第1章 1.1～1.2 一次函数的图象与直线的方程 直线的倾斜角、斜率及其关系（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

直线与圆 §1　直线与直线的方程 1．1　一次函数的图象与直线的方程 1．2　直线的倾斜角、斜率及其关系 第一章 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 学习目标 1.了解直线与一次函数解析式也就是二元一次方程的关系． 2．理解并掌握直线的倾斜角和斜率的概念． 3．理解并掌握直线的斜率与倾斜角、方向向量的对应关系． 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 直线 坐标 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 逆时针 首次 平行 重合 倾斜 越大 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 CD 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 不存在 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 A －6 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 ≥ 增大 ＜ 增大 不存在 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 (x2－x1，y2－y1) (1，k) 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 A 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 D 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 BCD 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 课时梯级训练（1） 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第一册 北　 知识点一　一次函数的图象与直线的方程 在平面直角坐标系中，一次函数的图象是什么？如何用方程来表示该函数的图象？ 一般地，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条____，它是以满足y＝kx＋b的每一对x，y的值为____的点构成的．同时函数解析式y＝kx＋b可以看作二元一次方程． 知识点二　直线的倾斜角 在平面中，确定直线位置的几何要素有哪些？如何确定一条直线的方向呢？ 1．定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按______方向绕着交点旋转到和直线l____重合时所成的角，称为直线l的倾斜角． 2．规定：当直线l与x轴____或____时，它的倾斜角为0°. 3．倾斜角α的取值范围：[0，π). 4．倾斜角的作用：刻画直线的____程度，倾斜角越接近，倾斜程度____． 直线的倾斜角能为0，但不能为π. [例1] 求图中各直线的倾斜角． (1)　　　　　　(2)　　　　　　(3) (1)如图①，可知∠OAB为直线l1的倾斜角．易知∠ABO＝30°， ∴∠OAB＝60°，即直线l1的倾斜角为60°. 图①　　　　　图②　 　　　　　图③ (2)如图②，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝45°， ∴∠OAB＝45°， ∴∠xAB＝135°，即直线l2的倾斜角为135°. (3)如图③，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝60°， ∴∠BAO＝30°， ∴∠OAC＝150°，即直线l3的倾斜角为150°. 求直线的倾斜角的方法及两点注意事项 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形、等边三角形)求角． (2)注意事项： ①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②直线倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°. [练1] (多选)一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　) A．α B．180°－α C．90°－α D．90°＋α 如图1，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；如图2，当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α. 知识点三　直线的斜率 在平面中，直线的倾斜程度能利用直线上两个不同的点的坐标表示吗？直线的倾斜程度与选取的直线上两个不同的点有关吗？ 在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2). (1)横坐标的改变量：Δx＝x2－x1(Δx≠0)，纵坐标的改变量：Δy＝y2－y1. (2)与P1，P2两点的关系：的大小与两点P1，P2在直线上的位置无关． (3)直线的斜率：当x1≠x2时，k＝________；当x1＝x2时，斜率k______． 常用斜率表示直线的倾斜程度，直线的斜率与直线上两个点的位置无关． [例2] (1)若经过点P(－2，m)和点Q(m，4)的直线的斜率为1，则m等于(　　) A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 (2)若A(2，1)，B(－2，m)，C(6，8)三点在同一直线上，则m的值为______． (1)由题意知kPQ＝＝1，解得m＝1. (2)由条件知，kAB＝＝， kAC＝＝. 又因为A，B，C三点在同一直线上， 所以kAB＝kAC，即＝. 所以m＝－6. 1．直线斜率的计算方法 (1)若两点的横坐标相等，则直线的斜率不存在． (2)若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k＝(其中x1≠x2)进行计算． 2．三点共线问题 利用斜率可解决三点共线问题，即点A，B，C三点共线⇔kAB＝kAC或kAB与kAC都不存在． B [练2] 若过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为－，则a等于(　　) A．－8 B．10 C．2 D．4 kMN＝＝－，解得a＝10. [练3] 已知直线l经过A(5，－3)，B(4，y)，C(－1，9)三点，则直线l的斜率k＝________，y＝______． 答案：－2　－1 由条件知，kAB＝＝－y－3，kAC＝＝－2， 所以直线l的斜率k＝kAC＝－2. 又因为A，B，C三点在同一直线上， 所以kAB＝kAC，即－y－3＝－2. 所以y＝－1. α的范围(或值) k的范围 k与α的关系 0≤α＜ k__0 k随α的增大而____ ＜α＜π k__0 k随α的增大而____ ______ — tan α 知识点四　直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 1．直线的斜率：k＝______(α≠). 2．直线的斜率k与倾斜角α的关系 并不是直线的倾斜角越大，斜率就越大． 3．直线l的方向向量 条件 方向向量 在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) ＝_____________________ k是直线l的斜率 v＝__________ 4.直线的方向向量与其斜率的关系 若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝. [例3] 已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1). (1)求直线BC，AC的一个方向向量、斜率和倾斜角； (2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围． (1)因为A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1)，所以直线BC，AC的一个方向向量分别为 ＝(2－1，＋1－1)＝(1，)， ＝(2－(－1)，＋1－1)＝(3，). 由方向向量与斜率的关系得kBC＝＝，kAC＝. 倾斜角的取值范围是[0，π). tan ＝，故直线BC的倾斜角为. tan ＝，故直线AC的倾斜角为. (2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即点D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为[，]. 1．已知直线的斜率(范围)求直线倾斜角(范围)的方法 当斜率全为正(负)值时，可以借助正切函数的单调性求解；如果既有正值又有负值，以0为分界点讨论求解． 2．已知直线的倾斜角(范围)求直线斜率(范围)的方法 通常先在坐标系中找出倾斜角的范围，再结合正切函数的图象得到斜率的范围． [练4] 已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． 如图，由题意可知： kPA＝＝－1，kPB＝＝1. (1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是{k|k≤－1或k≥1}． (2)由题意可知，直线l的倾斜角α介于直线PB与PA的倾斜角之间．又PB的倾斜角是，PA的倾斜角是，所以倾斜角α的取值范围是[，]. 1．知识清单 (1)直线倾斜角的概念； (2)直线的斜率公式； (3)直线的方向向量； (4)直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系． 2．方法归纳：数形结合思想、转化与化归思想． 3．常见误区 (1)求直线的斜率时，未注意斜率公式成立的条件； (2)求直线倾斜角的范围时，忘记倾斜角为的情况． ◎随堂演练 1．若直线l过点M(1，2)，N(2，5)，则直线l的斜率为(　　) A．3 B．－3 C． D．－ 根据题意，直线l的斜率为＝3. 2．已知直线l的一个方向向量为(1，－1)，则直线l的倾斜角为(　　) A．45° B．90° C．120° D．135° ∵直线l的一个方向向量为(1，－1)， ∴直线l的斜率k＝＝－1. ∴直线l的倾斜角为135°. 3．(多选)若经过点A(1－a，1＋a)和点B(3，a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值可能为(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 由题意得kAB＝＝<0，即2＋a>0，所以a>－2. 4．若直线l1经过A(0，0)，B(，1)两点，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则l2的斜率为______． 答案： ∵直线l1经过A(0，0)，B(，1)两点， ∴直线l1的斜率为＝， ∴直线l1的倾斜角为. ∵直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍， ∴l2的倾斜角为，斜率为. $$