专题17 抛物线（2大考向真题解读）-备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）

专题17 抛物线 命题解读 考向 考查统计 1.高考对抛物线的考查，重点是 （1）抛物线的定义、几何图形、标准方程。 （2）抛物线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）。 （3）直线和抛物线的位置关系及综合应用。 抛物线的定义、标准方程、几何性质 2024·新高考Ⅱ卷，10 抛物线的定义、直线与抛物线的综合运用 2022·新高考Ⅰ卷，11 2022·新高考Ⅱ卷，10 2023·新高考Ⅱ卷，10 命题分析 2024年高考新高考Ⅰ卷未考查抛物线，Ⅱ卷考查了抛物线与直线、圆知识点的综合，涉及到抛物线的知识点主要有准线和定义，难度适中。抛物线是高考考查的热点，其中抛物线的定义、方程、焦点、准线及其几何性质的应用是考查的重点。而且抛物线在多选题中考查的比较频繁，考生可以多多加强练习。预计2025年高考还是主要考查抛物线的定义和直线与抛物线的综合运用。 试题精讲 一、多选题 1．（2024新高考Ⅱ卷·10）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 一、多选题 1．（2022新高考Ⅰ卷·11）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（    ） A．C的准线为 B．直线AB与C相切 C． D． 2．（2022新高考Ⅱ卷·10）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 3．（2023新高考Ⅱ卷·10）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 一、抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 二、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 【抛物线常用结论】 1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2、焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 3、的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 4、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）． （2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 5、抛物线的弦 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式： （2） （3）直线AB的方程为 （4）线段AB的垂直平分线方程为 6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） （1）焦点为，准线为 （2）焦点为，准线为 如，即，焦点为，准线方程为 7、参数方程 的参数方程为（参数） 8、切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外 与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果． 9、抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系： 11、焦点弦的常考性质 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 一、单选题 1．（2024·重庆·三模）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于A，B两点，点在第一象限，点为坐标原点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D．-1 2．（2024·河南·三模）已知抛物线的焦点为，点在上．若以为圆心，为半径的圆被轴截得的弦长为，则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东济南·二模）已知抛物线的焦点为，准线为是上一点，是直线与的一个交点，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 4．（2024·北京顺义·三模）设M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，O足坐标原点，若，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．（2024·江西景德镇·三模）过抛物线上的一点作圆：的切线，切点为，，则可能的取值是（    ） A．1 B．4 C． D．5 6．（2024·河北张家口·三模）已知抛物线的焦点为F，O为原点，直线与该抛物线交于M，N两点，且，则（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 7．（2024·新疆·三模）已知抛物线C：的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦与弦的交点恰好为F，且，则（    ） A． B．1 C． D．2 8．