第17讲 图形的位似 （3个知识点+6种经典题型+试题练习）2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第17讲 图形的位似 （3个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．　　（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．　　　　（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．　　（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心． 【例1】（2023秋•朝阳区校级期中）如图，，都是等边三角形，可以看作是经过平移、轴对称或旋转得到．写出一种由得到的变化过程：　　． 【变式1】（2024•兴庆区模拟）如图是视力表的一部分，其中开口向右的两个“”之间的变换是　　 A．平移 B．旋转 C．相似 D．轴对称 【变式2】（2023秋•长沙县期末）如图，是经过某种变换得到的图形，点与点，点与点，点与点分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题： （1）填写完整：点与点，点与点，点与点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征； 与 　　； 　　与，与 　　． 对应点坐标的特征：横坐标、纵坐标均 　　． （2）若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求，的值． 【变式3】（2023秋•周口期中）如图，和都是等边三角形，点在边上． （1）在图中找一对全等三角形，并说明理由； （2）在（1）中全等三角形中，其中一个是另一个经过怎样的图形变换得到的？ 知识点2．位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 【例2】（2024春•宁阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知中，点，以原点为位似中心，相似比为，在位似中心同侧把缩小，则点的对应点的坐标是 　　． 【变式1】（2024•沙坪坝区校级一模）如图，已知与位似，位似中心为点，且，则的面积与的面积之比为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•平湖市模拟）如图，与是位似图形，，都与轴平行，点，与位似中心点都在轴上，点，在轴上．若点的坐标是，点的横坐标为，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【变式3】（2024•六盘水二模）已知一次函数的图象与坐标轴交于，两点． （1）求，两点的坐标； （2）以坐标原点为位似中心画一个△使它与位似，且相似比为2． 知识点3．作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 【例3】（2021秋•鹿邑县期末）如图所示是位似图形的几种画法，其中正确的个数是　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1】（2022秋•会宁县校级期末）在平面直角坐标系中，顶点的坐标为，若以原点为位似中心，画的位似图形△，使与△的相似比等于，则点的坐标　，　． 【变式2】（2022秋•成武县校级期末）如图，以点为位似中心，把缩小后得到，使，且相似比为，已知点，则点的坐标为 　　． 【变式3】（2024•天长市三模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，以点为位似中心画，使得与位似，且相似比为，，为格点． （2）如图2，在边上找一点，使得． 经典题型汇编 题型一、位似图形的识别 1．（2024·山西大同·一模）下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，的位似图形是 （用图中字母表示），与该三角形的位似比为 ． ​ 3．（21-22九年级上·陕西汉中·期中）如图，如果，，BA，DC，FE的延长线交于一点O，那么与是位似三角形吗？为什么？ 题型二、判断位似中心 4．（22-23九年级上·河北邯郸·期末）把放大为原图形的2倍得到，则位似中心可以是（    ） A．G点 B．F点 C．E点 D．D点 5．（19-20九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是 . 6．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，与是位似图形，请在图中画出位似中心O．    (1)若与的相似比是，且，则　　　　； (2)若，的面积为，求的面积． 题型三、位似图形相关概念辨析 7．（23-24九年级上·重庆·开学考试）如图，与是位似图形，相似比为，已知，则的长为（    ） A．6 B．8 C．18 D．20 8．（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）将函数的图象上每个点的横、纵坐标都乘以，所得的新函数记作，我们称与互为位似函数．则函数的位似函数是 ． 9．（21-22九年级·全国·假期作业）如图，△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，EF：FC＝1：2，若S△EFD＝1，求四边形EBCD的面积． 题型四、求两个位似图形的相似比 10．（2020·广西·模拟预测）已知和是位似图形．的面积为，的周长是的周长一半．则的面积等于（ ） A． B． C． D． 11．（2024·四川成都·三模）如图，与位似，点O为位似中心，已知，则 ． 12．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，与是位似图形，且位似比是，若，在图中画出位似中心O，并求的长． 题型五、求位似图形的对应坐标 13．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（    ）      A． B． C． D． 14．（2024·陕西西安·一模）如图，与是以点O为位似中心的图形，且相似比为，若点B的坐标为，则点D的坐标为 ． 15．（22-23九年级上·四川成都·期中）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为． (1)画出绕点O顺时针旋转后得到的图形． (2)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似三角形，使新图与原图的相似比为，并分别写出A、B的对应点C、D的坐标． 题型六、在坐标系中画位似图形 16．（2023·北京海淀·二模）如图，在正方形网格中，以点为位似中心，的位似图形可以是（    ）    A． B． C． D． 17．