专题17 特殊四边形（矩形、菱形、正方形）-【好题汇编】2024年中考数学真题分类汇编（四川专用）

专题17 特殊四边形（矩形、菱形、正方形） 考点1 矩形 1．（2024·四川成都·中考真题）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川泸州·中考真题）已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在矩形中，，，点在上，把△ADE沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川德阳·中考真题）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形．，点是边上一点，则满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 5．（2024·四川泸州·中考真题）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在矩形中，平分，将矩形沿直线折叠，使点A，B分别落在边上的点，处，，分别交于点G，H．若，，则的长为（    ） A． B． C． D．5 7．（2024·四川内江·中考真题）如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么________．    8．（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是________． 9．（2024·四川南充·中考真题）如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得△FBE，连接，，若平分，，则的长为________．    10．（2024·四川德阳·中考真题）如图，四边形是矩形，是正三角形，点是的中点，点是矩形内一点，且△PBC是以为底的等腰三角形，则△PCD的面积与△FCD的面积的比值是____________． 11．（2024·四川巴中·中考真题）如图，矩形的对角线与交于点，于点，延长与交于点．若，，则点到的距离为_______． 12．（2024·四川广安·中考真题）如图，矩形纸片的长为4，宽为3，矩形内已用虚线画出网格线，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，现沿着网格线对矩形纸片进行剪裁，使其分成两块纸片．请在下列备用图中，用实线画出符合相应要求的剪裁线． 注：①剪裁过程中，在格点处剪裁方向可发生改变但仍须沿着网格线剪裁； ②在各种剪法中，若剪裁线通过旋转、平移或翻折后能完全重合则视为同一情况． 13．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知矩形． (1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接．求证：四边形是菱形． 14．（2024·四川遂宁·中考真题）康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理． (1)实践与操作    ①任意作两条相交的直线，交点记为O； ②以点为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段； ③顺次连结所得的四点得到四边形． 于是可以直接判定四边形是平行四边形，则该判定定理是：______． (2)猜想与证明 通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程． 已知：如图，四边形是平行四边形，．求证：四边形是矩形．    15．（2024·四川巴中·中考真题）综合与实践 (1)操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形为梯形，，是边上的点．经过剪拼，四边形为矩形．则______． (2)探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，是四边形边上的点．是拼接之后形成的四边形． ①通过操作得出：与的比值为______． ②证明：四边形为平行四边形． (3)实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由． 考点2 菱形 16．（2024·四川自贡·中考真题）如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点B，连接．若，则（    ）    A． B． C． D． 17．（2024·四川达州·中考真题）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点，，都在格点上，则的值为（    ） A．2 B． C． D．3 18．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在菱形中，，，点P是边上一个动点，在延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（   ） A． B． C． D． 19．（2024·四川·中考真题）在菱形ABCD中，AB＝2，则菱形的周长是________． 20．（2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为___________． 21．（2024·四川广安·中考真题）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AB和BC上的点，且BE＝BF．求证：∠DEF＝∠DFE． 22．（2024·四川德阳·中考真题）如图，在菱形中，，对角线与相交于点，点为的中点，连接与相交于点，连接并延长交于点． (1)证明：； (2)证明：． 23．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．    (1)求证：； (2)求的最小值． 24．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知矩形． (1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接．求证：四边形是菱形． 25．（2024·四川雅安·中考真题）如图，点O是对角线的交点，过点O的直线分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)当时，，分别连接，，求此时四边形的周长． 26．（2024·四川达州·中考真题）在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1． （1）四边形是菱形， ，，． ． 又，， ______+______． 化简整理得______． 【类比探究】 （2）如图2．若四边形是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系． 【拓展应用】 （3）如图3，四边形为平行四边形，对角线，相交于点，点为的中点，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长度． 