精品解析：广西柳州市第三中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试卷

柳州三中 2023级高一下学期6月月考 数学科试题卷 一、单项选择题（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的知识确定正确选项. 【详解】依题意可知 故选：B 2. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据题意，由分层抽样知识可得： 在高二年级的学生中应抽取的人数为：， 故选B． 考点：分层抽样． 3. 已知复数满足，则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，所以. 4. 已知向量与的夹角为，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把平方，结合数量积的运算律化简即得解. 【详解】由，可得，则， 可得，解得. 故选：C. 5. 一样本的频率分布直方图如图所示，样本数据共分3组，分别为[5，10)，[10，15)，[15，20]．估计样本数据的第60百分位数是（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】A 【解析】 【分析】由频率分直方图可得数据落在区间[5，10)上的频率为0.04×(10-5)=0.20，数据落在区间[10，15)上的频率为0.10×5=0.50，从而可得第60百分位数是10+5× 【详解】解：由题图知，数据落在区间[5，10)上的频率为0.04×(10-5)=0.20，数据落在区间[10，15)上的频率为0.10×5=0.50，所以第60百分位数是10+5×=14． 故选：A 6. 如果从不包括大、小王的一堆扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心牌（事件A）的概率为，取到方片牌（事件B）的概率是，则取到红色牌（事件C）的概率和取到黑色牌（事件D）的概率分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】解析：因为，且A，B不会同时发生，即A，B是互斥事件，所以，又C，D是互斥事件，且是必然事件，所以C，D为对立事件，则. 故选：A 【点睛】本题主要考查了互斥与独立事件的概率求解,属于基础题型. 7. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则 A. 3 B. C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正弦定理得，再根据余弦定理列方程解得结果. 【详解】因为，所以由正弦定理得, 因此，选C. 【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 8. 在四面体中，已知，分别是，的中点，若，，，则与所成角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取中点，再根据平行得出异面直线所成角的正弦值即可求角. 【详解】取的中点，连结，． 因为，分别为，的中点，所以，， 所以为与所成的角或其补角． 因为，所以在中，， 所以，所以． 故选:D． 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 给出如图所示的三幅统计图，则下列命题中正确的有（ ） A. 从折线图能看出世界人口的变化情况 B. 2050年非洲人口将达到大约13亿 C. 2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多 D. 从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢 【答案】AC 【解析】 【分析】从折线统计图能看出世界人口的变化情况，可判定A正确；从条形统计图中可得到：2050年非洲人口大约将达到18亿，可判定B错误；从扇形统计图表中可得2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，可判定C正确；由上述三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，可判定D错误. 【详解】对于A中，从折线统计图能看出世界人口的变化情况，所以是正确的； 对于B中，从条形统计图中可得到：2050年非洲人口大约将达到18亿，所以是错误的； 对于C中，从扇形统计图表中能够明显的得到结论：2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，所以是正确的； 对于D中，由上述三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，所以是不正确的. 故选：AC. 10. 甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件 B. 甲的不同的选法种数为15 C. 已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是 D. 乙、丙两名同学都选物理的概率是 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据对立事件的概念可判断A；直接根据组合的意义可判断B；乙同学选技术的概率是可判断 C；根据相互独立事件同时发生的概率可判断D. 【详解】甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故A错误； 由于甲必选物理，故只需从剩下6门课中选两门即可，即种选法，故B正确； 由于乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是，故C错误； 乙、丙两名同学各自选物理的概率均为，故乙、丙两名同学都选物理的概率是，故D正确； 故选BD. 【点睛】本题主要考查了对立事件的概念，事件概率的求法以及相互独立事件同时发生的概率，属于基础题. 11. 在中，角所对的边分别为下列结论正确的是（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若，则 C. 若，三角形面积，则 D. 若，则为等腰三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据余弦定理，判定为锐角即可求解； 对于B，根据大角对大边，及正弦定理求解； 对于C，利用三角形的面积计算公式、余弦定理即可求解； 对于D，根据正弦定理的边角化，再利用倍角公式及角的范围即可求解. 【详解】对于A，由余弦定理得所以为锐角，但是角的大小不清楚，所以不能判定为锐角三角形，故A不正确； 对于B，在中，，则，由正弦定理得，， 即，故B正确； 对于C，由，，得，解得，由余弦定理得，所以， 故C正确； 对于D，由及正弦定理，得，即， 因为，所以或，解得或，所以为等腰三角形或为直角三角形，故D不正确. 故选：BC. 12. 函数的图象为，如下结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 对任意的，都有 C. 在上是增函数 D. 由的图象向右平移个单位长度得曲线 【答案】BC 【解析】 【分析】利用二倍角公式，辅助角公式，周期公式可得出A错误；由中心对称性可判断B正确；由正弦函数的单调性可判断C正确；由图像平移的性质可判断D错误. 【详解】A：．