第15讲 利用相似三角形测高 （2个知识点+3种经典题型+试题练习）2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第15讲 利用相似三角形测高 （2个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 【例1】（2024春•沂源县期末）如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为，树的顶端在水中的倒影距自己远，该同学的身高为，则树高为　　． A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5 【变式1】（2024•宁波模拟）如图是一个常见的铁夹的剖面图，，表示铁夹的剖面的两条边，点是转动轴的位置，，垂足为，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则，两点间的距离为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•秦安县校级三模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，则树高　　． 【变式3】（2024春•莱西市期末）如图，一块三角形余料，它的边，高．现在要把它加工成如图所示的两个大小相同的正方形零件和，则正方形的边长为 　　． 【变式4】（2024春•东营区期末）某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面1.6米，凉亭顶端离地面1.9米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身高为1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度． 知识点2．作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形 【例2】（2022秋•偃师市校级月考）如图，在的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（2023•朝阳区校级二模）在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024春•工业园区校级月考）如图，大小为的正方形方格中，能作出与相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是 　　． 【变式3】（2024•商南县三模）如图，在中，点在边上，请用尺规作图法在边上求作点．使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式4】（2024•广东模拟）如图，在中，，． （1）实践与操作：请用尺规作图的方法在线段上找点，使得；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与计算：在（1）的条件下，求的长． 经典题型汇编 题型一．相似三角形的判定与性质 1．（2023秋•连州市期末）如图，，，中，，则边的长是　　 A． B． C． D． 2．（2024•南明区一模）如图，在中，，，，点是直线上的一个动点．以线段为斜边构造，使得，，连接，，则当长度最小时，的面积为 　　． 3．（2024春•东营区期末）如图，在正方形中，、分别是边、上的点，，，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）若正方形的边长为4，求的长． 题型二．相似三角形的应用 4．（2024春•河口区期末）如图，有一块三角形余料，它的边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点、分别在、上，则加工成的正方形零件的边长是　　 A． B． C． D． 5．（2024•顺庆区二模）如图，是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛高，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像高 　　． 6．（2024春•广饶县期末）在学习了光的反射定律后，数学综合实践小组想利用光的反射定律（反射角等于入射角）测量池塘对岸一棵树的高度，测量步骤如下： ①如图，在地面上的点处放置一块平面镜（镜子大小忽略不计），小阳站在的延长线上，当小阳从平面镜中刚好看到树的顶点时，测得小阳到平面镜的距离，小阳的眼睛点到地面的距离； ②将平面镜从点沿的延长线移动放置到点处，小阳从点处移动到点，此时小阳的眼睛点又刚好在平面镜中看到树的顶点，这时测得小阳到平面镜的距离．请根据以上测量过程及数据求出树的高度． 题型三．作图-相似变换 7．（2022秋•天元区校级期末）在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，如下四个尺规作图，正确的是　　 A．（作一个角的平分线） B．（作线段的垂直平分线） C．（作高） D．（作等腰三角形） 8．（2023•东丽区一模）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点，，均为格点，点，，均在以格点为圆心的圆上． （1）线段的长等于 　　． （2）请你只用无刻度的直尺，在线段上画点，使，并简要说明点是如何找到的（不要求证明） 　　． 9．（2024•鼓楼区校级模拟）如图，已知：在正方形中，是边的中点，连接． （1）请用尺规作图，在线段上求作一点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求的长． 试题练习 一．选择题 1．（2023秋•义乌市期末）已知一棵树的影长是，同一时刻一根长的标杆的影长为，则这棵树的高度是　　 A． B． C． D． 2．（2024•六盘水二模）如图，，两点分别在的边，上，且，，若的面积是3，则四边形的面积是　　 A．6 B．9 C．12 D．15 3．（2024•哈尔滨模拟）如图，在菱形中，点在边上，射线交的延长线于点，若，，则的长为　　 A．1 B． C． D．2 4．（2023•天宁区校级一模）在中，，，，以点为顶点作三角形（阴影部分），使这个三角形与相似，且相似比为，根据下列选项图中标注的条件，不符合要求的作图是　　 A． B． C． D． 5．