27．（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在△ABC中，点D在边上．若，则，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在△ABC中，，点D为边的中点，，点E在上，连接，．若，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G．若，，求的长． 考点3 正方形 28．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 29．（2024·四川资阳·中考真题）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 30．（2024·四川南充·中考真题）如图，在矩形中，为边上一点，，将△ABE沿折叠得△FBE，连接，，若平分，，则的长为________．    31．（2024·四川广安·中考真题）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将△AOB绕点逆时针方向旋转得到△ACD，则点的坐标为________． 32．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连结并延长交于点．给出以下结论：①为等腰三角形；②为的中点；③；④．其中正确结论是________．（填序号） 33．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点．若，则的最小值为__________． 34．（2024·四川眉山·中考真题）综合与实践 问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心处，并绕点旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况． 操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点处，在旋转过程中： （1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为______；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为______． （2）若正方形的面积为，重叠部分的面积为，在旋转过程中与的关系为______． 类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于，两点，小宇经过多次实验得到结论，请你帮他进行证明． 拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中角的顶点与点重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交于点，斜边交于点，且时，请求出重叠部分的面积． （参考数据：，，） 35．（2024·四川南充·中考真题）如图，正方形边长为，点E为对角线上一点，，点P在边上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在边上以的速度由点C向点B运动，设运动时间为t秒（）． (1)求证：． (2)当是直角三角形时，求t的值． (3)连接，当时，求的面积． 36．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图1，在△ABC中，，，点D、E在边上，且，，，求的长． 解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．    由旋转的特征得，，，． ∵，， ∴． ∵， ∴，即． ∴． 在和中， ，，， ∴___①___． ∴． 又∵， ∴在中，___②___． ∵，，    ∴___③___． 【问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______． 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】 如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．    【拓展应用】 如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．    【问题再探】 如图5，在△ABC中，，，，点D、E在边上，且．设，，求y与x的函数关系式．    ( 17 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 特殊四边形（矩形、菱形、正方形） 考点1 矩形 1．（2024·四川成都·中考真题）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，则， ∴选项A中不一定正确，故不符合题意； 选项B中不一定正确，故不符合题意； 选项C中一定正确，故符合题意； 选项D中不一定正确，故不符合题意， 故选：C． 2．（2024·四川泸州·中考真题）已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、有一个角是直角的平行四边形是矩形判断即可． 【详解】解：如图， A、，能判定平行四边形ABCD为矩形，本选项不符合题意； B、∵，，∴，能判定平行四边形ABCD为矩形，本选项不符合题意； C、，能判定平行四边形ABCD为矩形，本选项不符合题意； D、，能判定平行四边形ABCD为菱形，不能判定平行四边形ABCD为矩形，本选项符合题意； 故选：D． 3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在矩形中，，，点在上，把△ADE沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，求角的三角函数等知识点，正确利用折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质，可求得，，从而求得，，在中，由勾股定理，得，即可求得结果． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 把沿折叠，点恰好落在边上的点处， ，， ， ， 在中， ， 由勾股定理，得， ， ， ， ， 故选：A． 4．（2024·四川德阳·中考真题）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形．，点是边上一点，则满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解，熟练掌握勾股定理，利用判别式判断一元二次方程解的情况是解题的关键．设，，假设存在点，且，则，利用勾股定理得到，，，可得到方程，结合，然后根据判别式的符号即可确定有几个解，由此得解． 【详解】解：如图所示，四边形是黄金矩形，，， 设，，假设存在点，且，则， 在中，， 在中，， ， ，即， 整理得， ，又，即， ， ，， ， 方程无解，即点不存在． 故选：D． 5．（2024·四川泸州·中考真题）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角函数等知识点，利用黄金比例表示各线段的长是解题的关键． 