第1章 1.4 两条直线的平行与垂直（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

直线与圆 1．4　两条直线的平行与垂直 第一章 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 学习目标 1. 理解两条直线平行与垂直的充要条件． 2．能根据直线方程判断两条直线平行或垂直． 3．能利用两条直线平行与垂直的条件解决有关问题． 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 关系 l1∥l2⇔_____________ l1∥l2⇐两直线斜率都不存在 图示 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 A 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 类型 斜率存在 其中一条斜率不存在 条件 |α2－α1|＝90° α1＝0°，α2＝90° 关系 l1⊥l2⇔k1·k2＝____ l1斜率为__，l2斜率不存在 图示 －1 0 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 A 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 A 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 C 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 课时梯级训练（5） 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 知识点一　直线平行与斜率的关系 过山车是一种富有刺激性的娱乐游戏，那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷．过山车的铁轨是两条平行、起伏的轨道，你能感受到过山车中铁轨的平行吗？那么数学中的两条直线的平行用什么来刻画呢？ 设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2，有： k1＝k2 (1)如果两直线平行，那么它们的倾斜角一定相等，而斜率可能都不存在或相等． (2)当两条直线的斜率相等时，两条直线不一定平行，还有可能重合． (3)与直线y＝kx＋b平行的直线可设为y＝kx＋c(c≠b). [练1] 过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 因为所求直线与直线x－2y－2＝0平行，所以所求直线斜率k＝，排除C，D.又直线过点(1，0)，排除B. [练2] 已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率为(　　) A．－3 B．3 C．－ D． 因为k＝kAB＝＝3，所以l的斜率为3. [练3] 直线y＝－x＋与直线y＝－x－平行，则a的值为(　　) A．2 B．±2 C． D．± 因为直线y＝－x＋与直线y＝－x－平行，显然a≠0， 所以即 解得a＝±. 判断两条直线是否平行的方法 (1)倾斜角相等，两直线平行； (2)斜率相等截距不相等或斜率都不存在时两直线平行． 知识点二　直线垂直与斜率的关系 两条直线的平行可以由斜率以及y轴上的截距来判断，那么如何来判断两条直线是否垂直呢？ 设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2，有： (1)若两条直线垂直，则这两条直线倾斜角之差的绝对值等于90°. (2)当两条直线垂直时，两直线的斜率都存在且斜率之积为－1，或一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在． (3)与直线y＝kx＋b垂直的直线可设为y＝－x＋c. [例1] 判断下列各组直线是否垂直，并说明理由． (1)l1：y＝x＋1，l2：y＝－x＋3； (2)l1：x－y－1＝0，l2：x＋3y－1＝0； (3)l1：3x＋4y－7＝0，l2：4x＋3y－1＝0； (4)l1：3x＋2＝0，l2：5x＋8＝0. (1)因为l1：y＝x＋1，l2：y＝－x＋3， 所以直线l1的斜率为，直线l2的斜率为－. 因为×(－)＝－1，所以l1与l2垂直． (2)因为l1：x－y－1＝0，l2：x＋3y－1＝0， 所以直线l1的斜率为，直线l2的斜率为－. 因为×(－)＝－1，所以l1与l2垂直． (3)因为l1：3x＋4y－7＝0，l2：4x＋3y－1＝0， 所以直线l1的斜率为－，直线l2的斜率为－. 因为－×(－)＝1，所以l1与l2不垂直． (4)因为l1：3x＋2＝0，l2：5x＋8＝0， 所以l1与l2平行，不垂直． 1．判断两条直线垂直的方法 (1)两直线的斜率都存在且斜率之积为－1，则两直线垂直； (2)若一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则两直线垂直． 2．由两直线垂直求参数的方法 (1)若两直线斜率都存在，由斜率之积为－1，解方程求解； (2)若一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，也可求解． [练4] 已知点A(7，－4)，B(－5，6)，则线段AB垂直平分线方程是(　　) A．6x－5y－1＝0 B．5x＋6y＋1＝0 C．6x＋5y－1＝0 D．5x－6y＋1＝0 由题意得线段AB的中点坐标为(1，1)，而kAB＝＝－， 故AB垂直平分线的斜率为，方程为y－1＝(x－1)，即6x－5y－1＝0.故选A. 知识点三　一般式方程下的平行与垂直 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.如何判断它们的位置关系呢？判断的理由是什么？ 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则 (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)； (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. [例2] 根据下列条件，求直线的一般方程． (1)过点A(3，1)，且与直线x＋3y＋2＝0平行； (2)与直线2x－y＋1＝0垂直，且与x，y轴的正半轴围成的三角形的面积等于4. (1)与直线x＋3y＋2＝0平行的直线可设为x＋3y＋b＝0(b≠2). 将点A的坐标代入，得3＋3＋b＝0，解得b＝－6，所以所求直线的方程为x＋3y－6＝0. (2)与直线2x－y＋1＝0垂直的直线可设为x＋2y＋m＝0. 当x＝0时，y＝－；当y＝0时，x＝－m.因为与x，y轴的正半轴围成的三角形的面积等于4， 所以×(－)×(－m)＝4(m<0)，解得m＝－4，所以所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 平行直线系与垂直直线系 (1)与直线l：Ax＋By＋C1＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2). (2)与直线l：Ax＋By＋C1＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C2＝0. [练5] 已知直线l1：(1－a)x＋ay－2＝0，l2：ax＋(2a＋1)y＋3＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为(　　) A．0或2 B．0或－2 C．2 D．－2 根据题意，得(1－a)a＋a(2a＋1)＝0，即a2＋2a＝0，解得a＝0或a＝－2. 1．知识清单 (1)两直线平行的充要条件； (2)两直线垂直的充要条件． 2．方法归纳：方程思想、数形结合思想、转化与化归思想． 3．常见误区 (1)判断垂直与平行时，忽略直线斜率不存在的情况； (2)由一般式判断平行与垂直混淆条件． ◎随堂演练 1．已知直线l1：y＝x＋，l2：y＝x＋，则l1与l2的位置关系是(　　) A．平行 B．重合 C．相交 D．以上答案都不对 因为直线l1的斜率k1＝， 直线l2的斜率k2＝，所以k1＝k2. 因为与不相等，所以l1与l2互相平行． 2．直线y＝2与直线x＝0的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．重合 D．以上都不对 3．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定 直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－，则k1≠k2，且k1k2≠－1. 4．当m为何值时，过点A(1，1)，B(2m2＋1，m－2)的直线： (1)与过点(3，2)，(0，－7)的直线垂直； (2)与过点(2，－3)，(－4，9)的直线平行． 由题意知kAB＝. (1)由＝3及垂直关系，得＝－，解得m＝或m＝－3. (2)令＝＝－2，解得m＝或m＝－1.经检验，此时两直线不重合，所以m＝或m＝－1. $$