（2024•馆陶县二模）如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•鹤壁期末）如图，为了测量一池塘的宽，在岸边找到一点，测得，在的延长线上找一点，测得，过点作交的延长线于，测出，则池塘的宽为　　 A． B． C． D． 7．（2024•临洮县二模）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛与凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为　　 A． B． C． D． 8．（2022秋•杨浦区期中）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在的网格图形中，点、、、为不同的点且都在格点上，如果，那么图中所有符合要求的格点的个数是　　 A．3 B．5 C．7 D．9 二．填空题（共6小题） 9．（2024•前郭县校级三模）如图①是液体沙漏的平面示意图（数据如图），经过一段时间后的液体如图②所示，此时液面　　． 10．（2024春•新宁县月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，点，作，使与相似，以、点必须要格点上　　．（不写作法） 11．（2024•文昌校级模拟）如图，在正方形中，点、分别在边、上，连接、分别交于点、．若，，则　　，　　． 12．（2024春•东营区期末）如图，有一块三角形余料，它的边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在，上，则矩形的周长为 　　． 13．（2024•温江区校级模拟）如图，在中，是边上任意一点，，，若点在上，，点在上，，若，且，则的面积为 　　． 14．（2020•广东模拟）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，，按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记作，矩形的面积记作，，则的值为 　　． 三．解答题（共6小题） 15．（2024•越秀区校级模拟）如图，某位同学通过调整自己的位置测量树高，设法使三角板的斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知两条边，，测得边离地面距离，人与树的距离，求树高的值． 16．（2024•甘谷县三模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图1中，先在上画点，使得，再在上画点，使得； （2）先将线段绕点逆时针旋转得到线段，画出线段，再在上画一点，使的值最小． 17．（2024•西安模拟）小雅和小希所在的数学实践小组想利用镜子的反射测量校园内一棵树的高度．如图，小雅把高度为0.4米的支架放在离树适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架上的点处，小希站在处，眼睛到地面的距离米，这时恰好在镜子里看到树的顶端．小组其他同学用皮尺分别量得米，米．已知，，均垂直于地面，且，，在同一条直线上，请你根据以上数据，帮忙求出这棵树的高度． 18．（2024•西安校级模拟）为了测量物体的高度，小小带着工具进行测量，方案如下：如图，小小在处放置一平面镜，她从点沿后退，当退行2米到处时，恰好在镜子中看到物体顶点的像，此时测得小小眼睛到地面的距离为1.5米；然后，小小在处竖立了一根高1.8米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和物体顶点在一条直线上，此时测得为2.6米，为3.5米，已知，，，点、、、、在一条直线上．请根据以上所测数据，计算的高度． 19．（2024•玉环市模拟）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，．求证： （1）； （2）． 20．（2024春•沂源县期末）完成下列各题： （1）问题背景：如图①，已知，求证：； （2）尝试应用：如图②，在和中，，，与相交于点，点在边上，，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 利用相似三角形测高 （2个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 【例1】（2024春•沂源县期末）如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为，树的顶端在水中的倒影距自己远，该同学的身高为，则树高为　　． A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5 【分析】因为入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，所以构成两个相似三角形，根据相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：由相似三角形的性质，设树高米， 则， ． 故选：． 【点评】本题考查的是相似三角形的应用，因为入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，所以构成两个相似三角形． 【变式1】（2024•宁波模拟）如图是一个常见的铁夹的剖面图，，表示铁夹的剖面的两条边，点是转动轴的位置，，垂足为，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则，两点间的距离为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，延长交于，如图，中，根据勾股定理计算出，再根据轴对称图形的性质得，，接着证明，然后利用相似比计算出，从而可得的长． 【解答】解：连接，延长交于，如图， 在中，， 铁夹的剖面图是轴对称图形， ，， ， ， ， 即：， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的长度，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键． 【变式2】（2024•秦安县校级三模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，则树高　7　． 【分析】根据题意可得，然后由相似三角形的性质，即可求解． 【解答】解：和均为直角， ， ， ， ，，， ． 故答案为：7． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式3】（2024春•莱西市期末）如图，一块三角形余料，它的边，高．现在要把它加工成如图所示的两个大小相同的正方形零件和，则正方形的边长为 　24　． 【分析】根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即，根据相似三角形相似比等于对应高的比列式，可解答． 【解答】解：设正方形零件的边长为， 在正方形中，， ， 是高， ，即， ， 答：正方形的边长为． 故答案为：24． 【点评】本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及正方形的有关性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形． 【变式4】（2024春•东营区期末）某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面1.6米，凉亭顶端离地面1.9米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身高为1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度． 【分析】根据题意构造直角三角形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可． 【解答】解：过点作于点，交于点， 由题意得：米，（米，米， ， ， ， ， ， 米， 城楼的高度为：（米． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，构造直角三角形，利用相似三角形的判定证出是解题的关键． 知识点2．作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形 【例2】（2022秋•偃师市校级月考）如图，在的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得． 【解答】解：第1个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 第2个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第3个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 第4个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定并根据网格结构判断出三角形的三边的比例是解题的关键 【变式1】（2023•朝阳区校级二模）在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】若，可得，即是的垂线，根据作图痕迹判断即可． 【解答】解：当是的垂线时，． ， ， ， ， ， ． 根据作图痕迹可知， 选项中，是的平分线，不与垂直，不符合题意； 选项中，是边上的中线，不与垂直，不符合题意； 选项中，是的垂线，符合题意； 选项中，，不与垂直，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查尺规作图、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解答本题的关键． 【变式2】（2024春•工业园区校级月考）如图，大小为的正方形方格中，能作出与相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是 　　． 【分析】的边长分别为，5，，作一个边长为1，，的三角形即可． 【解答】解：如图，即为所求，面积． 故答案为：． 【点评】本题考查作图相似变换，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 【变式3】（2024•商南县三模）如图，在中，点在边上，请用尺规作图法在边上求作点．使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】根据作一个角等于已知角的作图方法，在的内部，作，交于点，则点即为所求． 【解答】解：如图，点即为所求． 【点评】本题考查作图相似变换，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键． 【变式4】（2024•广东模拟）如图，在中，，． （1）实践与操作：请用尺规作图的方法在线段上找点，使得；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与计算：在（1）的条件下，求的长． 【分析】（1）作，交于点，即可求解； （2）根据相似三角形的性质列出比例式，即可求解． 【解答】解：（1）如图所示，作，交于点， 根据作图可得， 又， ； （2）解：， ， ，． ， 解得：． 【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握作一个角等于已知角是解题的关键． 经典题型汇编 题型一．相似三角形的判定与性质 1．（2023秋•连州市期末）如图，，，中，，则边的长是　　 A． B． C． D． 【分析】判定，推出，即可求出． 【解答】解：， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的对应边成比例． 2．（2024•南明区一模）如图，在中，，，，点是直线上的一个动点．以线段为斜边构造，使得，，连接，，则当长度最小时，的面积为 　　． 【分析】根据已知得，因为在直线上运动．将绕点顺时针旋转至．并使．将绕点顺时针旋转至，并使，连．则由旋转知，，，证．得；因为在直线上（即直线 在直线上，（即直线上）．过作 为最小值．（点到直线垂线段最短）， 设直线与所在直线交于，则，，，，过作于，则在△ 中，，根据勾股定理求出，，求得△面积，即长度最小时，的面积为． 【解答】解：，， ， ， 又在直线上运动．将绕点顺时针旋转至．并使．将绕点顺时针旋转至，并使，连． 则由旋转知，，， 又， ， ． ； 在直线上（即直线 在直线上，（即直线上）．过作 为最小值．（点到直线垂线段最短）， 设直线与所在直线交于， ，，， ， 过作于，则在△ 中，， ，， △中，， ， △面积， 即长度最小时，的面积为． 