设宽，根据比例表示长，证明，在中，利用勾股定理即可求得结果． 【详解】解：设宽为， ∵宽与长的比是， ∴长为：， 由折叠的性质可知，， 在△ADE和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， 变形得：， ，， ∴， 故选A． 6．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在矩形中，平分，将矩形沿直线折叠，使点A，B分别落在边上的点，处，，分别交于点G，H．若，，则的长为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．先证明，设，证明和，推出和，由，列式计算求得，在中，求得的长，据此求解即可． 【详解】解：如图，交于点， ∵矩形， ∴， 由折叠的性质得，，四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即①， ∵， ∴， ∴，即②， ∵， 由①②得， 解得，则， 在中，， ∵， ∴，即， 故答案为：A． 7．（2024·四川内江·中考真题）如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么________．    【答案】 【分析】先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到的长，再根据正切数的定义即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处， ∴，， ∴在中，， ∴， 设，则 ∵在中， ， ∴，解得， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理，正切的定义． 8．（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键． 折叠问题优先考虑利用勾股定理列方程，证，再利用求出边长，从而求解即可． 【详解】解：∵折叠， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， 故答案为：． 9．（2024·四川南充·中考真题）如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得△FBE，连接，，若平分，，则的长为________．    【答案】 【分析】过作于点，于点，，由四边形是矩形，得，，证明四边形是矩形，通过角平分线的性质证得四边形是正方形，最后根据折叠的性质和勾股定理即可求解． 【详解】如图，过作于点，于点，    ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴，， ∴四边形是正方形， 由折叠性质可知：，， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，所对直角边是斜边的一半，角平分线的性质，正方形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 10．（2024·四川德阳·中考真题）如图，四边形是矩形，是正三角形，点是的中点，点是矩形内一点，且△PBC是以为底的等腰三角形，则△PCD的面积与△FCD的面积的比值是____________． 【答案】2 【分析】本题考查矩形的性质，正三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，正确设出边长表示出两个三角形的面积是解题的关键． 作辅助线如图，设，，根据相关图形的性表示出三角形的面积即可得到答案． 【详解】解：如图，找，中点为，，连接，，连接，， 过作交的延长线于点，延长，与交于点． 设，， ∵是以为底的等腰三角形， ∴在上， ∴到的距离即为， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 11．（2024·四川巴中·中考真题）如图，矩形的对角线与交于点，于点，延长与交于点．若，，则点到的距离为_______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形的相关知识，过点F作，垂足为H，利用勾股定理求出的长，利用角的余弦值求出的长，再利用勾股定理求出，从而得出，利用三角形面积求出即可． 【详解】解：如图，过点F作，垂足为H， 四边形为矩形， ，， ，， ， ，即， 解得：， ，即， 解得：， ， ， ，即， 解得：， 故答案为：． 12．（2024·四川广安·中考真题）如图，矩形纸片的长为4，宽为3，矩形内已用虚线画出网格线，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，现沿着网格线对矩形纸片进行剪裁，使其分成两块纸片．请在下列备用图中，用实线画出符合相应要求的剪裁线． 注：①剪裁过程中，在格点处剪裁方向可发生改变但仍须沿着网格线剪裁； ②在各种剪法中，若剪裁线通过旋转、平移或翻折后能完全重合则视为同一情况． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是矩形的性质，全等图形的定义与性质，同时考查了学生实际的动手操作能力，根据全等图形的性质分别画出符合题意的图形即可. 【详解】解：如图， 13．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知矩形． (1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接．求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析；(2)见解析． 【分析】本题主要考查矩形的性质，垂直平分线的画法及性质，三角形全等的判定与性质，菱形的判定． （1）根据垂直平分线的画法即可求解； （2）由直线是线段的垂直平分线．得到，，，，根据矩形的性质可证，可得，即可得到，即可求证． 【详解】（1）解：如图1所示，直线为所求； （2）证明：如图2，设与的交点为O， 由（1）可知，直线是线段的垂直平分线． ∴，，，， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 14．（2024·四川遂宁·中考真题）康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理． (1)实践与操作    ①任意作两条相交的直线，交点记为O； ②以点为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段； ③顺次连结所得的四点得到四边形． 于是可以直接判定四边形是平行四边形，则该判定定理是：______． (2)猜想与证明 通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程． 已知：如图，四边形是平行四边形，．求证：四边形是矩形．    