（20-21九年级上·北京西城·期中）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2，4)，B(-4，0)，O(0，0)，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为，则此时点B关于对称中心的对应点的坐标是 ． 18．（21-22九年级上·河南南阳·期中）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和的顶点均为小正方形的顶点． (1)以O为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为1：3． (2)证明和相似． 试题练习 一、单选题 1．（2024·宁夏银川·一模）大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（    ） A．平移变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．位似变换 2．（2021·河北保定·一模）如图，△ABC中，点B，C是x轴上的点，且A（3，2），以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′，且△ABC与A′B′C′的相似比是1：2，则点A′的坐标是（　　） A．（﹣6，﹣4） B．（﹣1.5，﹣1） C．（1.5，1）或（﹣1.5，﹣1） D．（6，4）或（﹣6，﹣4） 3．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，正方形网格图中的与位似，则位似中心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 4．（2023·重庆九龙坡·二模）如图，与位似，位似中心为O．与的面积之比为，若，则的长度为（ ） A．6 B．12 C．18 D．20 5．（24-25九年级上·浙江·假期作业）如图，与位似，点为位似中心，若的周长等于周长的．，则的长度为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．（22-23九年级上·贵州毕节·期末）如图，已知与位似，点O为位似中心，相似比为．若的周长为12，则的周长为（　　） A．16 B．8 C．6 D．4 7．（2024·重庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，若，点的坐标是，则点的横坐标是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 8．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点分别是边的中点，连接，则下列叙述不正确的是（    ） A．与位似 B．与位似 C．与位似 D．与位似 9．（2022·河北邯郸·三模）如图，△ABC与△DEF是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（　　） A．（8，2） B．（9，1） C．（9，0） D．（10，0） 10．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，已知线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点D的坐标为（    ） A． B． C． D．或 二、填空题 11．（2023·吉林长春·模拟预测）如图，在正方形网格图中，以为位似中心，若点是点的对应顶点，则点的对应顶点是点 ． ​ 12．（2024·四川成都·三模）如图，与位似，点为位似中心，与的面积之比为，若，则的长为 ． 13．（2023·陕西西安·一模）如图，点是两个位似图形的位似中心，若，则与的周长之比的值等于 ． 14．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，四边形与四边形关于点成位似图形．若四边形与四边形的位似比为，则四边形与四边形的周长比为 ． 15．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，有两个格点三角形，格点和成位似关系，则位似中心的坐标为 ． 16．（19-20九年级上·全国·课后作业）如图所示，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ，△ABC与△A′B′C′的相似比为 ． 17．（22-23九年级上·河北保定·期末）如图是幻灯机的原理图，放映幻灯片时，通过光源和镜头，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若幻灯片中图形到镜头的距离为，到屏幕的距离为，且幻灯片中图形的高度为． （1）与 ；（填“位似”或“不位似”） （2）屏幕图形的高度为 ． 18．（九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，以为位似中心，把缩小得到，若变换后，点、的对应点分别为点、，则点的对应点的坐标应为    三、解答题 19．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为，． (1)画出绕点O顺时针旋转后得到的； (2)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似三角形，使与的相似比为； (3)直接写出线段与线段的位置关系与数量关系． 20．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹．    (1)请在方格图中画出位似中心； (2)请在方格图中将补画完整． 21．（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，已知点，点，点． (1)画出； (2)画出关于轴对称的； (3)请以原点为位似中心在第一象限内画出，使它与位似，且相似比是，并写出三个顶点的坐标． 22．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，点A，D在∠XOY的边OX上，点B，E在OY边上，射线OZ在∠XOY内，且点C，F在OZ上，AC∥DF，BC∥EF．． (1)试说明△ABC与△DEF是位似图形； (2)求△ABC与△DEF的位似比． 23．（2021·安徽芜湖·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (2)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标． 24．（2024·广西钦州·三模）如图，已知在平面直角坐标系中，点、、．请按如下要求画图： (1)将绕点逆时针旋转得到，请画出； (2)以点为位似中心，位似比为，将在位似中心的异侧进行放大得到，请画出； (3)内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标． 