专题02 配方法的四种常见应用（4大题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（湘教版）

专题02 配方法的四种常见应用 题型一：配方法在求代数式值中的应用 题型二：配方法在求最值中的应用 题型三：配方法在求多个未知数的值中的应用 题型四：配方法在比较两个二次三项式大小中的应用 题型一：配方法在求代数式值中的应用 把方程化成的形式，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法-配方法，本题属于基础题型． 根据配方法写成的形式再代入计算即可求出答案． 【详解】 解：方程整理得：， 配方得：，即， ，， 则． 故选：D． 一．选择题（共3小题） 1．已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（    ） A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75 2．用配方法解方程时，将其配方成的形式，则的值为（    ） A． B． C．5 D．6 3.若的值使得成立，则的值为（    ） A．5 B． C．3 D． 4.已知，则（    ） A． B． C．1 D．3 5.若关于x的一元二次方程配方后得到方程，则a＋c的值为（    ） A．8 B．9 C． D． 题型二：配方法在求最值中的应用 学习的本质是提高自学能力．周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，小睿发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答． 解决问题： （1）求代数式的最小值． （2）求代数式的最值． 探究问题： 关于x的一元二次方程与 称为“同族二次方程”． 例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，根据你的观察，探究下面的问题：代数式的最值是多少？ 【答案】解决问题：（1）1；（2）5；探究问题：代数式的最小值是2024． 【分析】本题考查配方法的应用，解二元一次方程组，以及非负数的性质，属于基础题，掌握方法是关键． 解决问题：（1）将变形为即可解决； （2）将变形为即可； 探究问题：根据“同族二次方程”的定义可得方程即为方程，再把展开得到，解方程组得到，据此仿照题意求出对应的最值即可． 【详解】解：解决问题：（1） ， 的最小值是1； （2）， 的最大值是5． 探究问题：∵关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴方程即为方程， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴代数式的最小值是2024． 一．选择题（共5小题） 1．已知，则的最小值是（    ） A． B．0 C．2 D．4 2．已知实数 满足 ，设 ，则 的最大值是 （   ） A． B． C． D．1 3．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（   ） A．2023 B．2024 C．2018 D．2019 4.如图，，，，分别是边长为4的正方形四条边上的点（不与顶点重合），且满足，记，则下列四个变量中，不存在最小值的是（　　） A． B． C． D． 5.问题：聪明的你知道代数式的最小值为多少吗？解：因为，又因为，所以，所以的最小值为1．请用上述方法，解决代数式的最小值为（    ） A．3 B． C．6 D． 二．解答题（共3小题） 6．学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题： ①将多项式因式分解： ① ②求多项式的最小值． ②由①，得，因为，所以．所以，当时，的值最小，且最小值为． 请你运用上述方法解决下列问题： (1)将多项式因式分解； (2)求多项式的最小值： 7．如果关于的一元二次方程有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”． (1)判断一元二次方程是否为“和美方程”，请说明理由． (2)已知关于的一元二次方程是“和美方程”，求的最小值． 8．【提出问题】某数学活动小组在学习完反比例函数后，类比学到的方法尝试研究函数时，提出了如下问题： (1)初步思考：自变量的取值范围是 ； (2)探索发现：当时，；当时，．由此我们可猜想，该函数图像在第 象限； (3)深入思考：当时，，于是，当时，即时，的最小值是2． 请仿照上述过程，求当时，的最大值． 题型三：配方法在求多个未知数的值中的应用 先阅读，再解答：由阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题： (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2)多项式的最小值为 (3)的周长为12 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质，理解题意，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）根据阅读材料中的方法分解即可； （2）根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出最小值即可； （3）原式配方后，利用非负数的性质求出、、的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， 的最小值为； （3）解：， ， ， ∴，，， 故的周长为． 一、解答题（共3小题） 1.阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如 的多项式变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 的配方法． 运用多项式的配方法和平方差公式可以解决很多数学问题． 下面给出例子： [例]分解因式： ． ． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式： ． (2)请你运用上述配方法分解因式 ． (3)已知 的三边长 都是正整数，且满足 ，求 周长的最大值 2.阅读下面材料，解决后面的问题： 我们知道，如果实数a，b满足，那么．利用这种思路，对于，我们可以求出m，n的值． 解法是：∵，∴， 即，∴，，∴． 