因为的最小正周期为，故A错误； B：又，则函数关于成中心对称，对任意的，都有成立，故B正确； C：当时，，此时在上是增函数，故C正确； D：由的图象向右平移个单位长度得到的图象，故D错误． 故选：BC 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 若，，与的夹角为，且，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由及数量积的运算即可求解. 【详解】因为，，与的夹角为，则， 若，则, 可得，即，解得. 故答案为：. 14. 若1，2，3，a的平均数是3，且4，5，a，b的平均数是5，则0，1，2，3，4，a，b的方差是________. 【答案】4 【解析】 【分析】先根据两组数据的平均数求出，再根据方差公式求解即可. 【详解】由题意，，解得， 所以的平均数为， 所以方差. 故答案为：. 15. 从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____. 【答案】. 【解析】 【分析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案. 【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有种情况. 若选出的2名学生恰有1名女生，有种情况， 若选出的2名学生都是女生，有种情况， 所以所求的概率为. 【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”. 16. 三棱锥A－BCD的四个面都是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且，则该三棱锥A－BCD外接球的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】将三棱锥A－BCD放入长方体内分析，结合可得，再根据长方体的体对角线等于外接球直径求解即可. 【详解】由题意，在长方体中画出三棱锥A－BCD，由有， 即，解得.易得该三棱锥A－BCD外接球即此长方体的外接球， 直径，故半径， 故体积为. 故答案为： 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知． （1）求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用向量，建立关于的方程，即可求解的值；（2）写出向量的坐标，利用得出关于的方程，即可求解实数的值. 试题解析：（1） （2）由（1）得 所以 考点：向量的坐标运算. 18. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，面积为2，求． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合，求出； （2）由（1）可知，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理即可求出. 【小问1详解】 ，∴，∵， ∴，∴，∴； 【小问2详解】 由（1）可知， ∵，∴， ∴， ∴． 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，E是PC的中点. （1）求PB和平面PAD所成的角的大小； （2）证明：平面PCD； （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1）45°； （2）证明：，， ，同理， ∴是平面的一个法向量，∴平面PCD； （3）． 【解析】 【分析】以为轴建立空间直角坐标系，求出各点坐标，用空间向量法求线面角，证明线面垂直，求二面角． 【小问1详解】 设， ∵，∴是等边三角形，， 又，∴，，， 以为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， ，平面的一个法向量是， ，， ∴PB和平面PAD所成的角为45°； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）（2）得， 设二面角大小为，则，． ∴二面角的正弦值为． 【点睛】本题考查求线面角，证明线面垂直，求二面角等知识，解题方法是空间向量法，解题关键是建立空间直角坐标系． 20. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其物理成绩（均为整数）分成六段，…后画出如下频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题： （1）估计这次考试的众数与中位数（结果保留一位小数）； （2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分. 【答案】（1）m=75,n=73.3;(2)0.75,71分 【解析】 【详解】解：（Ⅰ）众数是最高小矩形中点的横坐标，所以众数为m=75（分）； 前三个小矩形面积为0.01×10+0.015×10+0.015×10=0.4， ∵中位数要平分直方图的面积，∴n=70+(0.5-0.4)/0.03=73.3 （Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组， 频率和为 （0.015+0.03+0.025+0.005）*10=0.75 所以，抽样学生成绩的合格率是75% 利用组中值估算抽样学生的平均分45•f1+55•f2+65•f3+75•f4+85•f5+95•f6 =45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71 估计这次考试的平均分是71分． 21. 三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，、分别为、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求三棱锥的体积. 【答案】 （1）∵、分别为、的中点，∴， 又∵平面，平面，∴平面； （2）∵，为的中点，∴， 又∵平面平面，平面平面， 且平面，∴平面，又平面， ∴平面平面； （3）. 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理可得，再由线面平行的判定定理可得平面； （2）由于，为的中点，可得，再由平面平面，可证得平面，然后利用面面垂直的判定定理可得平面平面； （3）由于平面，所以求，可得三棱锥的体积 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：在等腰直角三角形中，， ∴，，∴等边三角形的面积， 又∵平面，∴三棱锥的体积， ∴. 22. 2020年我国全面建成小康社会，其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积30平方米.下表为年中，我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据.（单位：平方米） 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年 城镇 18.66 20.25 22.79 25 27.1 28.3 31.6 32.9 34.6 36.6 农村 23.3 24.8 26.5 27.9 30.7 32.4 34.1 37.1 41.4 45.8 （1）现从上述表格中随机抽取一年数据，试估计该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准的概率； （2）现从上述表格中随机抽取连续两年数据，求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米的概率； （3）将城镇和农村的人均住房建筑面积经四舍五入取整后作为样本数据.