a|＝r；与两坐标轴相切，则|a|＝|b|＝r. 1．知识清单 (1)圆的标准方程及其意义； (2)点与圆的位置关系的判断； (3)圆x2＋y2＝r2的范围、对称性． 2．方法归纳：方程思想、待定系数法、数形结合． 3．常见误区：与圆有关的最值问题要注意范围． ◎随堂演练 1．圆心为A(－1，1)，半径为2的圆的方程为(　　) A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 C．(x＋1)2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4 将A(－1，1)，r＝2代入圆的标准方程可得(x＋1)2＋(y－1)2＝4. 2．点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是(　　) A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都不对 将点P的坐标代入圆的方程，则(－2)2＋(－2)2＝8>4，故点P在圆外． 3．点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是________. 答案：(x＋2)2＋y2＝10　 因为点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋1＝m， ∴m＝10，即圆的方程为(x＋2)2＋y2＝10. 4．已知圆(x－2)2＋y2＝8上的点P(x，y)，则x2＋y2的最大值为__________． 答案：12＋8　 方法一　由(x－2)2≤8，解得2－2≤x≤2＋2.因为点P(x，y)在圆上，所以y2＝8－(x－2)2，所以x2＋y2＝4x＋4≤12＋8. 即x2＋y2的最大值为12＋8. 方法二　x2＋y2表示圆上点P到原点距离的平方． 因为圆心到原点的距离为2， 所以x2＋y2的最大值为(2＋2)2＝12＋8. $$