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，垂线段最短，含30度的直角三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 3．（2024春•东营区期末）如图，在正方形中，、分别是边、上的点，，，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）若正方形的边长为4，求的长． 【分析】（1）由正方形的性质可得，，然后根据对应边成比例且夹角相等可判定； （2）通过证明，可得，根据可得，，由勾股定理可求解． 【解答】（1）证明：四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ， ； （2）四边形为正方形， ， ， ， 又，正方形的边长为4， ，， ，， ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，关键是掌握两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． 题型二．相似三角形的应用 4．（2024春•河口区期末）如图，有一块三角形余料，它的边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点、分别在、上，则加工成的正方形零件的边长是　　 A． B． C． D． 【分析】根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即，，从而得出边长之比，进而求出正方形的边长； 【解答】解：设正方形零件的边长为 在正方形中，，， ， ， 即： 解得： 故选：． 【点评】本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及正方形的有关性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形． 5．（2024•顺庆区二模）如图，是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛高，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像高 　12　． 【分析】根据题意可得：，，先证明字模型相似，从而利用相似三角形的性质可得，进而可得，然后再证明字模型，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 解得：， 像高为， 故答案为：12． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键． 6．（2024春•广饶县期末）在学习了光的反射定律后，数学综合实践小组想利用光的反射定律（反射角等于入射角）测量池塘对岸一棵树的高度，测量步骤如下： ①如图，在地面上的点处放置一块平面镜（镜子大小忽略不计），小阳站在的延长线上，当小阳从平面镜中刚好看到树的顶点时，测得小阳到平面镜的距离，小阳的眼睛点到地面的距离； ②将平面镜从点沿的延长线移动放置到点处，小阳从点处移动到点，此时小阳的眼睛点又刚好在平面镜中看到树的顶点，这时测得小阳到平面镜的距离．请根据以上测量过程及数据求出树的高度． 【分析】根据题意得出，，得出比例式求解即可． 【解答】解：由题意可知，，，，， ，， ，， ，， ， 解得，， ， 答：树的高度为． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质的应用，正确得出，是解题的关键． 题型三．作图-相似变换 7．（2022秋•天元区校级期末）在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，如下四个尺规作图，正确的是　　 A．（作一个角的平分线） B．（作线段的垂直平分线） C．（作高） D．（作等腰三角形） 【分析】当是的垂线时，根据相似三角形的判定定理，即可得出，据此对选项进行分析，即可得出答案． 【解答】解：当是的垂线时，， ， ， ， ， ， ， 根据作图痕迹可知： 、是的角平分线，不与垂直，故不符合题意； 、是的中线，不与垂直，故不符合题意； 、是的垂线，故符合题意； 、，不与垂直，故不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了尺规作图、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解本题的关键． 8．（2023•东丽区一模）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点，，均为格点，点，，均在以格点为圆心的圆上． （1）线段的长等于 　　． （2）请你只用无刻度的直尺，在线段上画点，使，并简要说明点是如何找到的（不要求证明） 　　． 【分析】（1）根据勾股定理计算即可； （2）取格点，连接交于点，点即为所求作． 【解答】解：（1）， 故答案为：； （2）取格点，连接交于点，点即为所求作， 【点评】本题考查了作图应用与设计，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键． 9．（2024•鼓楼区校级模拟）如图，已知：在正方形中，是边的中点，连接． （1）请用尺规作图，在线段上求作一点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求的长． 【分析】（1）过点作于，即为所求． （2）利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：（1）如图，即为所求． （2）四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查作图相似变换，正方形的性质，勾股定理的应用以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 试题练习 一．选择题（共8小题） 1．（2023秋•义乌市期末）已知一棵树的影长是，同一时刻一根长的标杆的影长为，则这棵树的高度是　　 A． B． C． D． 【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答． 【解答】解：设这棵树的高度为，根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子的比值是相同的得：， 这棵树的高度是． 故选：． 