25．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若与是位似图形且顶点均在格点上．    (1)请在图中画出位似中心的位置，位似中心的坐标为______． (2)与的位似比为______，面积比为______． (3)若通过平移，使点与点重合，直接写出平移的最短路程． 26．（2024·湖北武汉·一模）如图是由小正方形组成的网格，四边形的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在所给定的网格中按要求完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中，先以点为位似中心，将四边形缩小为原来的，画出缩小后的四边形，再在上画点，使得平分四边形的周长； (2)在图2中，先在上画点，使得，再分别在，上画点，，使得四边形是平行四边形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 图形的位似 （3个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．　　（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．　　　　（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．　　（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心． 【例1】（2023秋•朝阳区校级期中）如图，，都是等边三角形，可以看作是经过平移、轴对称或旋转得到．写出一种由得到的变化过程：　绕点逆时针旋转　． 【分析】利用等边三角形的性质和已知条件证明与全等，可绕点逆时针旋转得到． 【解答】解：，都是等边三角形， ，，， ， 即， 在于中， ， ， ， 绕点逆时针旋转得到． 故答案为：绕点逆时针旋转． 【点评】此题主要考查了几何变换的类型、等边三角形的性质以及图形的旋转，解答本题的关键是掌握旋转的性质和等边三角形的性质．旋转的性质：对应点与旋转中心的连线相等，夹角为旋转角． 【变式1】（2024•兴庆区模拟）如图是视力表的一部分，其中开口向右的两个“”之间的变换是　　 A．平移 B．旋转 C．相似 D．轴对称 【分析】根据几种常见变换的特征即可解决问题． 【解答】解：视力表中两个开口向右的“”大小不一样， 而平移、旋转、轴对称变换都是全等变换． 故选：． 【点评】本题考几何变换的类型，熟知常见几何变换的特征是解题的关键． 【变式2】（2023秋•长沙县期末）如图，是经过某种变换得到的图形，点与点，点与点，点与点分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题： （1）填写完整：点与点，点与点，点与点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征； 与 　　； 　　与，与 　　． 对应点坐标的特征：横坐标、纵坐标均 　　． （2）若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求，的值． 【分析】（1）根据各点在坐标系中位置写出各点坐标即可； （2）根据（1）中各对应点的坐标特点得出关于，的方程，求出，的值即可． 【解答】解：（1）由图可知，，，，对应点坐标的特征：横坐标、纵坐标均互为相反数． 故答案为：，，，互为相反数； （2）由（1）知对应点坐标的特征：横坐标、纵坐标均互为相反数， 点与点也是通过上述变换得到的对应点， ，， ，． 【点评】本题考查的是几何变换的类型，熟知关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键． 【变式3】（2023秋•周口期中）如图，和都是等边三角形，点在边上． （1）在图中找一对全等三角形，并说明理由； （2）在（1）中全等三角形中，其中一个是另一个经过怎样的图形变换得到的？ 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，，，根据证明即可； （2）根据旋转的定义进行判断即可； 【解答】解：（1）；理由如下： 和都是等边三角形， 在与中， ， ； （2）根据解析（1）可知，可以看作是由绕着点逆时针旋转得到的（或可以看作是由绕着点顺时针旋转得到的）． 【点评】本题主要考查了三角形全等的判定，等边三角形的性质，旋转的定义，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质和三角形全等的判定方法． 知识点2．位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 【例2】（2024春•宁阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知中，点，以原点为位似中心，相似比为，在位似中心同侧把缩小，则点的对应点的坐标是 　　． 【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案． 【解答】解：以原点为位似中心，相似比为，在位似中心同侧把缩小，点， 则点的对应点的坐标为，，即点的坐标为， 故答案为：． 【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 【变式1】（2024•沙坪坝区校级一模）如图，已知与位似，位似中心为点，且，则的面积与的面积之比为　　 A． B． C． D． 【分析】根据位似图形的概念得到，相似比为，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【解答】解：与位似，， ，且相似比为， 的面积与的面积之比为， 故选：． 【点评】本题考查的是位似变换，熟记位似变换的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 【变式2】（2024•平湖市模拟）如图，与是位似图形，，都与轴平行，点，与位似中心点都在轴上，点，在轴上．若点的坐标是，点的横坐标为，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】过点作轴于点，根据，得到，根据题意求出，得到答案． 【解答】解：如图，过点作轴于点， 则， ， ， 点的坐标是，点的横坐标为， ，， ，都与轴平行， ， ， ， ， 点的坐标为， 故选：． 【点评】本题考查的是位似变换，根据题意求出相似比是解题的关键． 【变式3】（2024•六盘水二模）已知一次函数的图象与坐标轴交于，两点． （1）求，两点的坐标； （2）以坐标原点为位似中心画一个△使它与位似，且相似比为2． 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）分别在第一象限，第三象限画出位似图形即可． 【解答】解：（1）对于， 令，， 令，， ，； （2）如图，△，△即为所求． 