根据这样的解法，完成： (1)若，求的值； (2)若等腰的两边长a，b满足，求该的周长； (3)若正整数a，b，c满足不等式，求的值． 3.读材料：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，则______，______． (2)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求c的值． 题型四：配方法在比较两个二次三项式大小中的应用 综合与探究 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“、、”填空）： ______； ______； （）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】 （）图（）是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（）所示的大正方形，此正方形的面积为．请先判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（），；（），理由见解析；（），理由见解析． 【分析】（）利用作差法即可求解； （）利用作差再结合配方法法即可求解； （）利用作差即可求解； 本题考查了整式和实数的大小比较，掌握作差法是解题的关键． 【详解】（）∵， ∴， 故答案为：； ∵， ∴， 故答案为：； （）． 理由如下： ， ∵， ∴， ∴； （），理由如下： ∵，， ∴， ∴． 一、解答题（共2小题） 1.（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 2.“≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： ， ∵ ∴ ∴ 试利用“配方法”解决下列问题： (1)如果，那么的值为 ． (2)已知，求的值； (3)比较代数式与的大小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 配方法的四种常见应用 题型一：配方法在求代数式值中的应用 题型二：配方法在求最值中的应用 题型三：配方法在求多个未知数的值中的应用 题型四：配方法在比较两个二次三项式大小中的应用 题型一：配方法在求代数式值中的应用 把方程化成的形式，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法-配方法，本题属于基础题型． 根据配方法写成的形式再代入计算即可求出答案． 【详解】 解：方程整理得：， 配方得：，即， ，， 则． 故选：D． 一．选择题（共3小题） 1．已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（    ） A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75 【答案】A 【分析】本题考查了代数式及配方法，不等式及偶次方的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键．先将代入原式，可整理得，再代入到，配方得，进而求解即可． 【详解】∵当时，该多项式的值为， ∴， 整理得，即 ∵， ∴，即， ∴， ∴， 四个选项中，只有A符合， 故选：A． 2．用配方法解方程时，将其配方成的形式，则的值为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据配方法得出，从而求得，，再代入求值即可． 【详解】解：， 移项得，， 配方得，， 即， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查配方法、代数值求值，熟练掌握配方法求得，是解题的关键． 3.若的值使得成立，则的值为（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】∵， ∴， ∴， 故选：A． 4.已知，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】利用配方法把原式变形，根据非负数的性质分别求出x，y的值，代入计算即可． 【详解】解： ， ， ，， ，， ， 故选C． 【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 5.若关于x的一元二次方程配方后得到方程，则a＋c的值为（    ） A．8 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】先配方得，根据题意得，进行计算算出a，c的值，即可得． 【详解】解： ， ， ∵配方后得到方程， ∴ 解得，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了配方法，代数式求值，解题的关键是掌握配方法，正确计算． 题型二：配方法在求最值中的应用 学习的本质是提高自学能力．周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，小睿发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答． 解决问题： （1）求代数式的最小值． （2）求代数式的最值． 探究问题： 关于x的一元二次方程与 称为“同族二次方程”． 例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，根据你的观察，探究下面的问题：代数式的最值是多少？ 【答案】解决问题：（1）1；（2）5；探究问题：代数式的最小值是2024． 【分析】本题考查配方法的应用，解二元一次方程组，以及非负数的性质，属于基础题，掌握方法是关键． 解决问题：（1）将变形为即可解决； （2）将变形为即可； 探究问题：根据“同族二次方程”的定义可得方程即为方程，再把展开得到，解方程组得到，据此仿照题意求出对应的最值即可． 【详解】解：解决问题：（1） ， 的最小值是1； （2）， 的最大值是5． 探究问题：∵关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴方程即为方程， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴代数式的最小值是2024． 一．选择题（共5小题） 1．已知，则的最小值是（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用．利用配方法对原式进行变形，再根据偶次方的运算计算出结果． 【详解】解： 因为，， ， 所以当，时， 原式有最小值4， 故选：D． 2．已知实数 满足 ，设 ，则 的最大值是 （   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据，可以得到，然后可以得到，进而得到，再设，即可得到，然后即可写出的最大值，从而可以得到的最大值．本题考查配方法的应用、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出的最大值． 【详解】解：， ， ， ， 设，则， 则， 的最大值为， 即的最大值为， 故选：B． 3．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（   ） A．2023 B．2024 C．2018 D．2019 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的定义，理解题目中的新定义是解题的关键；利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】与是“同族二次方程”， ， ， ，解得：， ， 当时，能取的最小值是2019， 故选：． 4.如图，，，，分别是边长为4的正方形四条边上的点（不与顶点重合），且满足，记，则下列四个变量中，不存在最小值的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．先证四边形是正方形，可得，，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， 同理可得：，， ，， 四边形是菱形， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， 当时，有最小值，有最小值， 有最小值， 故选：A． 5.问题：聪明的你知道代数式的最小值为多少吗？解：因为，又因为，所以，所以的最小值为1．请用上述方法，解决代数式的最小值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用，模仿题意的解题过程，进行变形作答即可． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴所以的最小值为， 故选：B． 二．解答题（共3小题） 6．学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题： ①将多项式因式分解： ① ②求多项式的最小值． ②由①，得，因为，所以．所以，当时，的值最小，且最小值为． 请你运用上述方法解决下列问题： (1)将多项式因式分解； (2)求多项式的最小值： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用公式法因式分解、平方的非负性， （1）利用公式法先把多项式变形成完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式进行因式分解即可求解； （2）先利用题目中的方法进行因式分解可得，再根据平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ∴多项式的最小值． 7．如果关于的一元二次方程有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”． (1)判断一元二次方程是否为“和美方程”，请说明理由． (2)已知关于的一元二次方程是“和美方程”，求的最小值． 【答案】(1)该方程是“和美方程”，见解析 (2)最小值为 【分析】本题考查一元二次方程的解，配方法解一元二次方程的应用， （1）将代入方程看左右两边是否相等即可得到答案； （2）将代入得到字母关系，结合完全平方的非负性直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：该方程是“和美方程”，理由如下， ∵当时，方程左边，右边， ∴左边=右边， ∴是该方程的解， ∴该方程是“和美方程”； （2）解：由题意得：， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为． 8．【提出问题】某数学活动小组在学习完反比例函数后，类比学到的方法尝试研究函数时，提出了如下问题： (1)初步思考：自变量的取值范围是 ； (2)探索发现：当时，；当时，．由此我们可猜想，该函数图像在第 象限； (3)深入思考：当时，，于是，当时，即时，的最小值是2． 请仿照上述过程，求当时，的最大值． 【答案】(1) (2)一、三 (3) 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，判断反比例函数图象所过象限，以及配方法在最值问题中的应用． （1）根据函数解析式分母不为0即可求解； （2）根据当时，；当时，和象限坐标特点判断，即可解题； （3）模仿题干所给的求解过程，利用配方法即可求解． 【详解】（1）解：函数自变量的取值范围是， 故答案为：． （2）解：当时，；当时，． 该函数图像在第一、三象限． 故答案为：一、三． （3）解：当时， ， 于是，当时，即时，的最大值是． 题型三：配方法在求多个未知数的值中的应用 先阅读，再解答：由阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题： (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2)多项式的最小值为 (3)的周长为12 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质，理解题意，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）根据阅读材料中的方法分解即可； （2）根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出最小值即可； （3）原式配方后，利用非负数的性质求出、、的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， 的最小值为； （3）解：， ， ， ∴，，， 故的周长为． 一、解答题（共3小题） 1.阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如 的多项式变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 的配方法． 运用多项式的配方法和平方差公式可以解决很多数学问题． 下面给出例子： [例]分解因式： ． ． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式： ． (2)请你运用上述配方法分解因式 ． (3)已知 的三边长 都是正整数，且满足 ，求 周长的最大值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 此题考查了完全平方公式的应用，以及非负数的性质，三角形三边关系，熟练掌握完全平方公式的形式是解本题的关键． （1）根据阅读材料中的方法分解即可； （2）根据阅读材料中的方法将多项式变形即可； （3）原式配方后，利用非负数的性质求出、的值，再利用三角形的三边关系，得到的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ． （3）， ， ， ， ， ． 又 为正整数， 时，的周长最大，最大值为 ． 答： 长的最大值为13． 2.阅读下面材料，解决后面的问题： 我们知道，如果实数a，b满足，那么．利用这种思路，对于，我们可以求出m，n的值． 解法是：∵，∴， 即，∴，，∴． 根据这样的解法，完成： (1)若，求的值； (2)若等腰的两边长a，b满足，求该的周长； (3)若正整数a，b，c满足不等式，求的值． 【答案】(1)； (2)的周长为10或11； (3)． 【分析】本题考查的是配方法的应用、等腰三角形的概念、三角形的三边关系，灵活运用配方法是解题的关键． （1）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性分别求出、，进而求出； （2）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性分别求出、，根据等腰三角形的概念解答即可； （3）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性以及有理数的平方、分情况讨论求出、、，计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，． ∵a，b是等腰的两边长， ∴当a是腰，b是底时，的周长为； 当b是腰，a是底时，的周长为． 综上所述：的周长为10或11； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵a，b，c为正整数， ∴，即， 而或，即或1或3， 当时，必有，则，与题意不符，舍去， 当时，必有，则，与题意不符，舍去， ∴，，， ∴． 3.读材料：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，则______，______． (2)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求c的值． 【答案】(1)6， (2) 【分析】本题主要考查配方法的应用及三角形三边关系，因此此题可： （1）根据题干所给方法可直接进行求解； （2）根据题干所给方法求出a、b的值，然后再根据三角形三边关系可进行求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴； 故答案为6，； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵a，b，c是的三边长， ∴， ∵c是正整数， ∴． 题型四：配方法在比较两个二次三项式大小中的应用 综合与探究 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“、、”填空）： ______； ______； （）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】 （）图（）是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（）所示的大正方形，此正方形的面积为．请先判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（），；（），理由见解析；（），理由见解析． 【分析】（）利用作差法即可求解； （）利用作差再结合配方法法即可求解； （）利用作差即可求解； 本题考查了整式和实数的大小比较，掌握作差法是解题的关键． 【详解】（）∵， ∴， 故答案为：； ∵， ∴， 故答案为：； （）． 理由如下： ， ∵， ∴， ∴； （），理由如下： ∵，， ∴， ∴． 一、解答题（共2小题） 1.（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 【答案】（1），，；（2）总有，理由见解析；（3） 【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质，用到的知识点是不等式的性质、完全平方公式、非负数的性质，关键是根据两个式子的差比较出数的大小． （1）当时，当时，当时，分别代入计算，再进行比较得出结论填空即可； （2）根据，即可得出无论取什么值，判断与有； （3）拓展：先求出，再判断的正负，即可做出判断． 【详解】解：（1）①当时，，，则， ②当时，，，则， ③当时，，，则． 故答案为：；；； （2）无论取什么值，判断与有， 理由如下： ， 无论取什么值，总有； （3）拓展： ， 故． 2.“≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： ， ∵ ∴ ∴ 试利用“配方法”解决下列问题： (1)如果，那么的值为 ． (2)已知，求的值； (3)比较代数式与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将方程组的三个方程相加，变形后再根据完全平方式的特征求解； （2）先配方，再根据非负数的性质求值即可； （3）作差后配方比较大小． 【详解】（1） ，得： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 故答案为：； （2）， ， ， ∴ ∴ ∴ （3） ∴ 【点睛】本题考查配方法的应用，正确配方，充分利用平方的非负性是求解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$