【点评】解题关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影长的比值是相同的． 2．（2024•六盘水二模）如图，，两点分别在的边，上，且，，若的面积是3，则四边形的面积是　　 A．6 B．9 C．12 D．15 【分析】根据两角分别相等的两个三角形相似得出，再根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，即可求出的面积，从而求出四边形的面积． 【解答】解：，为公共角， ， ， ，的面积是3， ， ， 四边形的面积是， 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 3．（2024•哈尔滨模拟）如图，在菱形中，点在边上，射线交的延长线于点，若，，则的长为　　 A．1 B． C． D．2 【分析】根据菱形的性质得出对边平行，四边相等，再根据平行线分线段成比例定理得出，从而求出的长． 【解答】解：四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、菱形的性质，熟练掌握这两个知识点的综合应用是解题关键． 4．（2023•天宁区校级一模）在中，，，，以点为顶点作三角形（阴影部分），使这个三角形与相似，且相似比为，根据下列选项图中标注的条件，不符合要求的作图是　　 A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的判定逐一进行判断即可． 【解答】解：．，， ，且； ．由勾股定理得，， ，， ， ．，相似比是， ．相似比不是，故符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 5．（2024•馆陶县二模）如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意得出，，根据平行线得性质得出，即可证明，根据相似三角形的性质即可得答案． 【解答】解：如图，过点作于， 由题意可知：，，，，，， ，， ， ，即， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查矩形的性质、平行线的性质及相似三角形得判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 6．（2023秋•鹤壁期末）如图，为了测量一池塘的宽，在岸边找到一点，测得，在的延长线上找一点，测得，过点作交的延长线于，测出，则池塘的宽为　　 A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的性质即可解决问题； 【解答】解：， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7．（2024•临洮县二模）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛与凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为　　 A． B． C． D． 【分析】先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出的长． 【解答】解：由题意得，，，， 四边形是平行四边形． ． ， ， ， ． ， ， ， ． ， 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 8．（2022秋•杨浦区期中）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在的网格图形中，点、、、为不同的点且都在格点上，如果，那么图中所有符合要求的格点的个数是　　 A．3 B．5 C．7 D．9 【分析】利用圆周角定理，画出图形，可得结论． 【解答】解：如图，满足条件的点有9个． 故选：． 【点评】本题考查作图复杂作图，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 二．填空题（共6小题） 9．（2024•前郭县校级三模）如图①是液体沙漏的平面示意图（数据如图），经过一段时间后的液体如图②所示，此时液面　　． 【分析】高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果． 【解答】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为， ， ，即相似比为， ， ，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 10．（2024春•新宁县月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，点，作，使与相似，以、点必须要格点上　略　．（不写作法） 【分析】根据相似三角形的性质，利用平行，连接作，且，同理作，连接．三角形就画成了． 【解答】解： 【点评】本题主要根据平行的性质，利用三角形的相似来完成此图． 11．（2024•文昌校级模拟）如图，在正方形中，点、分别在边、上，连接、分别交于点、．若，，则　45　，　　． 【分析】设，则，由正方形的性质得，则，，，将绕点顺时针旋转得到，可证明，则，再证明，，则，，所以，，求得，所以，于是得到问题的答案． 【解答】解：设，则， 四边形是正方形， ，，，， ， ，， 将绕点顺时针旋转得到，则，，， ，， 、、三点在同一条直线上， ，，， ， ， ，， ，， ，， ，， ， ， 故答案为：45，． 【点评】此题重点考查正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 12．（2024春•东营区期末）如图，有一块三角形余料，它的边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在，上，则矩形的周长为 　30　． 【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出，的长，即可得出答案． 【解答】解：矩形中，，， ， ， ， ， ， ， 矩形零件的长与宽的比为， 设 ，，则 ，， ， 解得：， ，， 矩形的周长为：． 故答案为：30． 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 13．（2024•温江区校级模拟）如图，在中，是边上任意一点，，，若点在上，，点在上，，若，且，则的面积为 　　． 