【答案】(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形；(2)证明见解析 【分析】（1）由作图结合对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案； （2）先证明，再证明，可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：由作图可得：，， ∴四边形是平行四边形， 该判定定理是：对角线互相平分的四边形是平行四边形； （2）∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形与矩形的判定方法是关键． 15．（2024·四川巴中·中考真题）综合与实践 (1)操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形为梯形，，是边上的点．经过剪拼，四边形为矩形．则______． (2)探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，是四边形边上的点．是拼接之后形成的四边形． ①通过操作得出：与的比值为______． ②证明：四边形为平行四边形． (3)实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由． 【答案】(1)；(2)①1；②见详解；(3)见详解 【分析】（1）由“角角边”即可证明； （2）①由操作知，将四边形绕点E旋转得到四边形，故，因此；②由两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明； （3）取为中点为，连接，过点，点分别作，，垂足为点，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形放置左上方空出，使得点C与点A重合，与重合，与重合，点N的对应点为点，则四边形即为所求矩形． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴， 由题意得为中点，‘ ∴’， ∵， ∴ 故答案为：； （2）解：①如图，由操作知，点E为中点，将四边形绕点E旋转得到四边形， ∴， ∴， 故答案为：1； ②如图， 由题意得，是的中点，操作为将四边形绕点E旋转得到四边形，将四边形绕点H旋转得到四边形，将四边形放在左上方空出， 则，， ∵，，， ∴， ∵ ∴， ∴三点共线，同理三点共线， 由操作得，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （3）解：如图，     如图，取为中点为，连接，过点，点分别作，，垂足为点，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形放置左上方空出，使得点C与点A重合，与重合，与重合，点N的对应点为点，则四边形即为所求矩形． 由题意得，，， ∴， ∴， 由操作得，， ∵， ∴， ∴三点共线， 同理三点共线， ∵， ∴四边形为矩形， 如图，连接， ∵为中点， ∴， 同理， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由操作得，，而， ∴， 同理，， ∵，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴四边形能放置左上方空出， ∴按照以上操作可以拼成一个矩形． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转，三角形的中位线，正确理解题意是解题的关键． 考点2 菱形 16．（2024·四川自贡·中考真题）如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点B，连接．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定和性质．证明四边形是菱形，即可求解． 【详解】解：由作图知， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， 故选：A． 17．（2024·四川达州·中考真题）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点，，都在格点上，则的值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，延长交格点于点，连接，分别在格点上，根据菱形的性质，进而得出，解直角三角形求得的长，根据对顶角相等，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交格点于点，连接，分别在格点上， 依题意，， ∴ ∴ 又， ∴ ∴ 故选：B． 18．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在菱形中，，，点P是边上一个动点，在延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了菱形的性质，垂直平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上点M的运动路径． 过点C作交于点H，根据，四边形是菱形，，算出，得出，垂直平分，再证明，得出，证明垂直平分，点M在上运动，根据解直角三角形 ．即可求解． 【详解】解：过点C作交于点H， ∵，四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∵点P和点Q关于点C对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴点M在上运动， 当点P与点B重合时，点M位于点， 此时，∵，四边形是菱形，， ∴， ∴． 故点M的运动路径长为． 故选：B． 19．（2024·四川·中考真题）在菱形ABCD中，AB＝2，则菱形的周长是________． 【答案】8cm 【分析】根据菱形的性质可直接进行求解． 【详解】解：由菱形的四条边相等可得：菱形的周长为2×4=8cm， 故答案为：8cm． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 20．（2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为___________． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据菱形的性质得到，，，然后勾股定理求出，，然后证明出，得到，求出，然后证明出，得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：菱形的边长为6，， ，，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 21．（2024·四川广安·中考真题）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AB和BC上的点，且BE＝BF．求证：∠DEF＝∠DFE． 【答案】见解析 【分析】根据菱形的性质可得AB=BC=CD=AD，∠A=∠C，再由BE=BF，可推出AE=CF，即可利用SAS证明△ADE≌△CDF得到DE=DF，则∠DEF=∠DFE． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C， ∵BE=BF， ∴AB-BE=BC-BF，即AE=CF， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴DE=DF， ∴∠DEF=∠DFE． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的性质． 22．（2024·四川德阳·中考真题）如图，在菱形中，，对角线与相交于点，点为的中点，连接与相交于点，连接并延长交于点． (1)证明：； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定、三角形全等的判定等知识，熟练掌握菱形的性质和相似三角形的判定是解题关键． （1）先根据菱形的性质可得，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据定理即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵点为的中点， ∴， ∴ ∵， ∴． （2）证明：∵是等边三角形，，， ∴， ∴ ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴． 23．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．    (1)求证：； (2)求的最小值． 【答案】(1)见详解；(2) 【分析】（1）根据菱形的性质证明，再结合是的垂直平分线，即可证明； （2）过点N作于点F，连接，，则，故，此时，在中，进行解直角三角形即可． 【详解】（1）证明：连接，    ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴； （2）解：过点N作于点F，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， 当点A、N、F三点共线时，取得最小值，如图：      即， ∴在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，解直角三角形，正确添加辅助线是解决本题的关键． 24．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知矩形． (1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接．求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析；(2)见解析． 【分析】本题主要考查矩形的性质，垂直平分线的画法及性质，三角形全等的判定与性质，菱形的判定． （1）根据垂直平分线的画法即可求解； （2）由直线是线段的垂直平分线．得到，，，，根据矩形的性质可证，可得，即可得到，即可求证． 【详解】（1）解：如图1所示，直线为所求； （2）证明：如图2，设与的交点为O， 由（1）可知，直线是线段的垂直平分线． ∴，，，， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 25．（2024·四川雅安·中考真题）如图，点O是对角线的交点，过点O的直线分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)当时，，分别连接，，求此时四边形的周长． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题主要考查了平行四边形和菱形．熟练掌握平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键． （1）由题目中的中，O为对角线的中点，可以得出，，结合，可以证得两个三角形全等，进而得出结论； （2）由（1）中得到的结论可以得到，结合得出四边形是平行四边形，进而利用证明出四边形为菱形，根据即可求出菱形的周长． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点O是对角线的交点， ∴， 在△和中，， ∴． （2）由（1）知，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 26．（2024·四川达州·中考真题）在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1． （1）四边形是菱形， ，，． ． 又，， ______+______． 化简整理得______． 【类比探究】 （2）如图2．若四边形是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系． 【拓展应用】 （3）如图3，四边形为平行四边形，对角线，相交于点，点为的中点，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长度． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【分析】（1）根据菱形的性质及勾股定理补充过程，即可求解； （2）过点作于点，过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质得，，，证明， 得，，，根据勾股定理得， ，继而得出的值即可； （3）由（2）可得得出，过点分别作的垂线，垂足分别为，连接，根据勾股定理以及已知条件，分别求得，根据得出，根据得出，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：（1）四边形是菱形， ，，． ． 又，， ． 化简整理得 故答案为：，，． （），理由如下， 过点作于点，过点作交的延长线于点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， ∴ ， ∴ （）∵四边形是平行四边形，，，， ∴由（）可得 ∴ 解得：（负值舍去） ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，连接， ∵分别为的中点， ∴ ∵， ∴， ∵是的中点， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 27．（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在△ABC中，点D在边上．若，则，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在△ABC中，，点D为边的中点，，点E在上，连接，．若，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G．若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证明，得出，即可证明结论； （2）过点C作于点F，过点D作于点G，解直角三角形得出，，证明，得出，求出，根据勾股定理得出，得出，证明，得出，求出； （3）连接，证明，得出，求出，证明为直角三角形，得出，根据勾股定理求出，证明，得出，求出结果即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∴； （2）过点C作于点F，过点D作于点G，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； （3）连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，负值舍去， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形，， ∴， ∴在中根据勾股定理得： ， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理及其逆定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 考点3 正方形 28．