【点评】本题考查作图位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型． 知识点3．作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 【例3】（2021秋•鹿邑县期末）如图所示是位似图形的几种画法，其中正确的个数是　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据位似变换的定义对各选项进行判断． 【解答】解：第一个图形中的位似中心为点，第二个图形中的位似中心为与的交点，第三个图形中的位似中心为点，第四个图形中的位似中心为点． 故选：． 【点评】本题考查了作图位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 【变式1】（2022秋•会宁县校级期末）在平面直角坐标系中，顶点的坐标为，若以原点为位似中心，画的位似图形△，使与△的相似比等于，则点的坐标　，　． 【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，即可求得答案． 【解答】解：在同一象限内，与△是以原点为位似中心的位似图形，其中相似比是，坐标为， 则点的坐标为：， 不在同一象限内，与△是以原点为位似中心的位似图形，其中相似比是，坐标为， 则点的坐标为：， 故答案为：，． 【点评】此题考查了位似图形的性质，此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 【变式2】（2022秋•成武县校级期末）如图，以点为位似中心，把缩小后得到，使，且相似比为，已知点，则点的坐标为 　或　． 【分析】根据位似变换的性质计算即可． 【解答】解：由题意得，点与点是对应点， 与的相似比是3， 点的坐标为，，即， 当点值第三象限时， 故答案为：或． 【点评】本题考查的是位似变换的性质，掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或是解题的关键． 【变式3】（2024•天长市三模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，以点为位似中心画，使得与位似，且相似比为，，为格点． （2）如图2，在边上找一点，使得． 【分析】（1）在延长线上取格点，在延长线上取格点，使，，连接，，，根据位似图形的判定和性质可知即为所求作； （2）在点的下方取格点，使，，连接交于点，根据相似三角形的判定和性质可知即为所求． 【解答】解：（1）如图1所示，在延长线上取格点，在延长线上取格点，使，，连接，，， 则， ， ， 故即为所求； （2）如图2所示，在点的下方取格点，使，，连接交于点， 则， ， ， 故点即为所求作． 【点评】本题主要考查了网格作图——位似变换，相似变换，熟练掌握位似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 经典题型汇编 题型一、位似图形的识别 1．（2024·山西大同·一模）下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，掌握两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．根据位似图形的定义解答即可． 【详解】解：根据位似图图形的定义可知选项A、B、D中的两个图形都是位似图形，C中的两个图形不是位似图形， 故选：C． 2．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，的位似图形是 （用图中字母表示），与该三角形的位似比为 ． ​ 【答案】 / 【分析】利用两个位似图形的对应顶点的连线相交于一点可判断的位似图形是，然后计算与的比得到位似比． 【详解】解：以点为位似中心，的位似图形是，与的位似比为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线． 3．（21-22九年级上·陕西汉中·期中）如图，如果，，BA，DC，FE的延长线交于一点O，那么与是位似三角形吗？为什么？ 【答案】是位似三角形，理由见解析 【分析】证明与的对应顶点到点O的距离成比例即可． 【详解】解：与是位似三角形，理由： ∵，， ∴，， ∴， 又∵BA、DC、FE的延长线交于一点O， ∴与是位似三角形． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，以及位似三角形的判定，注意相似三角形的各对应顶点连线过同一个点，即可得位似． 题型二、判断位似中心 4．（22-23九年级上·河北邯郸·期末）把放大为原图形的2倍得到，则位似中心可以是（    ） A．G点 B．F点 C．E点 D．D点 【答案】B 【分析】如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，这个点叫做位似中心，据此解答即可． 【详解】由位似中心的定义可知，此位似中心可以是点F， 故选：B 【点睛】本题考查了位似中心，解决本题的关键是熟练掌握位似中心的定义． 5．（19-20九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是 . 【答案】或 【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律，分两种情况：一种是当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点；另一种是A和E是对应顶点，C和G是对应顶点. 【详解】∵正方形和正方形中，点和点的坐标分别为， ∴ （1）当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点，位似中心就是EC与AG的交点. 设AG所在的直线的解析式为 解得 ∴AG所在的直线的解析式为 当时，，所以EC与AG的交点为 （2）A和E是对应顶点，C和G是对应顶点.，则位似中心就是AE与CG的交点 设AE所在的直线的解析式为 解得 ∴AE所在的直线的解析式为 设CG所在的直线的解析式为 解得 ∴AG所在的直线的解析式为 联立解得 ∴AE与CG的交点为 综上所述，两个正方形的位似中心的坐标是或 故答案为或 【点睛】本题主要考查位似图形，涉及了待定系数法求函数解析，求位似中心，正确分情况讨论是解题的关键. 6．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，与是位似图形，请在图中画出位似中心O．    (1)若与的相似比是，且，则　　　　； (2)若，的面积为，求的面积． 【答案】(1)4 (2) 【分析】对应点的的连线的交点即为位似中心． （1）根据相似三角形的性质求解，即可得到答案． （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：位似中心O，如图所示：    与的相似比是， ， ， ， 故答案为：4； （2）解：， ， 的面积为， 的面积为． 【点睛】本题考查了作图，位似变换，相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 题型三、位似图形相关概念辨析 7．