记年中城镇人均住房面积的方差为，农村人均住房面积的方差为，判断与的大小. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）可知满足题意的有4年，古典概型概率公式即得； （2）可知满足题意的有5年，利用古典概型概率公式即得； （3）根据题中数据，利用平均数及方差公式即得. 【小问1详解】 由表中的数据可知城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准的有4年， 所以城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准的概率为； 【小问2详解】 随机抽取连续两年数据：共9次． 两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米：共5次． 所以这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2的概率为； 【小问3详解】 由题可得： 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年 城镇 28 32 33 35 37 农村 32 34 37 41 46 所以城镇人均住房建筑面积的平均数为， 农村的人均住房建筑面积的平均数为， 可得 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柳州三中 2023级高一下学期6月月考 数学科试题卷 一、单项选择题（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 3. 已知复数满足，则( ) A. B. C. D. 4. 已知向量与的夹角为，且，，则（ ） A. B. C. D. 5. 一样本的频率分布直方图如图所示，样本数据共分3组，分别为[5，10)，[10，15)，[15，20]．估计样本数据的第60百分位数是（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 6. 如果从不包括大、小王的一堆扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心牌（事件A）的概率为，取到方片牌（事件B）的概率是，则取到红色牌（事件C）的概率和取到黑色牌（事件D）的概率分别是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则 A. 3 B. C. D. 12 8. 在四面体中，已知，分别是，的中点，若，，，则与所成角的度数为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 给出如图所示的三幅统计图，则下列命题中正确的有（ ） A. 从折线图能看出世界人口的变化情况 B. 2050年非洲人口将达到大约13亿 C. 2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多 D. 从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢 10. 甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件 B. 甲的不同的选法种数为15 C. 已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是 D. 乙、丙两名同学都选物理的概率是 11. 在中，角所对的边分别为下列结论正确的是（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若，则 C. 若，三角形面积，则 D. 若，则为等腰三角形 12. 函数的图象为，如下结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 对任意的，都有 C. 在上是增函数 D. 由的图象向右平移个单位长度得曲线 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 若，，与的夹角为，且，则的值为________． 14. 若1，2，3，a的平均数是3，且4，5，a，b的平均数是5，则0，1，2，3，4，a，b的方差是________. 15. 从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____. 16. 三棱锥A－BCD的四个面都是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且，则该三棱锥A－BCD外接球的体积为________． 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知． （1）求实数的值； （2）若，求实数的值． 18. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，面积为2，求． 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，E是PC的中点. （1）求PB和平面PAD所成的角的大小； （2）证明：平面PCD； （3）求二面角的正弦值. 20. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其物理成绩（均为整数）分成六段，…后画出如下频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题： （1）估计这次考试的众数与中位数（结果保留一位小数）； （2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分. 21. 三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，、分别为、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求三棱锥的体积. 22. 2020年我国全面建成小康社会，其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积30平方米.下表为年中，我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据.（单位：平方米） 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年 城镇 18.66 20.25 22.79 25 27.1 28.3 31.6 32.9 34.6 36.6 农村 23.3 24.8 26.5 27.9 30.7 32.4 34.1 37.1 41.4 45.8 （1）现从上述表格中随机抽取一年数据，试估计该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准的概率； （2）现从上述表格中随机抽取连续两年数据，求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米的概率； （3）将城镇和农村的人均住房建筑面积经四舍五入取整后作为样本数据.记年中城镇人均住房面积的方差为，农村人均住房面积的方差为，判断与的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $