专题18 圆的有关概念、性质及计算-【好题汇编】2024年中考数学真题分类汇编（四川专用）

专题18 圆的有关概念、性质及计算 考点1 与圆的基本认识和垂径定理有关的证明计算 1．（2024·四川南充·中考真题）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形中，．下列三个结论：①若，则；②若的面积是正方形面积的3倍，则点F是的三等分点；③将△ABG绕点A逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是（   ）   A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（2024·四川达州·中考真题）如图，△ABC是等腰直角三角形，，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是（   ）   A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3．（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川·中考真题）如图，为⊙O的弦，C为的中点，过点C作，交的延长线于点D．连接．    (1)求证：是⊙O的切线； (2)若，求的面积． 考点2 与圆周角有关的证明与计算 6．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形是⊙O的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 7．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，是⊙O的直径，若，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 8．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，为⊙O的直径，平分交⊙O于．则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·四川眉山·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，点在上，平分交⊙O于，连接．若，，则的长为_________． 10．（2024·四川南充·中考真题）如图，是⊙O的直径，位于两侧的点C，D均在⊙O上，，则_______度． 11．（2024·四川广元·中考真题）如图，在△ABC中，，，则的最大值为_______．   12．（2024·四川巴中·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则的度数是________． 13．（2024·四川巴中·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是⊙O的切线． (2)求证：． (3)若，，求的长． 14．（2024·四川凉山·中考真题）如图，是⊙O的直径，点在⊙O上，平分交⊙O于点，过点的直线，交的延长线于点，交的延长线于点． (1)求证：是⊙O的切线； (2)连接并延长，分别交⊙O于两点，交于点，若⊙O的半径为，求的值． 15．（2024·四川眉山·中考真题）如图，是⊙O的直径，点在⊙O上，点在的延长线上，，平分交⊙O于点，连结． (1)求证：是⊙O的切线； (2)当时，求的长． 16．（2024·四川广元·中考真题）如图，在△ABC中，，，⊙O经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E． (1)求证：为⊙O的切线； (2)若，，求⊙O的半径． 17．（2024·四川德阳·中考真题）已知⊙O的半径为5，是⊙O上两定点，点是⊙O上一动点，且的平分线交⊙O于点． (1)证明：点为上一定点； (2)过点作的平行线交的延长线于点． ①判断与⊙O的位置关系，并说明理由； ②若△ABC为锐角三角形，求的取值范围． 18．（2024·四川南充·中考真题）如图，在⊙O中，是直径，是弦，点F是上一点，，交于点C，点D为延长线上一点，且． (1)求证：是⊙O的切线． (2)若，求⊙O的半径长． 19．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，，过点A作，交⊙O的直径的延长线于点E，连接． (1)求证：是⊙O的切线； (2)若，求和的长． 20．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，是⊙O的直径，是一条弦，点是的中点，于点，交于点，连结交于点． (1)求证：； (2)延长至点，使，连接． ①求证：是⊙O的切线； ②若，，求⊙O的半径． 21．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作⊙O，交于，两点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，，求的长和⊙O的直径． 22．（2024·四川泸州·中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线与的延长线交于点D，点E在⊙O上，，交于点F． (1)求证：； (2)过点C作于点G，若，，求的长． 23．（2024·四川达州·中考真题）如图，是⊙O的直径．四边形内接于⊙O．连接，且，以为边作交的延长线于点． (1)求证：是⊙O的切线； (2)过点作交于点．若，求的值． 24．（2024·四川雅安·中考真题）如图，是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点P是延长线上的一点，连接，． (1)求证：是⊙O的切线； (2)若，求证：； (3)若于D，，，求的长． 25．（2024·四川广安·中考真题）如图，点在以为直径的⊙O上，点在的延长线上，． (1)求证：是⊙O的切线； (2)点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，，求的长． ( 10 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 圆的有关概念、性质及计算 考点1 与圆的基本认识和垂径定理有关的证明计算 1．（2024·四川南充·中考真题）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形中，．下列三个结论：①若，则；②若的面积是正方形面积的3倍，则点F是的三等分点；③将△ABG绕点A逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是（   ）   A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据，设，得到，进而得到，求出的值，判定①，根据的面积是正方形面积的3倍，求出，进而得到，判断②；旋转得到，进而得到点在以为直径的半圆上，取的中点，连接，得到，判断③． 【详解】解：在中，， ∴设，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；故①正确； 若的面积是正方形面积的3倍，则：， ∴，即：， ∴或（舍去）， ∴， ∴点F是的三等分点；故②正确； ∵将△ABG绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴点在以为直径的半圆上， 取的中点，连接，则：，，    ∴， ∴， 即：的最大值为；故③正确； 故选D． 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，旋转的性质，解一元二次方程，求圆外一点到圆上一点的最值，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 2．（2024·四川达州·中考真题）如图，△ABC是等腰直角三角形，，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是（   ）   A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】过点作于点，证明，根据相似三角形的性质即可判断①；得出，根据三角形内角和定理即可判断②；在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形，以为半径作⊙O，根据定弦定角得出在△ABG的上运动，进而根据当时，面积的最大，根据三角形的面积公式求解，即可判断③，当在上时，最小，过点作交的延长线于点，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，    ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴ 即 在中， 即 ∵是等腰直角三角形， ∴平分 ∴ ∴ ∴， ∴，故②正确， 如图所示，    在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形，以为半径作，且 ∴， ∵ ∴ ∴在的上运动， ∴， 连接交于点，则， ∴当时，结合垂径定理，最小， ∵是半径不变 ∴此时最大 则面积的最大， ∴ ，故③正确； 如图所示，当在上时，最小，过点作交的延长线于点，    ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值是．故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，求圆外一点到圆上的距离最值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点作于，由垂径定理得，由勾股定理得，又根据圆的直径为米可得，得到△AOB为等边三角形，即得，再根据淤泥横截面的面积即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则，， ∵圆的直径为米， ∴， ∴在中，， ∵， ∴△AOB为等边三角形， ∴， ∴淤泥横截面的面积， 故选：． 4．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为，连接．    中，， 根据勾股定理得： ，即： ，解得：； 故轮子的半径为，故选：C． 5．（2024·四川·中考真题）如图，为⊙O的弦，C为的中点，过点C作，交的延长线于点D．连接．    (1)求证：是⊙O的切线； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理、垂径定理的推论等知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）由垂径定理的推论可知，据此即可求证； （2）利用勾股定理求出即可求解； 【详解】（1）证明：∵为⊙O的弦，C为的中点， 由垂径定理的推论可知：， ∵， ∴， ∵为⊙O的半径， ∴是⊙O的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 考点2 与圆周角有关的证明与计算 6．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形是⊙O的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可求得的度数，再根据圆内接四边形对角互补，可推出，即可得到答案． 【详解】解：是圆周角，与圆心角对相同的弧，且， ， 又四边形是⊙O的内接四边形， ， 又， ，故选：A． 7．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，是⊙O的直径，若，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等．根据直径所对的圆周角为直角得到，同弧或等弧所对的圆周角相等得到，进一步计算即可解答． 【详解】解：是⊙O的直径， ， ， ， ，故选：A． 8．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，为⊙O的直径，平分交⊙O于．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外接圆，特殊角的三角函数，圆周角定理，图形的旋转等知识点，合理作辅助线为解题的关键． 作辅助线如图，先证明，，从而可以得到旋转后的图形，再证明是等腰直角三角形，利用三角函数即可求得结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵是⊙O的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴绕点逆时针旋转，则三点共线，如图所示 ∴， ∵由旋转可知， ∴， ∴在等腰直角三角形中，， ∴．故选：A 9．（2024·四川眉山·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，点在上，平分交⊙O于，连接．若，，则的长为_________． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，延长，交于，由圆周角定理可得，，进而可证明，得到，即得，利用勾股定理得，再证明，得到，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长，交于， 是⊙O的直径， ，， 平分， ， 又∵， ∴， ， ， ，， ， ， 又∵， ∴， ， ， ， ， ，故答案为：． 10．（2024·四川南充·中考真题）如图，是⊙O的直径，位于两侧的点C，D均在⊙O上，，则_______度． 【答案】75 【分析】本题考查圆周角定理，补角求出，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵是⊙O的直径，位于两侧的点C，D均在⊙O上，， ∴， ∴；故答案为：75． 11．（2024·四川广元·中考真题）如图，在△ABC中，，，则的最大值为_______．   【答案】 【分析】过点作，垂足为，如图所示，利用三角函数定义得到，延长到，使，连接，如图所示，从而确定，，再由辅助圆-定弦定角模型得到点在⊙O上运动，是⊙O的弦，求的最大值就是求弦的最大值，即是直径时，取到最大值，由圆周角定理及勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：过点作，垂足为，如图所示：    ， 在中，设，则，由勾股定理可得， ，即， ， 延长到，使，连接，如图所示：    ， ，， 是等腰直角三角形，则， 在中，，，由辅助圆-定弦定角模型，作的外接圆，如图所示：    由圆周角定理可知，点在⊙O上运动，是⊙O的弦，求的最大值就是求弦的最大值，根据圆的性质可知，当弦过圆心，即是直径时，弦最大，如图所示：   是⊙O的直径，， ，是等腰直角三角形， ， ，则由勾股定理可得，即的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、圆的性质、圆周角定理、动点最值问题-定弦定角模型等知识，熟练掌握动点最值问题-定弦定角模型的解法是解决问题的关键． 12．（2024·四川巴中·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则的度数是________． 【答案】60° 【分析】根据菱形的性质得到∠AOC＝∠ABC，根据圆周角定理得到∠ADC＝∠AOC，根据圆内接四边形的性质得到∠ADC＋∠ABC＝180°，计算即可． 【详解】解：∵四边形OABC为菱形， ∴∠AOC＝∠ABC， 由圆周角定理得：∠ADC＝∠AOC， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠ADC＋∠ABC＝180°， ∴∠ADC＋2∠ADC＝180°，解得：∠ADC＝60°，故答案为：60°． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 13．（2024·四川巴中·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是⊙O的切线． (2)求证：． (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【分析】（1）如图，连接，证明，结合，可得，从而可得结论； （2）证明，，结合，，再进一步可得结论； （3）如图，连接，证明，再证明，可得，结合，从而可得答案； 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴，且OD是⊙O的半径， ∴DF是⊙O的切线； （2）证明：∵点为的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，而∠ACB=∠ADB， ∴， ∵四边形为⊙O的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，而， ∴， ∴，经检验，符合题意； 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的判定，相似三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 14．（2024·四川凉山·中考真题）如图，是⊙O的直径，点在⊙O上，平分交⊙O于点，过点的直线，交的延长线于点，交的延长线于点． (1)求证：是⊙O的切线； (2)连接并延长，分别交⊙O于两点，交于点，若⊙O的半径为，求的值． 【答案】(1)见详解；(2) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质及角平分线得到，根据平行线的性质得，即可证明； （2）连接，先解，求得，，则，，可证明，由，得，故，证明，即可得到． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 即， ∵是⊙O的半径 ∴是⊙O的切线； （2）解：连接， ∵， ∴在中，， 由勾股定理得： ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 15．（2024·四川眉山·中考真题）如图，是⊙O的直径，点在⊙O上，点在的延长线上，，平分交⊙O于点，连结． (1)求证：是⊙O的切线； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到，求得，连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， 是⊙O的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是⊙O的半径， 是⊙O的切线； （2）解：，， ， ， ， ， ， 连接， 平分， ∴∠BAD=∠EAD， ， ， 是⊙O的直径， ， ． 16．（2024·四川广元·中考真题）如图，在△ABC中，，，⊙O经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E． (1)求证：为⊙O的切线； (2)若，，求⊙O的半径． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，再根据，可得，问题得证； （2）过点C作于点H，根据等腰直角三角形的性质有，结合，可得，即，利用勾股定理可得．在中，根据，设半径为r，即有，问题得解． 【详解】（1）证明：连接． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的切线． （2）过点C作于点H， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在中，∵， 设半径为r，∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正切，勾股定理等知识以及等腰三角形的性质等知识，问题难度不大，正确作出合理的辅助线，是解答本题的关键． 17．（2024·四川德阳·中考真题）已知⊙O的半径为5，是⊙O上两定点，点是⊙O上一动点，且的平分线交⊙O于点． (1)证明：点为上一定点； (2)过点作的平行线交的延长线于点． ①判断与⊙O的位置关系，并说明理由； ②若△ABC为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2)①与⊙O相切，理由见解析；②的取值范围为． 【分析】（1）由的平分线交于点，，可得，结合是上两定点，可得结论； （2）①如图，连接，证明，结合，可得，从而可得结论； ②分情况讨论：如图，当时，可得；如图，连接，当，可得，从而可得答案． 【详解】（1）证明：∵的平分线交于点，， ∴， ∴， ∵是⊙O上两定点， ∴点为的中点，是一定点； （2）解：①如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴是⊙O的切线； ②如图，当时， ∴为直径，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴； 如图，连接，当， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当△ABC为锐角三角形，的取值范围为． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，做出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键． 18．（2024·四川南充·中考真题）如图，在⊙O中，是直径，是弦，点F是上一点，，交于点C，点D为延长线上一点，且． (1)求证：是⊙O的切线． (2)若，求⊙O的半径长． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）圆周角定理推出，根据，结合三角形的内角和定理，推出，即即可得证； （2）连接，易得，直径得到在中，勾股定理求出的长，三角函数求出的长即可． 【详解】（1）证明： ．               ， ．                                即 ． 又∵为半径，                               是⊙O的切线． （2）解：连接． ∴．         是直径， ．                   在中，．          ．             又是直径 的半径长为．                   19．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，，过点A作，交⊙O的直径的延长线于点E，连接． (1)求证：是⊙O的切线； (2)若，求和的长． 【答案】(1)见解析；(2)，． 【分析】（1）延长交于点F，连接，根据等边对等角可得，，，，继而可得是的角平分线，根据等边三角形“三线合一”的性质可得，由平行线的性质可得，继而根据切线判定定理即可求证结论； （2）连接，先求得，利用圆周角定理结合勾股定理求得直径的长，利用垂径定理结合勾股定理得到，代入数据计算求得，利用勾股定理可求得的长，证明，利用相似三角形的性质计算即可求得． 