（23-24九年级上·重庆·开学考试）如图，与是位似图形，相似比为，已知，则的长为（    ） A．6 B．8 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题主要考查位似变换．解题的关键是掌握位似图形是相似图形的特殊形式，位似比等于相似比的特点． 位似图形就是特殊的相似图形，位似比等于相似比，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：与是位似图形，位似比为， ， 即， ． 故选：A 8．（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）将函数的图象上每个点的横、纵坐标都乘以，所得的新函数记作，我们称与互为位似函数．则函数的位似函数是 ． 【答案】 【分析】根据“位似函数”函数的定义作答． 【详解】解：∵将函数的图象上每个点的横、纵坐标都乘以，所得的新函数记作，我们称与互为位似函数， ∴函数的位似函数是：， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了位似变换，解题的关键是掌握“位似函数”的定义，由此推知其运算法则． 9．（21-22九年级·全国·假期作业）如图，△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，EF：FC＝1：2，若S△EFD＝1，求四边形EBCD的面积． 【答案】9 【分析】利用位似的定义和相似的性质得△DEF∽△BCF，所以＝（）2＝，则S△BCF＝4，再利用高相同，面积比等于底边之比，可计算出S△DCF＝2，S△BEF＝2，然后把所有三角形的面积相加可得到四边形EBCD的面积． 【详解】解：∵△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形， ∴△DEF∽△BCF， ∴＝（）2＝， ∴S△BCF＝4S△DEF＝4×1＝4， ∵EF：FC＝1：2， ∴S△DCF＝2S△DEF＝2，S△BCF＝2S△BEF， ∴S△BEF＝2， ∴四边形EBCD的面积＝1+4+2+2＝9． 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．也考查了三角形面积公式． 题型四、求两个位似图形的相似比 10．（2020·广西·模拟预测）已知和是位似图形．的面积为，的周长是的周长一半．则的面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换的性质、相似三角形的性质，根据与是位似图形，可得，利用相似的性质求得，即可得出结果． 【详解】解：的周长是的周长一半， 与的相似比为1：2， 与的面积比为1：4， ， 故选：A． 11．（2024·四川成都·三模）如图，与位似，点O为位似中心，已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查位似图形的性质，根据相似比等于位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵与位似，点O为位似中心， ∴； 故答案为：． 12．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，与是位似图形，且位似比是，若，在图中画出位似中心O，并求的长． 【答案】见解析， 【分析】本题考查了位似中心的确定方法，位似图形的性质； 连接，的交点即为位似中心O，然后根据位似比可求的长． 【详解】解：如图，点O即为所求； ∵与的位似比是，， ∴． 题型五、求位似图形的对应坐标 13．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据题意横纵的坐标乘以，即可求解． 【详解】解：依题意，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是 故选：D． 14．（2024·陕西西安·一模）如图，与是以点O为位似中心的图形，且相似比为，若点B的坐标为，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】如图：过B作轴于E，过点C作轴于F，再证，然后根据相似的性质求出和即可； 本题主要考查了位似变换、坐标与图形性质，理解位似的性质是解题的关键． 【详解】解：如图：过B作轴于E，过点C作轴于F，即：, ∵点B的坐标为， ∴， ∵与是以点O为位似中心的图形，且相似比为， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴,即, ∴点D的坐标为． 故答案为：． 15．（22-23九年级上·四川成都·期中）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为． (1)画出绕点O顺时针旋转后得到的图形． (2)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似三角形，使新图与原图的相似比为，并分别写出A、B的对应点C、D的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—旋转，位似图形： （1）根据题意找到点A，B的对应点，再顺次连接，即可； （2）根据题意找到点A，B的对应点，再顺次连接，即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示即为所求， ． 题型六、在坐标系中画位似图形 16．（2023·北京海淀·二模）如图，在正方形网格中，以点为位似中心，的位似图形可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似的性质，连接并延长，观察交点即可求解． 【详解】解：如图所示，连接并延长，    ∴的位似图形是． 故选：C． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 17．（20-21九年级上·北京西城·期中）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2，4)，B(-4，0)，O(0，0)，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为，则此时点B关于对称中心的对应点的坐标是 ． 【答案】（-2,0）或（2,0） 【分析】由位似比求出对应点坐标有两种情况，分别求出两组对应点坐标，然后在平面直角坐标系描点连接即可． 【详解】解：由位似比为求得：A(−2，4)，B(−4，0)对应点坐标分别为A′(−1，2)，B′(−2，0)， 或者A′′(1，−2)，B′′(2，0)， O点是位似中心，所以位置不变， 所以，下图△A′B′O或△A′′B′′O都为满足题意的位似图形, ∴此时点B关于对称中心的对应点的坐标为（-2,0）或（2,0）. 【点睛】本题考查了位似的概念．位似比为对应点到位似中心的距离比．