【分析】连接，利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质得到，利用已知条件得到，利用相似三角形的判定与性质得到，则，，利用平行线之间的距离相等，同底等高的三角形的面积相等的性质得到，利用同高的三角形的面积比等于底的比的性质求得，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【解答】解：连接，如图， ， ，． ， ， ， ， ． ，， ，， ， ． ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 14．（2020•广东模拟）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，，按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记作，矩形的面积记作，，则的值为 　（或　． 【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得，利用相似多边形的性质可发现规律，根据规律即可解决问题． 【解答】解：四边形是矩形， ， ， 按逆时针方向作矩形的相似矩形， 矩形的边长和矩形的边长的比为 矩形的面积和矩形的面积的比， ，，， ， 故答案为（或． 【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律． 三．解答题（共6小题） 15．（2024•越秀区校级模拟）如图，某位同学通过调整自己的位置测量树高，设法使三角板的斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知两条边，，测得边离地面距离，人与树的距离，求树高的值． 【分析】利用和相似求得的长后加上小明同学的身高即可求得树高． 【解答】解：，， ， ，，， ， ， （米． 答树高的值为5.5米． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型． 16．（2024•甘谷县三模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图1中，先在上画点，使得，再在上画点，使得； （2）先将线段绕点逆时针旋转得到线段，画出线段，再在上画一点，使的值最小． 【分析】（1）利用矩形对角线互相平分的性质作出点，满足，再利用作出，使得，在上利用相同的方法（矩形对角线互相平分的性质），得到，即，连接，交于点，得到，即满足； （2）利用作出，再结合轴对称作和关于对称，连接，与的交点即为点． 【解答】解：（1）点，点如图所示，且满足； （2）线段，点，如图所示，且满足的值最小． 【点评】本题考查矩形的性质，相似三角形判定，网格作图，全等三角形性质，旋转作图，轴对称表示最值，灵活运用以上知识点作图是做出本题的关键． 17．（2024•西安模拟）小雅和小希所在的数学实践小组想利用镜子的反射测量校园内一棵树的高度．如图，小雅把高度为0.4米的支架放在离树适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架上的点处，小希站在处，眼睛到地面的距离米，这时恰好在镜子里看到树的顶端．小组其他同学用皮尺分别量得米，米．已知，，均垂直于地面，且，，在同一条直线上，请你根据以上数据，帮忙求出这棵树的高度． 【分析】过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：米，米，米，，从而可得，米，再根据题意可得：，从而可得，然后利用相似三角形的性质求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：米，米，米，， ， 米， （米， 由题意得：， ， ， ， 解得：， （米， 这棵树的高度为4.15米． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 18．（2024•西安校级模拟）为了测量物体的高度，小小带着工具进行测量，方案如下：如图，小小在处放置一平面镜，她从点沿后退，当退行2米到处时，恰好在镜子中看到物体顶点的像，此时测得小小眼睛到地面的距离为1.5米；然后，小小在处竖立了一根高1.8米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和物体顶点在一条直线上，此时测得为2.6米，为3.5米，已知，，，点、、、、在一条直线上．请根据以上所测数据，计算的高度． 【分析】根据题意可得：，再根据垂直定义可得，从而可得，然后利用相似三角形的性质可得，再证明字模型相似，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：， ，，， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， 解得：， 的高度为72.9米． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 19．（2024•玉环市模拟）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，．求证： （1）； （2）． 【分析】（1）利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理解答即可； （2）利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理得到，利用相似三角形的性质得到，再证明，利用相似三角形的性质和等量代换的性质解答即可． 【解答】证明：（1），，， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． ． ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 20．（2024春•沂源县期末）完成下列各题： （1）问题背景：如图①，已知，求证：； （2）尝试应用：如图②，在和中，，，与相交于点，点在边上，，求的值． 【分析】（1）由题意得出，，则，可证得结论； （2）连接，证明，由（1）知，由相似三角形的性质得出，，可证明，得出，则可求出答案． 【解答】（1）证明：， ，， ，， ； （2）解：如图，连接， ，， ，， 由（1）知， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$