（2024·山西运城·三模）已知抛物线的焦点为，动点在上，点与点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024·广东汕头·三模）已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，动点在上，若定点满足，则（    ） A．的准线方程为 B．周长的最小值为5 C．四边形可能是平行四边形 D．的最小值为 10．（2024·黑龙江·二模）抛物线的焦点到准线的距离为，过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，与抛物线分别交于点，和点，，则（    ） A．抛物线的准线方程是 B．过抛物线的焦点的最短弦长为 C．若弦的中点为，则直线的方程为 D．四边形面积的最小值为 11．（2024·辽宁大连·一模）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于A，两点，点为坐标原点，下列结论正确的是（   ） A．存在点A、，使 B．若点是弦的中点，则点M到直线的距离的最小值为 C．平分 D．以为直径的圆与轴相切 12．（2024·河北·二模）已知为坐标原点，焦点为的抛物线过点，过且与垂直的直线与抛物线的另一交点为，则（    ） A． B． C． D．直线与抛物线的准线相交于点 13．（2024·河南·二模）已知是坐标原点，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，其中在第一象限，若，点在抛物线上，则（    ） A．抛物线的准线方程为 B． C．直线的倾斜角为 D． 14．（2024·河北沧州·二模）已知为抛物线的焦点，直线过且与交于两点，为坐标原点，为上一点，且，则（    ） A．过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条 B．当的面积为时， C．为钝角三角形 D．的最小值为 15．（2024·湖北襄阳·二模）抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，下列结论正确的是（   ） A．抛物线的方程为： B．抛物线的准线方程为： C．当直线过焦点时，以AF为直径的圆与轴相切 D． 16．（2024·河北·三模）已知F为抛物线的焦点，，为抛物线上不同的两动点，分别过M，N作抛物线C的切线，两切线交于点P，则（    ） A．若，则直线MN的倾斜角为 B．直线PM的方程为 C．若线段MN的中点为Q，则直线PQ平行于y轴 D．若点P在抛物线C的准线上，则 17．（2024·黑龙江佳木斯·三模）过抛物线C：上的一点作两条直线，，分别交抛物线C于A，B两点，F为焦点（    ） A．抛物线的准线方程为 B．过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有1条 C．若，则 D．若，则 18．（2024·安徽·三模）已知抛物线和的焦点分别为，动直线与交于两点，与交于两点，其中，且当过点时，，则下列说法中正确的是（    ） A．的方程为 B．已知点，则的最小值为3 C． D．若，则与的面积相等 三、填空题 19．（2024·北京·三模）已知抛物线的焦点为，则的坐标为 ；过点的直线交抛物线于两点，若，则的面积为 ． 20．（2024·北京·三模）已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为A，点B在C上.若，则直线AB的方程为 . 21．（2024·安徽·二模）已知抛物线的焦点，直线过与抛物线交于，两点，若，则直线的方程为 ，的面积为 （为坐标原点）． 22．（2024·陕西榆林·三模）若直线与抛物线和圆从左到右依次交于点，则 . 23．（2024·四川自贡·三模）已知圆的圆心是抛物线的焦点，直线与圆相交于，两点，，则圆的半径为 ． 24．（2024·河北石家庄·二模）设抛物线的焦点为，准线为.斜率为的直线经过焦点，交于点，交准线于点（，在轴的两侧），若，则抛物线的方程为 . 25．（2024·湖北黄冈·三模）已知抛物线的焦点为,，是抛物线上关于其对称轴对称的两点，若，为坐标原点，则点的横坐标为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 抛物线 命题解读 考向 考查统计 1.高考对抛物线的考查，重点是 （1）抛物线的定义、几何图形、标准方程。 （2）抛物线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）。 （3）直线和抛物线的位置关系及综合应用。 抛物线的定义、标准方程、几何性质 2024·新高考Ⅱ卷，10 抛物线的定义、直线与抛物线的综合运用 2022·新高考Ⅰ卷，11 2022·新高考Ⅱ卷，10 2023·新高考Ⅱ卷，10 命题分析 2024年高考新高考Ⅰ卷未考查抛物线，Ⅱ卷考查了抛物线与直线、圆知识点的综合，涉及到抛物线的知识点主要有准线和定义，难度适中。抛物线是高考考查的热点，其中抛物线的定义、方程、焦点、准线及其几何性质的应用是考查的重点。而且抛物线在多选题中考查的比较频繁，考生可以多多加强练习。预计2025年高考还是主要考查抛物线的定义和直线与抛物线的综合运用。 试题精讲 一、多选题 1．（2024新高考Ⅱ卷·10）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解. 【详解】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD 一、多选题 1．（2022新高考Ⅰ卷·11）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（    ） A．C的准线为 B．直线AB与C相切 C． D． 【答案】BCD 【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D. 【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误； ，所以直线的方程为， 联立，可得，解得，故B正确； 设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点， 所以，直线的斜率存在，设其方程为，， 联立，得， 所以，所以或，， 又，， 所以，故C正确； 因为，， 所以，而，故D正确. 故选：BCD 2．（2022新高考Ⅱ卷·10）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项. 【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为， 代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确； 对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得， 设，则，则，代入抛物线得，解得，则， 则，B错误； 对于C，由抛物线定义知：，C正确； 对于D，，则为钝角， 又，则为钝角， 又，则，D正确. 故选：ACD. 3．（2023新高考Ⅱ卷·10）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 【答案】AC 【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案. 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC.    一、抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 二、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 【抛物线常用结论】 1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2、焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 3、的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 4、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）． （2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 5、抛物线的弦 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式： （2） （3）直线AB的方程为 （4）线段AB的垂直平分线方程为 6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） （1）焦点为，准线为 （2）焦点为，准线为 如，即，焦点为，准线方程为 7、参数方程 的参数方程为（参数） 8、切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外 与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果． 9、抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系： 11、焦点弦的常考性质 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 一、单选题 1．（2024·重庆·三模）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于A，B两点，点在第一象限，点为坐标原点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D．-1 【答案】A 【分析】设直线的倾斜角为，利用抛物线的焦半径公式，表示出、，再根据，求出，利用同角三角函数的基本关系求，就是直线的斜率. 【详解】如图： 设直线倾斜角为，抛物线的准线： 作于，根据抛物线的定义，， 所以，类似的. 由知，得，故. 故选：A 2．（2024·河南·三模）已知抛物线的焦点为，点在上．若以为圆心，为半径的圆被轴截得的弦长为，则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义，可以得到该圆的半径为，再利用弦长公式，结合已知即可解出，最后根据该圆的半径计算面积即可. 【详解】由于在上，故，即，所以. 根据抛物线的定义，就是点到直线的距离， 从而该圆的半径为. 由于圆心到轴的距离为，故该圆被轴截得的弦长为. 从而据已知有， 故，解得. 所以该圆的半径为，故面积为. 故选：C. 3．（2024·山东济南·二模）已知抛物线的焦点为，准线为是上一点，是直线与的一个交点，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】由题意解出点横坐标，由抛物线的定义求解. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 设，，则， 因为，则，得， 由抛物线定义得. 故选：D. 4．（2024·北京顺义·三模）设M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，O足坐标原点，若，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，连接，分析出为等边三角形，求出，即可得解. 