解题关键是根据位似比找到对应点的坐标． 18．（21-22九年级上·河南南阳·期中）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和的顶点均为小正方形的顶点． (1)以O为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为1：3． (2)证明和相似． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据位似变换的性质画出图形即可； （2）先用勾股定理算出两个三角形的各边长，然后根据对应边的比相同即可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求； （2）证明：小正方形边长为1， ∴，，，， ，， ∵，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查作图−位似变换、相似三角形的判定，勾股定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键． 试题练习 一、单选题 1．（2024·宁夏银川·一模）大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（    ） A．平移变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．位似变换 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的特征是解题的关键． 根据位似变换的特征作答即可． 【详解】解：由题意知，物和像属于位似变换， 故选：D． 2．（2021·河北保定·一模）如图，△ABC中，点B，C是x轴上的点，且A（3，2），以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′，且△ABC与A′B′C′的相似比是1：2，则点A′的坐标是（　　） A．（﹣6，﹣4） B．（﹣1.5，﹣1） C．（1.5，1）或（﹣1.5，﹣1） D．（6，4）或（﹣6，﹣4） 【答案】D 【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′，且相似比是1：2， A（3，2）， ∴点A′的坐标是（3×2，2×2）或（3×（﹣2），2×（﹣2））， 即（6，4）或（﹣6，﹣4）， 故选：D． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中利用位似性质求位似图形上点的坐标，熟练掌握位似定义和性质是解决问题的关键． 3．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，正方形网格图中的与位似，则位似中心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】A 【分析】本题考查了位似中心的确定，位似对应点连线的交点即为位似中心即可． 【详解】根据题意，得位似中心为点D， 故选A． 4．（2023·重庆九龙坡·二模）如图，与位似，位似中心为O．与的面积之比为，若，则的长度为（ ） A．6 B．12 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了位似的概念和性质，相似三角形的性质，由与位似，与的面积之比为，即可得，继而求得答案．熟知位似的概念，理解三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 【详解】解：∵与位似， 与的面积之比为， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5．（24-25九年级上·浙江·假期作业）如图，与位似，点为位似中心，若的周长等于周长的．，则的长度为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的性质，由位似的性质得出，结合的周长等于周长的，得出相似比为，计算即可得出答案． 【详解】解：与位似， ∴， ∵的周长等于周长的， ∴相似比为， ∵， ， 故选：C． 6．（22-23九年级上·贵州毕节·期末）如图，已知与位似，点O为位似中心，相似比为．若的周长为12，则的周长为（　　） A．16 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】此题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．根据位似变换的定义、相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：和是位似图形，位似比为， 和的相似比为， 的周长， 故选：B． 7．（2024·重庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，若，点的坐标是，则点的横坐标是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．根据与以原点为位似中心，相似比是，上一点的坐标是，则在中，它的对应点的坐标是或，进而求出点的横坐标即可． 【详解】解：与是以原点O为位似中心的位似图形， ， ∵， ∴与位似比为， 点的坐标是，点E在第一象限， 点E的坐标是，即， ∴点的横坐标是10． 故选：D． 8．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点分别是边的中点，连接，则下列叙述不正确的是（    ） A．与位似 B．与位似 C．与位似 D．与位似 【答案】B 【分析】本题主要考查菱形的性质，三角形中位线的判定和性质，位似图形的判定和性质，掌握位似的定义和性质是解题的关键． 根据菱形的性质，可得，根据点是中点，可得，结合位似的定义和性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，点是的中点， ∴，线段是的中位线， ∴， ∵点是菱形对角线的交点， ∴点是的中点， ∴在中，；在中，； 同理，在中，；在中，； ∴， ∴四边形是菱形， ∵，点A为位似中心， ∴与关于点A成位似图形，A选项正确，不符合题意； 同理，与关于点A成位似图形，B选项错误，符合题意； 与关于点O成位似图形，C选项正确，不符合题意； 与关于点A成位似图形，D选项正确，不符合题意； 故选：B． 9．（2022·河北邯郸·三模）如图，△ABC与△DEF是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（　　） A．（8，2） B．（9，1） C．（9，0） D．（10，0） 【答案】C 【分析】延长EB、DA交于点P，根据位似图形的对应点的连线相交于一点解答即可． 【详解】解：延长EB、DA交于点P， 则点P即为位似中心，位似中心的坐标为（9，0）， 故选：C． 【点睛】本题考查的是位似变换的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 10．