第1章 1.3 第1课时 直线方程的点斜式（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

直线与圆 1.3　直线的方程 第1课时　直线方程的点斜式 第一章 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 学习目标 1.根据确定直线位置的几何要素，探索直线方程的点斜式、斜截式． 2．掌握直线方程的点斜式、斜截式，并会熟练应用． 3．了解截距的概念，了解直线方程的斜截式与一次函数的关系． 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 方程的解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 条件 图示 方程 适用范围 点P(x0，y0)和斜率k _______________________________________ 直线的斜率存在 y－y0＝k(x－x0) 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 条件 图示 方程 适用范围 斜率k和直线在y轴上的截距b y＝_________ 直线的斜率存在 kx＋b 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 B 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 课时梯级训练（2） 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 知识点一　直线l的方程 如果一个方程称为直线l的方程，那么它需要满足什么条件？ 一般地，如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个________，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程． 只满足上面其中的一个条件不能称为直线的方程．例如以方程＝1的解为坐标的点都在直线y＝x上，但＝1不是直线y＝x的方程． [练1] 下列命题正确的是(　　) A．任意一条直线一定是某个一次函数的图象 B．关于x的一次函数的图象是一条直线 C．以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这个方程叫做这条直线的方程 D．若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则这条直线叫做这个方程的直线 直线x＝1不是一次函数的图象，故选项A错误；因为一次函数的图象都是直线，故选项B正确；以方程y＝x(x≥0)的解为坐标的点都在直线y＝x上，但这个方程不能表示这条直线，故选项C错误；直线与方程一一对应是直线上所有点的坐标都是方程的解，同时方程的所有解也是直线上的点的坐标，故选项D错误． [练2] 已知点(a，1)，(－1，b)确定的直线方程是y＝－3x＋1，求a，b的值． 依题意，点(a，1)，(－1，b)都在直线y＝－3x＋1上，所以1＝－3a＋1，b＝－3×(－1)＋1， 解得a＝0，b＝4. 知识点二　直线方程的点斜式 若直线经过点P(x0，y0)，且斜率为k，则直线上任意一点的坐标满足什么条件？ (1)应用点斜式的前提是直线的斜率存在； (2)当直线的倾斜角为0°且过点(x0，y0)时，直线的方程为y＝y0； (3)当直线的倾斜角为90°且过点(x0，y0)时，直线的方程为x＝x0. [例1] 写出下列直线的方程． (1)经过点A(－1，4)，斜率k＝－3； (2)经过点(2，5)，点(0，3)； (3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行； (4)经过点D(1，1)，且与x轴垂直． (1)因为直线经过点A(－1，4)，斜率k＝－3，所以所求直线的方程为y－4＝－3[x－(－1)]，即y－4＝－3x－3. (2)因为直线过点(2，5)，点(0，3)，所以直线的斜率为＝1，所以所求直线的方程为y－5＝x－2. (3)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0， 所以所求直线的点斜式方程为y－(－1)＝0，即y＝－1. (4)由题意可知直线的斜率不存在， 所以所求直线的方程为x＝1. 求直线点斜式方程的步骤 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0). (2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外． [练3] 写出下列直线的方程． (1)过点(－1，2)，倾斜角为135°； (2)经过点P(3，－4)，与y轴垂直； (3)经过点C(2，8)，D(－3，－2)； (4)斜率为，与x轴交点的横坐标为－7. (1)因为直线的倾斜角为135°，所以斜率k＝tan 135°＝－1，所以所求直线的方程为y－2＝－(x＋1)，即y－2＝－x－1. (2)因为直线与y轴垂直，所以直线的斜率k＝tan 0°＝0， 所以所求直线的方程为y－(－4)＝0，即y＝－4. (3)因为直线经过点C(2，8)，D(－3，－2)，所以斜率k＝＝2，所以所求直线的点斜式方程为y－8＝2(x－2)，即y－8＝2x－4. (4)因为直线与x轴交点的横坐标为－7，所以直线过点(－7，0).