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴； 如图所示，在延长线上截取，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为5， 故选：B． 29．（2024·四川资阳·中考真题）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 30．（2024·四川南充·中考真题）如图，在矩形中，为边上一点，，将△ABE沿折叠得△FBE，连接，，若平分，，则的长为________．    【答案】 【分析】过作于点，于点，，由四边形是矩形，得，，证明四边形是矩形，通过角平分线的性质证得四边形是正方形，最后根据折叠的性质和勾股定理即可求解． 【详解】如图，过作于点，于点，    ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴，， ∴四边形是正方形， 由折叠性质可知：，， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，所对直角边是斜边的一半，角平分线的性质，正方形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 31．（2024·四川广安·中考真题）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将△AOB绕点逆时针方向旋转得到△ACD，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等，延长交y轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形是正方形，进而求出和的长度即可求解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点E， 中，令，则，令，解得， ，， ，， 绕点逆时针方向旋转得到， ，，， 四边形是正方形． ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 32．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连结并延长交于点．给出以下结论：①为等腰三角形；②为的中点；③；④．其中正确结论是________．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】设正方形的边长为，，根据折叠的性质得出，根据中点的性质得出，即可判断①，证明四边形是平行四边形，即可判断②，求得，设，则，勾股定理得出，进而判断③，进而求得，，勾股定理求得，进而根据余弦的定义，即可判断④，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵为的中点， ∴ 设正方形的边长为， 则 ∵折叠， ∴， ∴ ∴是等腰三角形，故①正确； 设， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即是的中点，故②正确； ∵， ∴ 在中，， ∵ ∴ 设，则， ∴ ∴ ∴，， ∴，故③正确； 连接，如图所示， ∵，， 又 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴，故④不正确 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了正方形与折叠问题，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 33．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点．若，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】将顺时针旋转得到，再证明，从而得到，再设设，，得到，利用勾股定理得到，即，整理得到，从而利用完全平方公式得到，从而得解． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴，， 将顺时针旋转得到，则， ∴，，，， ∴点P、B、M、C共线， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 设，，则，， ∴， ∵， ∴，即， 整理得：， ∴ ， 当且仅当，即，也即时，取最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式的运算，完全平方公式等知识，证明和得到是解题的关键． 34．（2024·四川眉山·中考真题）综合与实践 问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心处，并绕点旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况． 操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点处，在旋转过程中： （1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为______；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为______． （2）若正方形的面积为，重叠部分的面积为，在旋转过程中与的关系为______． 类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于，两点，小宇经过多次实验得到结论，请你帮他进行证明． 拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中角的顶点与点重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交于点，斜边交于点，且时，请求出重叠部分的面积． （参考数据：，，） 【答案】（1）4；4；（2）；类比探究：见解析；拓展延伸： 【分析】本题考查了正方形的性质，图形旋转的性质，三角形的全等的判定及性质，三角函数的概念等知识点，正确作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 操作发现：（1）根据图形即可判断重叠部分即为（对角线分成的四个三角形中的一个）求出面积即可；当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图，证明四边形是正方形，求解面积即可； （2）如图，过点作于点，于点．