【详解】过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，连接，如下图所示： 因为，轴，则， 由抛物线的定义可得，所以为等边三角形，则， 抛物线的准线方程为， 设直线交轴于点，则， 易知，，则. 故选：B. 5．（2024·江西景德镇·三模）过抛物线上的一点作圆：的切线，切点为，，则可能的取值是（    ） A．1 B．4 C． D．5 【答案】D 【分析】设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，再求出函数的最小值即可. 【详解】设，则，圆的圆心，半径 由切圆于点，得， 则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，ABC不是，D是. 故选：D      6．（2024·河北张家口·三模）已知抛物线的焦点为F，O为原点，直线与该抛物线交于M，N两点，且，则（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】将抛物线与直线联立，利用韦达定理，求解出，利用垂直关系，求解，即可得到，代入即可得到答案. 【详解】设，将直线与抛物线联立， 消去有：，有，则 , 由于，因此，即，得到, 因此， 由于抛物线中，抛物线上点到焦点距离等于到准线的距离， 因此. 故选：B 7．（2024·新疆·三模）已知抛物线C：的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦与弦的交点恰好为F，且，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】由抛物线的方程可得焦点F的坐标，应用抛物线焦点弦性质，，，，结合三角的恒等变换的化简可得，即可求解. 【详解】由抛物线得，则，， 不妨设PQ的倾斜角为， 则由，得，， 所以，， 得，， 所以. 故选：B. 8．（2024·山西运城·三模）已知抛物线的焦点为，动点在上，点与点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对称性可得，即点为的准线与轴的交点，作垂直于的准线于点，结合抛物线的定义可知()，结合图象可得当直线与相切时，最小，求出切线的斜率即可得答案. 【详解】依题意，，，设，则，解得， 即，点为的准线与轴的交点， 由抛物线的对称性，不妨设点M位于第一象限，作垂直于的准线于点， 设，由抛物线的定义得，于是， 当直线与相切时，最大，最小，取得最小值，此时直线的斜率为正， 设切线的方程为，由消去x得， 则，得，直线的斜率为，倾斜角为， 于是，，所以的最小值为. 故选：A 二、多选题 9．（2024·广东汕头·三模）已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，动点在上，若定点满足，则（    ） A．的准线方程为 B．周长的最小值为5 C．四边形可能是平行四边形 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，由距离公式得到方程，即可求出，求出抛物线方程，即可判断A；根据抛物线的定义判断B，求出点坐标，即可判断C；设，结合数量积的坐标运算分析求解. 【详解】对于选项A：因为抛物线的焦点为，准线方程为， 又点满足，则， 整理得，解得或（舍去）， 即抛物线， 所以准线方程为，焦点为，故A错误； 对于选项B：过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义可知， 则周长 ， 当且仅当、、三点共线时取等号， 所以周长的最小值为，故B正确； 对于选项C：过点作的平行线，交抛物线于点， 即，解得，即， 则， 所以四边形不是平行四边形，故C错误； 对于选项D：设，则， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确； 故选：BD 10．（2024·黑龙江·二模）抛物线的焦点到准线的距离为，过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，与抛物线分别交于点，和点，，则（    ） A．抛物线的准线方程是 B．过抛物线的焦点的最短弦长为 C．若弦的中点为，则直线的方程为 D．四边形面积的最小值为 【答案】BCD 【分析】首先表示出焦点坐标与准线方程，依题意求出，即可得到抛物线方程，从而判断A，根据焦点弦的性质判断B，利用点差法求出，即可判断C，设直线为，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，由焦点弦公式表示出，，再由及基本不等式计算面积最小值，即可判断D. 【详解】抛物线焦点，准线方程为， 依题意可得，则抛物线方程为，所以准线方程为，故A错误； 过抛物线的焦点且与轴垂直时弦长最短，最短弦长为，故B正确； 设，，则，， 所以，即， 又弦的中点为，所以， 所以，即， 又弦过焦点，所以弦的方程为，即，故C正确； 依题意直线的斜率存在且不为，设直线为， 由，消去整理得，显然， 所以，所以， 同理可得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，故D正确. 故选：BCD 11．（2024·辽宁大连·一模）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于A，两点，点为坐标原点，下列结论正确的是（   ） A．存在点A、，使 B．若点是弦的中点，则点M到直线的距离的最小值为 C．平分 D．以为直径的圆与轴相切 【答案】BCD 【分析】设，直线m的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据判断A，根据焦半径公式判断B，通过计算即可判断C；结合题意结合抛物线的定义分析判断D； 【详解】对于A，由题意可知：抛物线C的焦点F的坐标为，准线， 直线的斜率一定存在且与抛物线C相交， 设，直线m的方程为， 与抛物线联立，得，则，， 可得， 所以为钝角，故A错误； 对于B，因为， 当且仅当时，等号成立， 所以点M到直线的距离为，故B正确； 对于C，因为点，因为， 即直线和直线的倾斜角互补，所以平分，故C正确； 对于D，由题意可知：的中点到x轴距离， 可知以为直径的圆与轴相切，故D正确． 故选：BCD． 12．（2024·河北·二模）已知为坐标原点，焦点为的抛物线过点，过且与垂直的直线与抛物线的另一交点为，则（    ） A． B． C． D．直线与抛物线的准线相交于点 【答案】ACD 【分析】将点代入抛物线方程可确定抛物线方程，可判断A；由抛物线定义可求，可判断B；求出直线的方程，与抛物线方程联立解得点，从而求出，可判断C；易求出直线与准线交点，可判断D. 【详解】由抛物线过点， 可得，则，故A正确； 由上可知抛物线，准线方程为， 所以，故B错误； 由已知可得，所以直线的方程为，即， 联立方程组，得， 解得或，故， 所以，故C正确； 由直线的方程，令，得， 所以直线与抛物线的准线相交于点，故D正确. 故选：ACD 13．（2024·河南·二模）已知是坐标原点，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，其中在第一象限，若，点在抛物线上，则（    ） A．抛物线的准线方程为 B． C．直线的倾斜角为 D． 【答案】AC 【分析】由抛物线方程可判断AD，联立直线与抛物线方程，由结合韦达定理及两点间距离公式可判断BC，， 【详解】选项A：因为抛物线，所以，准线方程为，故A正确； 选项B：设，设直线， 与联立得，所以， 由得，即，所以， 所以，可得， 则，故错误； 选项C：直线的斜率为，倾斜角为，故C正确； 选项D：，故，故D错误. 故选：AC.    14．（2024·河北沧州·二模）已知为抛物线的焦点，直线过且与交于两点，为坐标原点，为上一点，且，则（    ） A．过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条 B．当的面积为时， C．为钝角三角形 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】由抛物线的定义及点到准线的距离可求解抛物线的方程，判断点与抛物线的位置关系即可判断A；联立直线与抛物线方程，得韦达定理，即可根据弦长公式求解面积，利用焦半径公式即可求解B；根据数量积的坐标运算即可求解C；根据焦半径公式，结合基本不等式即可求解D. 【详解】如图①所示，因为，所以，解得， 所以抛物线的标准方程为. 对于A，因为，当时，， 故点在抛物线的外部， 所以与仅有一个公共点的直线有3条，故A正确； 对于B，由抛物线的方程可知，焦点，设的方程为，联立消去， 整理得，所以， 又，所以 ， 解得，则， 则，故B错误； 对于C，由选项B可知，所以，故为钝角， 所以为钝角三角形，故C正确； 对于D，由选项B可知， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：ACD. 图① 15．（2024·湖北襄阳·二模）抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，下列结论正确的是（   ） A．抛物线的方程为： B．抛物线的准线方程为： C．当直线过焦点时，以AF为直径的圆与轴相切 D． 【答案】BC 【分析】根据焦半径即可求解A，根据准线方程即可求解B，求解圆心和半径即可判断C，设出直线方程，与抛物线方程联立，韦达定理，利用焦半径公式求出，即可判断D. 【详解】对于A：当运动到时，，故，即抛物线为，故A错误； 对于B：由，故抛物线的准线方程为：，故B正确； 对于C：当直线过焦点时，设为，则， 故以为直径的圆的半径为，又，故以为直径的圆的圆心坐标为， 圆心到轴的距离与该圆半径相等，即该圆与轴相切，故C正确； 对于D：由题意直线斜率存在，设的方程为，联立， 整理得，，即， 所以， 所以，， 所以， 不能确定什么时候最小，则D错误. 故选：BC 16．（2024·河北·三模）已知F为抛物线的焦点，，为抛物线上不同的两动点，分别过M，N作抛物线C的切线，两切线交于点P，则（    ） A．若，则直线MN的倾斜角为 B．直线PM的方程为 C．若线段MN的中点为Q，则直线PQ平行于y轴 D．若点P在抛物线C的准线上，则 【答案】BD 【分析】由点在抛物线上，联立方程组，作差结合斜率公式，可判定A不正确；求得，利用导数的几何意义，求得切线方程，可判定B正确；联立方程组，求得点的横坐标为及，得到，由时，可得直线与轴重合，可判定C不正确；求得点，得到和，结合，可判定D正确. 【详解】对于A中，由点，为抛物线上， 可得，两式相减得， 因为，可得，即的斜率为， 所以直线的倾斜角为，所以A不正确； 对于B中，由，可得，则，所以， 即过点的切线的斜率为， 所以切线的方程为，即， 又因为，所以切线方程为，所以B正确； 对于C中，同理可得，切线方程为， 联立方程组，解得， 所以点的横坐标为， 又因为为的中点，可得，所以， 当时，可得轴，；但当时，可得直线与轴重合， 所以C不正确； 对于D中，由抛物线，可得焦点，准线方程为， 若点在抛物线的准线上，可得点，所以， 又由A项，可得，即直线的斜率为 因为，所以，所以，所以D正确. 故选：BD. 17．（2024·黑龙江佳木斯·三模）过抛物线C：上的一点作两条直线，，分别交抛物线C于A，B两点，F为焦点（    ） A．抛物线的准线方程为 B．过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有1条 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】将代入抛物线方程，求出，即可判断A；分直线斜率是否为零讨论即可判断B；设，根据，求出，再根据焦半径公式即可判断C；设直线的方程为，则的方程为，联立方程，求出两点的坐标，再根据斜率公式即可判断D. 【详解】由题意可得，所以，则抛物线C的方程为，准线方程为，故A正确； 当过点的直线斜率等于零时，直线方程为， 直线与抛物线的交点坐标为，只有一个交点， 当过点的直线斜率不等于零时，设直线方程为， 联立，消得， 当过点与抛物线有且只有一个公共点时，，解得， 综上所述，过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有2条，故B错误； 设，， 由，得， 所以，即， 所以，故C错误； 对于D选项，由题意，直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为，则的方程为， 联立，消得， 则，所以， 则，所以， 同理可得， 则，故D正确.    故选：AD. 18．（2024·安徽·三模）已知抛物线和的焦点分别为，动直线与交于两点，与交于两点，其中，且当过点时，，则下列说法中正确的是（    ） A．的方程为 B．已知点，则的最小值为3 C． D．若，则与的面积相等 【答案】ACD 【分析】对于A，设，联立抛物线的方程，结合韦达定理求出即可判断；对于B，结合抛物线定义、三角形三边关系即可判断；对于C，设，分别联立抛物线方程，结合韦达定理即可判断；对于D，由C选项分析可得 ，结合以及韦达定理即可得出两个三角形的高相等，显然三角形同底，由此即可判断. 【详解】 当过点时，设，联立，可得， ， 故，解得，则，故A正确； 过点向的准线引垂线，垂足分别为， 点到的准线的距离， 由抛物线定义可知， 等号成立当且仅当点为与抛物线的交点，故错误； 设，由，可得， ， 由，可得， ， 故，同理可得，故正确； ，故， 注意到，可得， 所以，从而与的面积相等，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是得出，由此即可顺利得解. 三、填空题 19．（2024·北京·三模）已知抛物线的焦点为，则的坐标为 ；过点的直线交抛物线于两点，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】由给定的抛物线方程直接求出焦点坐标；利用抛物线定义求出点的纵坐标，再求出三角形面积. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 设，则，解得，于是，， 所以的面积为. 故答案为：； 20．（2024·北京·三模）已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为A，点B在C上.若，则直线AB的方程为 . 【答案】或 【分析】先根据焦半径公式求出点坐标，进而可得直线方程. 【详解】设，则，则，此时， 所以或，又由已知， 直线AB的方程为或， 整理得或. 故答案为：或. 21．（2024·安徽·二模）已知抛物线的焦点，直线过与抛物线交于，两点，若，则直线的方程为 ，的面积为 （为坐标原点）． 【答案】 / 【分析】由题意求出抛物线方程，进而求出直线的方程，联立抛物线方程，求得，，结合计算即可求解. 【详解】因为抛物线过点A，所以，解得，所以抛物线的方程为， 则，得直线的方程为，与联立整理得， 设，故，， 故的面积为． 故答案为：； 22．（2024·陕西榆林·三模）若直线与抛物线和圆从左到右依次交于点，则 . 【答案】22 【分析】根据抛物线的焦半径公式和圆的直径可求的值. 【详解】抛物线的焦点即为，圆的半径为1， 设，由得， 所以，， 故. 故答案为：22. 23．（2024·四川自贡·三模）已知圆的圆心是抛物线的焦点，直线与圆相交于，两点，，则圆的半径为 ． 【答案】 【分析】首先求出抛物线的焦点坐标，再求出圆心到直线的距离，设圆的半径为，则，解得即可. 【详解】抛物线的焦点为， 所以圆心到直线的距离， 又，设圆的半径为，则，解得. 故答案为： 24．（2024·河北石家庄·二模）设抛物线的焦点为，准线为.斜率为的直线经过焦点，交于点，交准线于点（，在轴的两侧），若，则抛物线的方程为 . 【答案】 【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，即可得到直线的方程，从而求出点坐标，再联立直线与抛物线方程，求出点坐标，再由距离公式得到方程，解得即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 依题意直线的方程为， 令可得，即， 由，消去得，解得或， 又，在轴的两侧，所以，则，所以， 所以，解得或（舍去）， 所以抛物线的方程为. 故答案为： 25．（2024·湖北黄冈·三模）已知抛物线的焦点为,，是抛物线上关于其对称轴对称的两点，若，为坐标原点，则点的横坐标为 . 【答案】/ 【分析】由题可知，，故，写出对应的坐标计算即可求解点的横坐标. 【详解】 因为抛物线的焦点为，则， 又因为，是抛物线上关于其对称轴对称的两点， 设，因为， 则， 所以， 解得（舍）或.即点的横坐标为， 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$