第1章 1.5 两条直线的交点坐标（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

直线与圆 1.5　两条直线的交点坐标 第一章 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 学习目标 1.能用直线的斜率判断两直线是否相交，若相交用解方程的方法求两条直线的交点坐标． 2．会依据方程组解的个数判断两条直线的位置关系． 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 方程组的解 交点个数 直线的位置关系 无解 0个 平行 有唯一解 1个 相交 有无数组解 无数个 重合 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 A 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 A 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 A 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 课时梯级训练（6） 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 知识点一　两条直线的交点 若方程组有唯一解 则P(x0，y0)是直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点吗？其逆命题成立吗？ 两条直线交点坐标的求法 用直线的斜率判断两直线是否相交，若相交，则依据直线方程的概念可知，两条直线l1，l2交点的坐标就是两个方程的公共解，可以通过求解方程组得到两条直线l1，l2的交点坐标． 1．方程组的解的组数与两直线的位置关系 2.方程组有唯一一组解的充要条件是A1B2－A2B1≠0. [例1] 判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标． (1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0； (2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0； (3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0. (1)解方程组 得 所以l1与l2相交， 交点坐标是(，). (2) ①×2－②得9＝0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，又9≠0，所以l1∥l2. (3)　①×2得6x＋8y－10＝0，因此，①和②可以化成同一个方程，故①和②表示同一条直线，所以l1与l2重合． [练1] 直线x＝2与直线y＝x＋1的交点坐标为(　　) A．(2，3) B．(－2，－3) C．(0，1) D．(0，0) 由解得则直线x＝2与直线y＝x＋1的交点坐标为(2，3). [练2] 已知两条直线l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是__________． 答案：a≠2　 由题意得6a－12≠0，即a≠2. 知识点二　过两条直线交点的直线系方程 已知l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，若l1与l2的交点为P(x0，y0)，则P的坐标应满足什么关系？ 设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点为P(x0，y0)，则： (1)A1x0＋B1y0＋C1＝0； (2)A2x0＋B2y0＋C2＝0； (3)λ1(A1x0＋B1y0＋C1)＋λ2(A2x0＋B2y0＋C2)＝0(λ1，λ2为参数)； (4)λ1(A1x＋B1y＋C1)＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0，表示过点P(x0，y0)的直线． ①当λ1＝1，λ2＝0时，方程即为直线l1； ②当λ1＝0，λ2＝1时，方程即为直线l2. 方程(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0不表示直线A2x＋B2y＋C2＝0，即无法表示过两直线交点的所有直线． [例2] (1)求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x－y－1＝0平行的直线l的方程； (2)无论k取何值时，直线l：(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0必过定点，并求出该定点坐标． (1)方法一　由方程组得两直线交点坐标为(－，－). ∵直线l和直线3x－y－1＝0平行， ∴直线l的斜率k＝3. 根据点斜式有y－(－)＝3[x－(－)]. 即所求直线方程为15x－5y＋2＝0. 方法二　∵直线l过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点， ∴可设直线l的方程为2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0，即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0. ∵直线l与直线3x－y－1＝0平行， ∴＝≠，解得λ＝. ∴所求直线的方程为15x－5y＋2＝0. (2)方法一　令k＝1，得到直线l1：x＝1. 令k＝0，得到直线l2：x＋y＝0. 由得l1与l2的交点M(1，－1). 把点M的坐标代入方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0恒成立， ∴无论k取何值时，直线(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0必过定点M(1，－1). 方法二　由直线l的方程得(k＋1)x＝(k－1)y＋2k，整理可得y＋1＝(x－1)(k≠1). 因此，当k≠1时，直线l必过点(1，－1)； 当k＝1时，直线l的方程为x＝1，也过点(1，－1). 综上所述，不论k取任何实数，直线l必过定点(1，－1). 方法三　方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0可化为k(x－y－2)＋(x＋y)＝0. 由解得 显然使方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0恒成立． ∴无论k取任何实数值时，直线l必过定点(1，－1). 1．经过两直线交点的直线方程的求法 (1)先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件直接求解； (2)设出经过两直线交点的直线系方程，再结合其他条件求出λ的值，即可得出所求直线方程． 2．处理动直线过定点问题的常用方法 (1)将直线方程化为点斜式，利用点斜式方程的特点求解； (2)从特殊条件入手，先求其中两条直线的交点，再验证动直线恒过交点； (3)从“恒成立”入手，将原方程化为f(x，y)＋mg(x，y)＝0的形式，由求得定点坐标． [练3] 已知直线l1：x－y＋1＝0和l2：x－2＝0，则过l1和l2的交点且与直线3x＋4y－5＝0垂直的直线方程为(　　) A．3x－4y－1＝0 B．3x－4y＋1＝0 C．4x－3y－1＝0 D．4x－3y＋1＝0 由于所求直线与直线3x＋4y－5＝0垂直，所以设所求直线方程为4x－3y＋m＝0， 由得即l1和l2的交点坐标为(2，3)，因为直线4x－3y＋m＝0过点(2，3)， 所以8－9＋m＝0，得m＝1， 所以所求直线方程为4x－3y＋1＝0. 1．知识清单 (1)两直线相交其交点的求法； (2)两直线相交的条件； (3)直线过定点的求法． 2．方法归纳：方程思想、数形结合思想、转化与化归思想． 3．常见误区：误认为直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中λ为常数)可以表示过两直线交点的所有直线． ◎随堂演练 1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　) A．(3，2) B．(2，3) C．(－2，－3) D．(－3，－2) 解方程组得故两条直线的交点坐标为(2，3). 2．斜率为2，且过直线y＝4－x和直线y＝x＋2交点的直线方程为(　　) A．2x－y＋1＝0 B．2x－y－1＝0 C．2x－y－2＝0 D．2x－y＋2＝0 联立得所以两直线的交点坐标为(1，3)， 所求直线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0. 3．已知直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：2x－by－1＝0相交于点M(1，1)，则a＋b＝(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－2 ∵点M(1，1)在直线l1和l2上， ∴解得∴a＋b＝－1. 故选A. 4．若三条直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋y＝0，l3：x－y＝1经过同一个点，则a＝______． 答案：－3　 由解得 ∴直线l3与l2的交点坐标为(，－). 由题意得点(，－)在直线l1上， ∴a＋＋1＝0，解得a＝－3. $$