证明，从而证明，即可求得结论； 类比探究： 先证明，从而证明，即可证明结论； 拓展延伸：过点作于点，于点．先证明，即可证明，，从而证明，根据，即可求得，由重叠部分的面积，即可求得结果． 【详解】解：操作发现：（1）四边形是正方形， ， 当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为； 当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是正方形， ， 四边形的面积是4， 故答案为：4，4； （2）如图，过点作于点，于点． 是正方形的中心， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：； 类比探究： 证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 拓展延伸： 过点作于点，于点． 同（2）可知四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 由（1）可知，， ， ， ， 重叠部分的面积 ． 35．（2024·四川南充·中考真题）如图，正方形边长为，点E为对角线上一点，，点P在边上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在边上以的速度由点C向点B运动，设运动时间为t秒（）． (1)求证：． (2)当是直角三角形时，求t的值． (3)连接，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析；(2)秒或2秒；(3) 【分析】（1）根据正方形性质，得到，再题意得到，从而得到； （2）利用题目中的条件，分别用t表示、、，再分别讨论当、和时，利用勾股定理构造方程求出t即可； （3）过点A作，交的延长线于点F，连接交于点G．由此得到，由已知得到进而得到，由题意，则，再依次证明、，得到，从而证明，即是等腰直角三角形．则，再用求出的面积． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ． ， ． （2）解：过点E作于点M，过点E作于点N． 由题意知， ∵ ∴， ∵ ∴ 由已知， ． ，即， ，即， ，即．          ①当时，有． 即，整理得． 解得（不合题意，舍去）．              ②当时，有． 即，整理得，解得． ③当时，有． 即，整理得，该方程无实数解． 综上所述，当是直角三角形时，t的值为秒或2秒． （3）解：过点A作，交的延长线于点F，连接交于点G． ， ．                  又， ． ， ， ， ， ， ， ， 即， 是等腰直角三角形． ， 【点睛】本题考查了正方形的性格、相似三角形的性质与判定、正切定义以及勾股定理．解答过程中，灵活的利用勾股定理构造方程、根据题意找到相似三角形是解题关键． 36．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图1，在△ABC中，，，点D、E在边上，且，，，求的长． 解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．    由旋转的特征得，，，． ∵，， ∴． ∵， ∴，即． ∴． 在和中， ，，， ∴___①___． ∴． 又∵， ∴在中，___②___． ∵，，    ∴___③___． 【问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______． 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】 如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．    【拓展应用】 如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．    【问题再探】 如图5，在△ABC中，，，，点D、E在边上，且．设，，求y与x的函数关系式．    【答案】【问题解决】①；②；③5；【知识迁移】，见解析；【拓展应用】；【问题再探】 【分析】【问题解决】根据题中思路解答即可； 【知识迁移】如图，将绕点逆时针旋转，得到．过点作交边于点，连接．由旋转的特征得．结合题意得．证明，得出．根据正方形性质得出．结合，得出．证明，得出．证明．得出．在中，根据勾股定理即可求解； 【拓展应用】如图所示，设直线交延长线于点，交延长线于点，将绕着点顺时针旋转，得到，连接．则．则，，根据，证明，得出，过点H作交于点O，过点H作交于点M，则四边形为矩形．得出，证明△BME, △DNF, △CEF, △AMN是等腰直角三角形，得出，，在中，根据勾股定理即可证明； 【问题再探】如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．过点作，垂足为点，过点作，垂足为．过点作，过点作交于点、交于点．由旋转的特征得．根据，得出，证明，得出，根据勾股定理算出，根据，表示出，证明，根据相似三角形的性质表示出，，同理可得．，证明四边形为矩形．得出，，在中，根据勾股定理即可求解； 【详解】【问题解决】解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．    由旋转的特征得，，，． ∵，， ∴． ∵， ∴，即． ∴． 在和中，，，， ∴①． ∴． 又∵， ∴在中，②． ∵，， ∴③． 【知识迁移】． 证明：如图，将绕点逆时针旋转，得到． 过点作交边于点，连接．    由旋转的特征得． 由题意得， ∴． 在和中，， ∴． ∴． 又∵为正方形的对角线， ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴． 在和中，， ∴． ∴． 在中，， ∴． 【拓展应用】． 证明：如图所示，设直线交延长线于点，交延长线于点，    将绕着点顺时针旋转，得到，连接． 则． 则，， ， ， 在和中 ， ， ∴， 过点H作交于点O，过点H作交于点M，则四边形为矩形． ∴， ， ， ∴△BME, △DNF, △CEF, △AMN是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在中，，， ∴， 即， 又∴， ∴， 即， 【问题再探】如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．过点作，垂足为点，过点作，垂足为．过点作，过点作交于点、交于点．    由旋转的特征得． ， ， ，即， 在和中，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，即， ， 同理可得． ， ， ， 又∵， ∴四边形为矩形． ， ， 在中，． ， 解得． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是旋转变换的性质、矩形的性质和判定、正方形的性质和判定、勾股定理、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用旋转变换作图，掌握以上知识点是解题的关键． ( 52 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$