【详解】（1）证明：延长交于点F，连接， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即是的角平分线， ∵， ∴，且平分线段， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是⊙O的切线； （2）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， 设， ∴， ∴， 解得，即， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，即，解得， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 20．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，是⊙O的直径，是一条弦，点是的中点，于点，交于点，连结交于点． (1)求证：； (2)延长至点，使，连接． ①求证：是⊙O的切线； ②若，，求⊙O的半径． 【答案】(1)证明见解析；(2)①证明见解析，②⊙O的半径为． 【分析】（1）如图，连接，证明，可得，证明，可得，进一步可得结论； （2）①证明，可得是的垂直平分线，可得，，，而，可得，进一步可得结论；②证明，可得，求解，，结合，可得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：①∵为⊙O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴，， 而， ∴， ∴， ∴， ∵为⊙O的直径， ∴是⊙O的切线； ②∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴⊙O的半径为． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，弧与圆心角之间的关系，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键． 21．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作⊙O，交于，两点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，，求的长和⊙O的直径． 【答案】(1)见详解；(2)，． 【分析】（1）先证明，然后利用对应边成比例，即可证明； （2）利用，知道，从而推出，结合，知道，推出，接下来证明，那么有，即，不妨设，代入求得的长度，不妨设，在和中利用勾股定理求得和的长度，最后利用，求得的长度，然后再利用勾股定理求得的长度． 【详解】（1）是⊙O的直径 又 （2）由（1）可知， 不妨设，那么 ， 不妨设，那么 在中，，， 在中，， 的直径是． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，三角形相似的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 22．（2024·四川泸州·中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线与的延长线交于点D，点E在⊙O上，，交于点F． (1)求证：； (2)过点C作于点G，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到，则，由切线的性质推出∠ABC=∠CBD=90°，则，再由同弧所对的圆周角相等和等边对等角得到，，据此即可证明； （2）由勾股定理得，利用等面积法求出，则，同理可得，则，进而得到；如图所示，过点C作于H，则，证明，求出，则；设，则，证明，推出，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是⊙O的直径， ∴， ∴， ∴； ∵是⊙O的切线， ∴∠ABD=90°， ∴∠ABC=∠CBD=90°， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴； 如图所示，过点C作于H，则， 由（1）可得， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键． 23．（2024·四川达州·中考真题）如图，是⊙O的直径．四边形内接于⊙O．连接，且，以为边作交的延长线于点． (1)求证：是⊙O的切线； (2)过点作交于点．若，求的值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）如图所示，连接，由直径所对的圆周角是直角得到，导角可证明，进而得到，据此即可证明是⊙O的切线； （2）延长交于H，延长交于G，连接，由直径所对的圆周角是直角得到，证明，得到，接着证明，得到，进一步证明，得到，设，则，，进而得到，则，由勾股定理得到，，则，进一步可得． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵是⊙O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是⊙O的半径， ∴是⊙O的切线； （2）解：如图所示，延长交于H，延长交于G，连接， ∵是⊙O的直径， ∴，即， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，求角的余弦值，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 24．（2024·四川雅安·中考真题）如图，是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点P是延长线上的一点，连接，． (1)求证：是⊙O的切线； (2)若，求证：； (3)若于D，，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) 【分析】（1）首先由直径得到，然后利用等边对等角得到，等量代换得到，进而证明即可； （2）利用得到，求出，然后利用直角三角形两锐角互余得到，进而求解即可； （3）设，证明出，得到，然后表示出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图所示，连接， ∵是⊙O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是⊙O的切线； （2）证明：∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设， 在中，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 即，整理得， 解得，（舍去）， 故． 【点睛】此题考查了直径的性质，切线的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 25．（2024·四川广安·中考真题）如图，点在以为直径的⊙O上，点在的延长线上，． (1)求证：是⊙O的切线； (2)点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)14 【分析】（1）连接，由圆周角定理求得，再利用等角的余角相等求得，据此即可证明是⊙O的切线； （2）利用三角函数的定义求得，在中，利用勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， 而是⊙O的直径， ， ， ， 是⊙O的切线； （2）解：设， ， ， ， ， 在中，， ， ， 又， ， ， 设， ，， ， ，则， 解得： 经检验是所列方程的解， ． 【点睛】本题考查了切线的判定与相似三角形的判定与性质，三角函数的定义，勾股定理．正确证明是解决本题的关键． ( 34 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$