专题03 一元二次方程与三角形综合的三类题型（3大题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（湘教版）

专题03 一元二次方程与三角形综合的三类题型 题型一：一元二次方程与三角形三边关系的综合 题型二：一元二次方程与特殊三角形的综合 题型三：一元二次方程与动态几何的综合 题型一：一元二次方程与三角形三边关系的综合 已知a、b、c是三角形三边的长，则关于x的一元二次方程的实数根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根； C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系可知，可知一元二次方程根的情况． 【详解】解：， ∵a、b、c是三角形三边的长， ∴， ∴， ∴原方程没有实数根， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，三角形的三边关系，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键． 一．填空题（共5小题） 1．如果三角形两边的长分别是一元二次方程的两根，则第三边的长能否是10，答 （填“能”或“不能”） 2．已知a，b，c是的三边长，若一元二次方程没有实数根，则是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 3.若为的三边，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则这个三角形是 三角形． 4.已知在△ABC中，AB＝3，AC＝5，第三边BC的长为一元二次方程x2－6x＋8＝0的一个根，则该三角形为 三角形． 5.已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程的两根，那么这个直角三角形斜边的长为 ． 题型二：一元二次方程与特殊三角形的综合 已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． 如果是方程的根，则是等腰三角形； 如果方程有两个相等的实数根，则是直角三角形； 如果是等边三角形，则这个一元二次方程的根为和． 其中正确的是 【答案】①②/②① 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，灵活应用所学知识是解题关键．本题直接将代入得出关于a，b的等式，进而得出，即可判断的形状，可判断①；利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断的形状，可判断②；利用是等边三角形，则，进而代入方程求出即可判断③．从而可得答案． 【详解】解：是方程的根， ， ， ， ， 是等腰三角形． 故①符合题意； 方程有两个相等的实数根， ， ， ， 是直角三角形；故②符合题意； ③是等边三角形，则， 可整理为：， ， 解得：，．故③不符合题意； 故其中正确的是①②． 故答案为：①②． 一．选择题（共5小题） 1．已知、、为三边，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则这个三角形是(    ) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不等三角形 2．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且总是方程的两根（m为整数），则这样的直角三角形（    ） A．有1个 B．有2个 C．有无数个 D．不存在 3．直角三角形两边长分别是一元二次方程的两实根，则该三角形的面积是（　　） A．24 B．24或30 C．48 D．30 二．解答题（共2小题） 6．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根、是斜边长为5的直角三角形两直角边长，求k的值． 7．已知关于的一元二次方程，其中a，b，c分别是的三边的长度． (1)如果是等边三角形，求这个一元二次方程的根； (2)如果是以为斜边的直角三角形，判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由． 题型三：一元二次方程与动态几何的综合 如图，中，，，． (1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发． ①经过多少秒钟，的面积等于； ②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为． 【答案】(1)①秒或秒；②秒 (2)秒或秒或秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积， （1）①由三角形的面积公式可求解； ②分两种情况讨论，由题意列出方程可求出答案； （2）分三种情况：①点在线段上，点在线段上，②点在线段上，点在线段的延长线上时，③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，由三角形面积公式可得出答案； 运用分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】（1）解：①设经过秒钟，的面积等于， 由题意，，， ∴， ∴， 解得：，， ∴经过秒或秒钟，的面积等于； ②设经过秒，线段能将分成面积为的两部分，由题意得： 1），即：， ∴， 解得：（不合题意，舍去），； 2），即：， ∴， ∵， 此方程无实数根，即这种情况不存在； 综上所述，经过秒时，线段能将分成面积为的两部分； （2）设经过秒，的面积为，可分三种情况： ①点在线段上，点在线段上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：（舍去），； ②点在线段上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：； ③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）； 综上所述，经过秒或秒或秒后，的面积为． 一、解答题（共4小题） 1.如图，矩形中，，，点P从A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，当点P到达B点或点Q到达C点时，两点停止移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，t秒钟后． (1)求出的面积； (2)当的面积等于8平方厘米时，求t的值； 2.如图，中，，动点P从点B出发以的速度向点C移动，同时动点Q从点C出发以的速度向点A移动，其中一点到达终点后另一点也随之停止运动，设它们的运动时间为． (1)运动几秒时，为等腰三角形？ (2)t为何值时，的面积等于面积的？ (3)在运动过程中，的长度能否为？试说明理由． 3.如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以的速度向D移动． (1)P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为； (2)P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是． 4.如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (2)在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (3)取的中点，运动过程中，当时，求的值； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元二次方程与三角形综合的三类题型 题型一：一元二次方程与三角形三边关系的综合 题型二：一元二次方程与特殊三角形的综合 题型三：一元二次方程与动态几何的综合 题型一：一元二次方程与三角形三边关系的综合 已知a、b、c是三角形三边的长，则关于x的一元二次方程的实数根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根； C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系可知，可知一元二次方程根的情况． 【详解】解：， ∵a、b、c是三角形三边的长， ∴， ∴， ∴原方程没有实数根， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，三角形的三边关系，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键． 一．填空题（共5小题） 1．