又因为斜率为，所以所求直线的方程为y－0＝(x＋7)，即y＝(x＋7). 知识点三　直线方程的斜截式 若直线的斜率为k，与y轴的交点坐标为(0，b)，则直线上任意一点的坐标满足什么关系呢？ 1．直线l在y轴上的截距：若直线l与y轴的交点为(0，b)，则b叫作直线l在y轴上的截距． 截距不是距离，它可以取一切实数，即可以为正数、0、负数． 2．直线方程的斜截式 (1)应用斜截式的前提是直线的斜率存在． (2)斜截式方程不能表示垂直于x轴的直线，即斜率不存在的直线． (3)当已知直线与y轴的交点坐标求直线方程时，选用斜截式形式的方程比较简单． [例2] 根据条件写出下列直线的方程． (1)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5； (2)经过点(3，7)，(0，2)； (3)与直线y＝－x＋1在y轴上的截距相等，且过点Q(2，2)； (4)斜率为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. (1)因为倾斜角是60°，所以斜率k＝tan 60°＝.由斜截式可得所求方程为y＝x＋5. (2)因为直线经过点(3，7)，(0，2)，所以直线的斜率为＝，所以所求直线的方程为y＝x＋2. (3)由题意知，该直线过点(0，1)和(2，2)，故斜率为＝，所以所求直线的方程为y＝x＋1. (4)因为直线与y轴的交点到原点的距离为3， 所以直线在y轴上的截距b＝3或－3. 所以所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3. 求直线方程的斜截式的策略 (1)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定某直线，只需两个独立的条件． (2)利用直线的斜截式求方程时，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理，如果已知截距b，只需引入参数k即可． [练4] 斜率是3，在y轴上的截距是－3的直线的方程为__________． 答案：y＝3x－3　 由直线方程的斜截式可知，所求直线的方程为y＝3x－3. [练5] 已知直线l的斜率为2，在y轴上的截距为m.若直线l过点(1，1)，求实数m的值． 由直线方程的斜截式，得直线l的方程为y＝2x＋m.因为直线l过点(1，1)， 将x＝1，y＝1代入方程y＝2x＋m，得1＝2×1＋m，所以m＝－1. C 综合应用：点斜式与斜截式的综合应用 [例3] (1)方程y＝k(x－2)＋2表示(　　) A．通过点(2，0)的所有直线 B．通过点(2，－2)且不垂直于x轴的所有直线 C．通过点(2，2)且不垂直于x轴的所有直线 D．通过点(2，0)且除去x轴的所有直线 B (2)在坐标系中，方程y＝ax－表示的直线可能是(　　) (1)y＝k(x－2)＋2即y－2＝k(x－2)，表示斜率存在的直线，且直线过点(2，2). (2)由题意知，斜率与在y轴上的截距异号．故B正确． 点斜式与斜截式的特点 (1)若直线的点斜式方程为y－y0＝k(x－x0)，则直线过定点(x0，y0). (2)已知直线的斜截式方程y＝kx＋b. ①当k＞0时，直线从左向右看是上升的；当k＜0时，直线从左向右看是下降的． ②当b＞0时，直线与y轴的交点在y轴正半轴上；当b≤0时，直线与y轴的交点在y轴非正半轴上． [练6] 若直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有(　　) A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0 如图，因为直线经过一、三、四象限， 所以k＞0，b＜0. [练7] 直线l：y＝kx＋2k＋1必过定点(　　) A．(－2，－1) B．(0，0) C．(1，－2) D．(－2，1) 因为y＝kx＋2k＋1，所以y－1＝k(x＋2).由直线的点斜式方程，可得直线过定点(－2，1). 1．知识清单 (1)直线方程的概念； (2)直线方程的点斜式； (3)直线方程的斜截式． 2．方法归纳：方程思想、数形结合思想、转化与化归思想． 3．常见误区 (1)忽略点斜式、斜截式方程不能表示与x轴垂直的直线； (2)求过某点的直线方程，未考虑斜率不存在的情况. ◎随堂演练 1．已知直线过点(1，2)，斜率为－2，则该直线的点斜式方程为(　　) A．y－1＝2(x－2) B．y－2＝2(x－1) C．y－1＝－2(x－2) D．y－2＝－2(x－1) 由点斜式方程，得y－2＝－2(x－1). 2．直线y－2＝(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为(　　) A．60°，2 B．60°，2＋ C．120°，2＋ D．120°，2 由y－2＝(x＋1)，即y＝x＋＋2，可知斜率k＝，故倾斜角为60°. 在y轴上的截距为2＋. 3．在坐标系中，直线y＝k(x＋1)(k＞0)可能是(　　) 由k＞0，排除选项A，C； 当x＝－1时，y＝0，选项B正确． 4．已知直线l的倾斜角为45°，在y轴上的截距为3，则直线l的方程为__________． 答案：y＝x＋3　 因为直线l的倾斜角为45°，所以其斜率为1.由斜截式方程，得y＝x＋3. $$