第1章 1.3 第2课时 直线方程的两点式（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

直线与圆 1.3　直线的方程 第2课时　直线方程的两点式 第一章 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 学习目标 1.根据确定直线位置的几何要素，探索直线方程的两点式和截距式． 2．掌握直线方程的两点式、截距式，并会熟练应用． 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 垂直 条件 图示 方程 适用范围 A(x1，y1)和B(x2，y2) 其中x1≠x2，y1≠y2 ______________ 不表示____于坐标轴的直线 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 条件 图示 方程 适用范围 在x轴上的截距a，在y轴上的截距b，其中ab≠0 ____________ 不表示____于坐标轴及过____的直线 垂直 原点 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 C 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 AC 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 课时梯级训练（3） 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 知识点一　直线方程的两点式 我们知道，两点确定一条直线，在平面直角坐标系中，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求直线AB的方程？ ＝ (1)当直线没有斜率(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式求直线方程． (2)直线方程的两点式与A(x1，y1)，B(x2，y2)的顺序无关． [例1] 已知△ABC的三个顶点分别为A(7，4)，B(3，－1)，C(－5，2). (1)求△ABC的三边所在直线的方程； (2)求△ABC的三条中线所在直线的方程． (1)由A(7，4)，B(3，－1)，C(－5，2)， 知直线AB的方程为＝，即y＝x－； 直线BC的方程为＝，即y＝－x＋； 直线AC的方程为＝，即y＝x＋. (2)线段BC的中点坐标为(－1，)，又A(7，4)， 所以BC边上的中线所在的直线方程为＝. 即y＝x＋. 线段AB的中点坐标为(5，)，又C(－5，2)， 所以AB边上的中线所在的直线方程为＝，整理得y＝－x＋. 线段AC的中点坐标为(1，3)，又B(3，－1)， 所以AC边上的中线所在的直线方程为＝，整理得y＝－2x＋5. 求直线方程的两点式的策略 (1)判断是否满足两点式方程的适用条件． (2)如果两点的连线不垂直于坐标轴，则可以用两点式写出相应的直线方程． [练1] 过点A(5，6)和点B(－1，2)的直线方程的两点式是(　　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ B 所求直线过点A(5，6)和点B(－1，2)，根据直线的两点式方程可得直线方程为＝. A [练2] 已知直线l的两点式方程为＝，则直线l的斜率为(　　) A．－ B． C．－ D． 因为直线l的两点式方程为＝，所以直线l过点(－5，0)，(3，－3)，所以直线l的斜率为＝－. 知识点二　直线方程的截距式 类比直线l在y轴上的截距，你能定义直线l在x轴上的截距吗？若已知直线在两坐标轴上的截距，如何更简洁的求该直线的方程？ 1．直线l在x轴上的截距 直线l与x轴交点(a，0)的横坐标a叫作直线l在x轴上的截距． 2．直线方程的截距式 ＋＝1 在使用截距式时，先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件． [例2] 求过点A(5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程． 方法一　当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x. 当直线l在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为＋＝1，即x－y＝a. 又直线l过点A(5，2)，所以5－2＝a，即a＝3， 所以直线l的方程为y＝x－3. 综上所述，直线l的方程是y＝x或y＝x－3. 方法二　由题意，知直线l的斜率一定存在．设直线l的方程为y－2＝k(x－5). 当x＝0时，y＝2－5k；当y＝0时，x＝5－， 所以2－5k＝－，解得k＝或1. 当k＝时，直线l的方程为y－2＝(x－5)，即y＝x； 当k＝1时，直线l的方程为y－2＝1×(x－5)，即y＝x－3. 求直线方程的截距式的步骤 (1)若已知直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a≠0，b≠0)，方程常设为＋＝1； (2)根据已知条件，寻找关于参数a，b的方程组，解方程组即可得参数的值； (3)将求得的参数的值代入所设方程并整理． [练3] 过点P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 设直线在两坐标轴上的截距都是a，则有： ①当a＝0时，直线方程可设为y＝kx.将(2，3)代入，得k＝，所以直线的方程为y＝x. ②当a≠0时，直线方程可设为＋＝1，即x＋y＝a. 将(2，3)代入，得a＝5， 所以直线的方程为y＝－x＋5. 综上，所求直线的方程为y＝x或y＝－x＋5. 综合应用：直线方程的截距式的综合应用 [例3] 过点P(2，1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点．当|OA|·|OB|取最小值时，求出最小值及直线l的截距式方程． 根据题意，可设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则A(a，0)，B(0，b). ∵直线l过点P(2，1)，∴＋＝1(a>0，b>0). 又＋≥2(当且仅当＝，即a＝4，b＝2时取等号)， ∴2≤1，即ab≥8， ∴|OA|·|OB|＝ab的最小值为8，此时直线l的截距式方程为＋＝1. 截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用直线的截距式方程，用待定系数法确定系数即可． (2)选用直线的截距式方程时，首先考虑截距式方程的适用条件． (3)要注意截距式方程的逆向运用． [练4] 已知直线l经过点P(2，)，且与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O是坐标原点．若______，求直线l的方程．试从下列所给的条件中任选一个补充在横线处，并解答． ①tan ∠ABO＝； ②△AOB的面积是6. 选条件①： 设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0). 由题意可知得 所以直线l的方程为＋＝1. 选条件②： 设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0). 由题意可得解得 所以直线l的方程为＋＝1. 1．知识清单 (1)直线方程的两点式； (2)直线方程的截距式． 2．方法归纳：方程思想、数形结合思想、转化与化归思想． 3．常见误区 (1)忽略两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线； (2)忽略截距式方程既不能表示与坐标轴垂直的直线，又不能表示过原点的直线． ◎随堂演练 1．在x轴和y轴上的截距分别为－2，3的直线方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 由直线的截距式方程可得＋＝1. 2．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2).若M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为(　　) A．y＝2x＋8 B．y＝－2x＋8 C．y＝－2x＋12 D．y＝2x－12 由题意得M，N的坐标分别为(2，4)，(3，2)，利用直线方程的两点式可得直线方程为y＝－2x＋8. 3．(多选)过点A(4，1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是(　　) A．y＝－x＋5 B．y＝x＋5 C．y＝ D．y＝－ 当直线过坐标原点时，直线方程为y＝；当直线不过坐标原点时，设直线方程为＋＝1，代入点A(4，1)，可得a＝5， 即y＝－x＋5.故选AC. 4．经过点M(1，－2)，N(2，3)的直线l的两点式方程为__________． 答案：＝　 因为直线l经过点M(1，－2)，N(2，3)，由直线的两点式方程可得＝，即＝， 所以直线l的两点式方程为＝. $$