如果三角形两边的长分别是一元二次方程的两根，则第三边的长能否是10，答 （填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理，能求出方程的解是解此题的关键．先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理求出答案即可． 【详解】解：， ， 或， 解得：，， 即三角形的两边长是7和2， 当第三边是10时，，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形． 故答案为：不能． 2．已知a，b，c是的三边长，若一元二次方程没有实数根，则是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 【答案】锐角 【分析】根据题意得到，然后求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程没有实数根 ∴ ∴ ∴ 解得， ∴是锐角三角形． 故答案为：锐角． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和三角形的分类，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的判别式． 3.若为的三边，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则这个三角形是 三角形． 【答案】等腰 【分析】根据关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，利用一元二次方程根的判别式进行求解可以得到或，由此判定即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴即 解得或， ∴这个三角形为等腰三角形． 故答案为：等腰． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和等腰三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根的判别式． 4.已知在△ABC中，AB＝3，AC＝5，第三边BC的长为一元二次方程x2－6x＋8＝0的一个根，则该三角形为 三角形． 【答案】直角 【分析】先解方程，再根据三角形的三边关系定理求得第三边的范围，即可得出第三边，再根据勾股定理的逆定理得出该三角形的形状． 【详解】解一元二次方程x2-6x+8=0， 得，x=2或4， ∵AB=3，AC=5， ∴2＜BC＜8， ∵第三边BC的长为一元二次方程x2－6x＋8＝0的一个根， ∴BC=4， 当BC=4时，AB2+BC2=AC2，△ABC是直角三角形. 故答案为：直角． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、勾股定理的逆定理． 5.已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程的两根，那么这个直角三角形斜边的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，先解方程得到，再用勾股定理计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴直角三角形的两条直角边长分别为、， ∴这个直角三角形斜边的长为， 故答案为：． 题型二：一元二次方程与特殊三角形的综合 已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． 如果是方程的根，则是等腰三角形； 如果方程有两个相等的实数根，则是直角三角形； 如果是等边三角形，则这个一元二次方程的根为和． 其中正确的是 【答案】①②/②① 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，灵活应用所学知识是解题关键．本题直接将代入得出关于a，b的等式，进而得出，即可判断的形状，可判断①；利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断的形状，可判断②；利用是等边三角形，则，进而代入方程求出即可判断③．从而可得答案． 【详解】解：是方程的根， ， ， ， ， 是等腰三角形． 故①符合题意； 方程有两个相等的实数根， ， ， ， 是直角三角形；故②符合题意； ③是等边三角形，则， 可整理为：， ， 解得：，．故③不符合题意； 故其中正确的是①②． 故答案为：①②． 一．选择题（共5小题） 1．已知、、为三边，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则这个三角形是(    ) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不等三角形 【答案】C 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，得出关于的等式，因式分解后即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即 ∴ ∴或 ∴这个三角形是等腰三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，等腰三角形的定义，因式分解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 2．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且总是方程的两根（m为整数），则这样的直角三角形（    ） A．有1个 B．有2个 C．有无数个 D．不存在 【答案】D 【分析】设直角三角形的两条直角边为、，利用根与系数的关系可得，由、是正整数，可得也为正整数，从而得到的值，再分情况计算结果即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边都是整数，且总是方程的两根（m为整数）， 设两条直角边为、，由根与系数的关系可得， ∵、是正整数， ∴是正整数， ∴； 当时，方程化为，解得，，不符合题意； 当时，方程化为，解得，，不符合题意； 故不存在这样的直角三角形； 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程整数根的情况，根据数字的特点找到范围并进行分类求解是解题的关键． 3．直角三角形两边长分别是一元二次方程的两实根，则该三角形的面积是（　　） A．24 B．24或30 C．48 D．30 【答案】B 【分析】首先求出一元二次方程的两实根，然后根据题意分情况讨论求解． 【详解】解： ∴或 解得：， ∴当6和10是直角三角形的直角边时，该三角形的面积； 当6是直角边，10是斜边时，此时另一条直角边长， ∴该三角形的面积． 综上所述，该三角形的面积为24或30． 故选：B． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，勾股定理等知识，解题的关键是求出一元二次方程的根． 二．解答题（共2小题） 6．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根、是斜边长为5的直角三角形两直角边长，求k的值． 【答案】(1)见解析； (2)3 【分析】（1）先根据判别式的值得到，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根； （2）根据根与系数的关系得到，，再根据勾股定理得到，接着利用完全平方公式变形得到，则，然后解方程后利用方程的两根为正数确定k的值． 【详解】（1）证明：， 所以无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：，， ∵、是斜边长为5的直角三角形两直角边长， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得：，， ∵，， ∴k的值为3． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况及根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程；熟练掌握根的判别式及根与系数的关系是解题的关键，对于一元二次方程，若，方程有两个不相等的实数根，若，方程有两个相等的实数根，若，方程无实数根；若、是一元二次方程的两根时，，． 7．已知关于的一元二次方程，其中a，b，c分别是的三边的长度． (1)如果是等边三角形，求这个一元二次方程的根； (2)如果是以为斜边的直角三角形，判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由． 