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，已知线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点D的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据在平面直角坐标系中位似变换的性质解答即可． 【详解】解：线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段， 则点B与点D是对应点， 则点D的坐标为，即． 故选：A． 二、填空题 11．（2023·吉林长春·模拟预测）如图，在正方形网格图中，以为位似中心，若点是点的对应顶点，则点的对应顶点是点 ． ​ 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换，先求出相似比，根据勾股定理求出的值，再利用位似变换的性质解答即可． 【详解】解：令正方形网格中每个小格的边长为 ， 与其位似图形的相似比为， 点的对应点是点 故答案为：． 12．（2024·四川成都·三模）如图，与位似，点为位似中心，与的面积之比为，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质计算即可． 本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形的对应边平行是解题的关键． 【详解】解：与位似， ，， ， ， 与的面积之比为， ， ， ， 故答案为：． 13．（2023·陕西西安·一模）如图，点是两个位似图形的位似中心，若，则与的周长之比的值等于 ． 【答案】 【分析】先根据位似图形的性质得到，则可证明得到，再根据相似三角形周长之比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵点是于的位似中心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的周长之比的值等于， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的性质与判定，证明是解题的关键． 14．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，四边形与四边形关于点成位似图形．若四边形与四边形的位似比为，则四边形与四边形的周长比为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似图形的性质，根据位似图形的周长比等于相似比解题即可． 【详解】解：∵四边形与四边形的位似比为， ∴四边形与四边形的周长比为． 故答案为：． 15．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，有两个格点三角形，格点和成位似关系，则位似中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似图形的概念、根据位似中心的概念解答即可． 【详解】解： 由位似图形的概念可知：与的位似中心是直线与直线的交点， 位似中心的坐标为． 故答案为： 16．（19-20九年级上·全国·课后作业）如图所示，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ，△ABC与△A′B′C′的相似比为 ． 【答案】 (9，0) 1∶2 【分析】首先连接B`B并延长交于C`C的延长线于点D,则点D即为位似中心,则可求得位似中心的坐标;又由△ABC与△A`B`C`的相似比即是其对应边的比,则可求得答 【详解】连接B'B并延长交 于C'C的延长线于点D,则点D即为位似中心 则位似中心的坐标是:(9,0) ∵BC与B'C'是对应边,且BC=2,B`C'=4 △ABC与△A`B`C`的相似比为 BC:B`C`=2:4=1:2 故答案为:(9,0),1:2 【点睛】此题考查位似变换，做辅助线是解题关键 17．（22-23九年级上·河北保定·期末）如图是幻灯机的原理图，放映幻灯片时，通过光源和镜头，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若幻灯片中图形到镜头的距离为，到屏幕的距离为，且幻灯片中图形的高度为． （1）与 ；（填“位似”或“不位似”） （2）屏幕图形的高度为 ． 【答案】 位似 【分析】（1）根据题意作出图形，根据位似三角形的定义即可得出结论； （2）根据题意作出图形，过点作于点，线段的延长线交与点，再根据相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】（1）由题意作出下图，结合图形可知： ， ， 与位似． 故答案为：位似． （2）过点作于点，线段的延长线交与点， ，， ， 由题意：，，， 由（1）得， ， ，，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，位似三角形的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 18．（九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，以为位似中心，把缩小得到，若变换后，点、的对应点分别为点、，则点的对应点的坐标应为    【答案】 【分析】根据两个图形必须是：①相似形；②对应点的连线都经过同一点，即可得出F点的坐标． 【详解】J解：∵，且点在的连线上， ∴可得F点位置如图所示：    故点坐标为， 故答案为 【点睛】本题考查位似图形的相关知识，解题的关键是要掌握两位似图形的对应点的连线都经过同一点，这一点就是位似中心． 三、解答题 19．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为，． (1)画出绕点O顺时针旋转后得到的； (2)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似三角形，使与的相似比为； (3)直接写出线段与线段的位置关系与数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可，与关于点O成中心对称； （2）根据位似进行作图即可； （3）由中心对称、位似的性质，判断作答即可． 【详解】（1）解：如图1，即为所求；    （2）解：如图1，即为所求； （3）解：由中心对称、位似的性质可知，，． 【点睛】本题考查了作旋转图形，中心对称的性质，位似作图，位似的性质．正确作图是解题的关键． 20．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹．    (1)请在方格图中画出位似中心； (2)请在方格图中将补画完整． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了位似图形的性质，找位似中心． （1）连接对应点并延长，交点即为位似中心； （2）由（1）可知，，则连接并延长，使，再连接即可． 