【答案】(1) (2)原方程有两个不相等的实数解，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，勾股定理； （1）根据是等边三角形，得出，进而解一元二次方程，即可求解； （2）根据勾股定理得出，进而计算一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ 即， 解得：； （2）解：原方程有两个不相等的实数解 理由：∵是以为斜边的直角三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴原方程有两个不相等的实数解 题型三：一元二次方程与动态几何的综合 如图，中，，，． (1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发． ①经过多少秒钟，的面积等于； ②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为． 【答案】(1)①秒或秒；②秒 (2)秒或秒或秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积， （1）①由三角形的面积公式可求解； ②分两种情况讨论，由题意列出方程可求出答案； （2）分三种情况：①点在线段上，点在线段上，②点在线段上，点在线段的延长线上时，③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，由三角形面积公式可得出答案； 运用分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】（1）解：①设经过秒钟，的面积等于， 由题意，，， ∴， ∴， 解得：，， ∴经过秒或秒钟，的面积等于； ②设经过秒，线段能将分成面积为的两部分，由题意得： 1），即：， ∴， 解得：（不合题意，舍去），； 2），即：， ∴， ∵， 此方程无实数根，即这种情况不存在； 综上所述，经过秒时，线段能将分成面积为的两部分； （2）设经过秒，的面积为，可分三种情况： ①点在线段上，点在线段上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：（舍去），； ②点在线段上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：； ③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）； 综上所述，经过秒或秒或秒后，的面积为． 一、解答题（共4小题） 1.如图，矩形中，，，点P从A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，当点P到达B点或点Q到达C点时，两点停止移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，t秒钟后． (1)求出的面积； (2)当的面积等于8平方厘米时，求t的值； (3)是否存在的面积等于10平方厘米，若存在，求出t的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据矩形，，，，结合点P从A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，得到，继而得到，利用三角形面积公式计算的面积即可； （2）根据，结合的面积等于8平方厘米，构造方程，解方程即可求t的值． （3）根据，结合的面积等于8平方厘米，构造方程，利用一元二次方程根的判别式计算解答即可． 【详解】（1）∵矩形，，， ∴， ∵点P从A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动， ∴， ∴， ∴． （2）∵，且的面积等于8平方厘米， ∴， 解得或． （3）∵，且的面积等于10平方厘米， ∴， 整理，得， ∴， ∴方程无实数根， 故不存在的面积等于10平方厘米． 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的面积，一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键． 2.如图，中，，动点P从点B出发以的速度向点C移动，同时动点Q从点C出发以的速度向点A移动，其中一点到达终点后另一点也随之停止运动，设它们的运动时间为． (1)运动几秒时，为等腰三角形？ (2)t为何值时，的面积等于面积的？ (3)在运动过程中，的长度能否为？试说明理由． 【答案】(1)运动秒时，为等腰三角形 (2)t为或秒，的面积等于面积的 (3)不能，理由见详解 【分析】本题考查了动点问题，三角形的面积，一元二次方程的应用，特别是（2）注意分类讨论． （1）根据列方程求解即可； （2）根据的面积等于面积的，列出关于t的方程，解方程即可； （3）根据勾股定理列方程，此方程无解，于是得到在运动过程中，的长度能否为． 【详解】（1）解：经过t秒后， 若为等腰三角形， 则，即 则， 解得：， ∴运动秒时，为等腰三角形； （2）解：当的面积等于等于面积的， 即 整理得：， 解得：， ∴经过或秒后，的面积等于面积的； （3）解：不能，过程如下： ∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴此方程无实数解， ∴在运动过程中，的长度不能为． 3.如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以的速度向D移动． (1)P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为； (2)P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是． 【答案】(1)P、Q两点从出发开始到5秒时四边形的面积为 (2)从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是 【分析】此题考查了图形与动点问题，勾股定理，解一元一次方程，解一元二次方程： （1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为，根据梯形面积公式列方程求解即可； （2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是，作，垂足为E，求出，由勾股定理，得，求解即可． 【详解】（1）解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为， 则，， 根据梯形的面积公式得， 解之得， （2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是， 作，垂足为E， 则， ∵， ∴， 由勾股定理，得， 解得． 答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形的面积为； （2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是． 4.如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (2)在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (3)取的中点，运动过程中，当时，求的值； 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3)， 【分析】 （1）根据题意可知：，，，根据勾股定理及一元二次方程根的判别式，即可判定； （2）设运动秒钟后的面积为，则，， cm，cm，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）以B点为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设，，则，取的中点，连接，则，根据直角三角形的性质可得，再根据两点间的距离公式，可得，解方程即可求得． 【详解】（1） 解：根据题意可知：，，， ∵四边形是矩形， ， 在中，， ， 解得：（舍去）或 （2） 解：设运动秒钟后的面积为，则 ，， ，， ， ， ， 即， ， 方程无实数根， 的面积不能为； （3） 解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设，， ， 又，， 取的中点，连接，则， ， ， ， 解得：，． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理、直角三角形的性质，矩形的性质，坐标与图形等知识点，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解题的关键是熟练掌握所涉及到的知识点并灵活运用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$