【详解】（1）解：如图所示：点O即为位似中心；    （2）解：补全如图所示：    21．（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，已知点，点，点． (1)画出； (2)画出关于轴对称的； (3)请以原点为位似中心在第一象限内画出，使它与位似，且相似比是，并写出三个顶点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)作图见解析， 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．也考查了轴对称变换． （1）描点，依次连接即可； （2）根据关于轴对称的点的坐标得到的坐标，然后描点即可； （2）把，，的坐标都乘以得到的坐标，然后描点即可． 【详解】（1）解：如图所示 （2）解：与关于轴对称，，，， ， 如图所示： （3）解：，，的坐标都乘以， ， 如图所示： 22．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，点A，D在∠XOY的边OX上，点B，E在OY边上，射线OZ在∠XOY内，且点C，F在OZ上，AC∥DF，BC∥EF．． (1)试说明△ABC与△DEF是位似图形； (2)求△ABC与△DEF的位似比． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据两直线平行同位角相等得到∠DFO＝∠ACO，∠OFE＝∠OCB，再根据两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例，最终得到△ACB∽△DFE； （2）根据三角形的相似比等于相应边长的比即可得到答案． 【详解】（1）∵AC∥DF，BC∥EF， ∴∠DFO＝∠ACO，∠OFE＝∠OCB， ，， ∴∠DFE＝∠ACB，， ∴△ACB∽△DFE， 因为两个相似三角形的对应点所在直线交于点O，且对应边平行， ∴△ABC与△DEF是位似图形； （2）∵△ABC与△DEF是位似图形，， ∴△ABC与△DEF的位似比为：． 【点睛】本题考查平行线和相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判断方法及性质． 23．（2021·安徽芜湖·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (2)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标． 【答案】(1)图形见解析 (2)图形见解析 (3)和是位似图形，图中点M为所求位似中心，点M的坐标为． 【分析】本题考查的是画位似图形，平移图形，判断两个图形位似，熟记位似的性质是解本题的关键； （1）分别确定O，A，B关于位似中心的对应点O，，，再顺次连接即可； （2）分别确定，，平移后的对应点，，，再顺次连接即可； （3）连接，，，由交点可得位似中心，从而可得答案. 【详解】（1）解：如图，即为所作图形； （2）如图，即为所作图形； （3）由作图可知，，是相似三角形， 又因为对应点所连直线经过同一个点， 所以和是位似图形，点M为所求位似中心，点M的坐标为． 24．（2024·广西钦州·三模）如图，已知在平面直角坐标系中，点、、．请按如下要求画图： (1)将绕点逆时针旋转得到，请画出； (2)以点为位似中心，位似比为，将在位似中心的异侧进行放大得到，请画出； (3)内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了利用位似变换作图，利用旋转变换作图，旋转的性质； （1）根据网格结构找出点绕点逆时针旋转的对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据位似的性质，找到，顺次连接，即可求解； （3）根据旋转的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求 （2）解：如图所示，即为所求 （3）解：如图所示， 过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴ 又 ∴ ∴ 当，时，在第四象限，在第一象限， ∴ 当时，在第一象限，在第二象限， ∴， 综上所述， 25．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若与是位似图形且顶点均在格点上．    (1)请在图中画出位似中心的位置，位似中心的坐标为______． (2)与的位似比为______，面积比为______． (3)若通过平移，使点与点重合，直接写出平移的最短路程． 【答案】(1)作图见解析，； (2)， (3) 【分析】（1）连接、，两线相交于点D，根据位似中心的概念、结合图形解答即可； （2）根据，，即可得出相似比和面积比． （3）根据勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：如图，位似中心的坐标为：．    （2）解：∵，， ∴与的位似比为：， 与的面积比为：． 故答案为：，． （3）解：由图可知，， ∴通过平移，使点与点重合，平移的最短路程为． 【点睛】本题考查的是勾股定理、位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线所在直线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 26．（2024·湖北武汉·一模）如图是由小正方形组成的网格，四边形的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在所给定的网格中按要求完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中，先以点为位似中心，将四边形缩小为原来的，画出缩小后的四边形，再在上画点，使得平分四边形的周长； (2)在图2中，先在上画点，使得，再分别在，上画点，，使得四边形是平行四边形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）取的中点，然后顺次连接即可；根据勾股定理可得，，结合图形可知，故，取格点，使得，则有，连接，再取点，连接，此时可有，，即四边形为平行四边形，则有，易得，，所以，易得，连接，则平分四边形的周长； （2）取格点，，，使得，，，连接交于，易证明，所以，结合，可得，即为直角三角形，因为，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，可得；在网格中取点，连接交于点，则，过点作，交为点，即可获得答案． 【详解】（1）解：如下图，四边形，线段即为所求； （2）如下图，，四边形即为所求． 【点睛】本题主要考查了尺规作图—复杂作图、位似图形、勾股定理、平行四边形的性质等知识，熟练掌握尺规作图的常见作法是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$