第一章 特殊平行四边形（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（深圳专用，北师大版）

第一章 特殊平行四边形（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝5，M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF．若S正方形AMEF＝25，则S△ABC＝（　　） A． B． C．25 D．20 【答案】B 【解答】解：∵S正方形AMEF＝25， ∴， ∵Rt△ABC中，AB＝5，M是斜边BC的中点， ∴BC＝2AM＝10， ∴， ∴， 故选：B． 2．（3分）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①BE＝DF；②AC垂直平分EF；③BE+DF＝EF；④S△CEF＝2S△ABE，其中错误结论的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°． ∵△AEF等边三角形， ∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°． ∴∠BAE+∠DAF＝30°． 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE＝DF（故①正确）． ∵BC＝CD， ∴BC﹣BE＝CD﹣DF，即CE＝CF， ∵AE＝AF， ∴AC垂直平分EF．（故②正确）． 设EC＝x，由勾股定理，得 EFx，CGx， AG＝AEsin60°＝EFsin60°＝2×CGsin60°x， ∴AC， ∴AB， ∴BEx， ∴BE+DFx﹣xx，（故③错误）， ∵S△CEF， S△ABE， ∴2S△ABES△CEF，（故④正确）． 综上所述，正确的有3个， 故选：B． 3．（3分）如图，点B是线段CD上一点，以AB、BC为边向外作正方形，面积分别为S1、S2，若S1+S2＝25，DC＝7，三角形ABC的面积是（　　） A．6 B．7 C．8 D．5 【答案】A 【解答】解：设AB＝x，BC＝y， 由S1+S2＝25，DC＝7， 得x2+y2＝25，x+y＝7， 得2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝24， 得三角形ABC的面积＝24÷4＝6． 故选：A． 4．（3分）在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，0），B（3，，，将菱形OABC沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，则顶点B′的坐标为（　　） A．（3，3） B．（5，0） C． D． 【答案】D 【解答】解：∵B（3，，将菱形OABC沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度， ∴顶点B′的坐标为（3+3，3， 即（6，3， 故选：D． 5．（3分）长方形ABCD内，未被小长方形覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的方式放置，S始终不变，则a，b应满足（　　） A．a＝b B．a＝3b C．a＝2b D．a＝4b 【答案】B 【解答】解：设两个阴影长方形的重叠部分长为x， 根据题意左上角阴影面积为3b•（4b+x），右下角阴影的面积为a•（a+x）， 故S＝3b•（4b+x）﹣a（a+x）＝12b2﹣a2+（3b﹣a）x， ∵S 始终保持不变，得到面积大小与x无关， ∴3b﹣a＝0， 解得a＝3b， 故选：B． 6．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC上的一点，F为AD的中点，且∠BAE＝35°，∠CDE＝55°，∠ADE＝30°，AE＝3，则EF的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， ∵∠BAE＝35°，∠CDE＝55°， ∴∠EAD+∠ADE＝90°， ∴∠AED＝90°， ∵F是AD的中点，∠ADE＝30°， ∴EFAD，AEAD， ∴EF＝AE＝3． 故选：B． 7．（3分）在平面直角坐标系中，，B（1，0），将线段AB平移得到线段DC，点A，点B的对应点分别是点D，点C．若分别连接BC，DA得到四边形ABCD为菱形，且BC与x轴夹角为60°，则点D的坐标是（　　） A．（﹣1，0） B．（﹣1，0）或 C． D．或 【答案】B 【解答】解：如图，当C（0，﹣2），D（﹣1，0）或C（2，），D（1，2）时，四边形ABCD满足条件． 故选：B． 8．（3分）如图，正方形ABCD中，点E和点F分别是CD和BC的中点，连接AE、DF相交于点G，连接BG．若∠DAE＝α，则∠ABG的度数为（　　） A．2α B．30°+α C．45°+α D．90°﹣α 【答案】A 【解答】解：延长DF、AB相交于点G， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ADC＝∠C＝90°， ∵E、F是DC、BC的中点， ∴，， ∴DE＝CF， 在△ADE和△DCF中， ， ∴△ADE≌△DCF（SAS）， ∴∠CDF＝∠DAE＝α∠CDF+∠ADG＝90°， ∴∠DAG+∠ADG＝90°， ∴∠AGH＝90°， ∵AB∥CD， ∴∠C＝∠CBH， 在△DCF和△HBF中， ， ∴△DCF≌△HBF（SAS）， ∴DC＝BH＝AB，∠CDF＝∠H＝α， ∴GB＝AB＝HB， ∴∠BGH＝∠H＝α， ∴∠ABG＝∠BGH+∠H＝2α， 故答案为：A． 9．（3分）如图所示，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转后到达△CBG的位置．延长AE交CG于点F，连接DE．下列结论： ①AF⊥CG； ②四边形BEFG是正方形； ③若DA＝DE，则CF＝FG． 其中不正确的个数是（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】D 【解答】解：如图，设AF交BC于点K， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABK＝90°， ∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG． ∴∠KAB＝∠BCG， ∵∠AKB＝∠CKF， ∴∠BCG+∠CKF＝90°， ∴∠KFC＝90°， ∴AF⊥CG，故①正确； ∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG． ∴∠AEB＝∠CGB＝90°，BE＝BG，∠EBG＝90°， 又∵∠BEF＝90°， ∴四边形BEFG是矩形， 又∵BE＝BG， ∴四边形BEFG是正方形，故②正确； 如图，过点D作DH⊥AE于点H， ∵DA＝DE，DH⊥AE， ∴AE＝2AH， ∴∠ADH+∠DAH＝90°，四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝90°， ∴∠DAH+∠EAB＝90°， ∴∠ADH＝∠EAB， 又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°， ∴△ADH≌△BAE（AAS）， ∴AH＝BE， ∴AE＝2AH＝2BE， 将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG． ∴AE＝CG， ∴四边形BEFG是正方形， ∴BE＝GF， ∴AE＝2FG，即CG＝2FG， ∴CF＝FG，故③正确； ∴正确的有：①②③， 故选：D． 10．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF‖DE且交AG于点F，若AB＝4EF，则S阴影：S正方形ABCD的值为（　　） A．9：16 B．17：32 C．17：36 D．18：35 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∵DE⊥AG，BF∥DE， ∴BF⊥AG， ∴∠BFA＝∠AED＝90°， ∵∠BAF+∠EAD＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°， ∴∠BAF＝∠ADE， 在△ABF和△DAE中， ， ∴△ABF≌△DAE（AAS）， ∴AF＝DE， 设EF＝x，AF＝y，则AB＝4EF＝4x， ∴BF＝AE＝AF﹣EF＝y﹣x， ∵AF2+BF2＝AB2， ∴y2+（y﹣x）2＝（4x）2， 整理得，2y2﹣2xy﹣15x2＝0， 解得，yx（舍）或yx， ∴BFx，AFx， ∴S正方形ABCD＝16x2， ∴S阴影＝S正方形ABCD﹣2S△ABF＝16x2﹣2x•xx2， ∴S阴影：S正方形ABCD＝17：32， 故选：B． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC和BD为两条对角线，分别作∠BAO和∠DAO的角平分线交BD于点N和M，且∠MAN＝∠ABC，则∠ABC＝　60　°． 【答案】60． 【解答】解：∵AN，AM分别是∠BAO和∠DAO的角平分线， ∴∠OANOAB，∠OAMOAD， ∴∠MAN＝∠OAN+∠OAM（∠OAB+∠OAD）BAD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABC＝2∠ABO，AC⊥BD，∠BAD＝∠BAO， ∵∠MAN＝∠ABC， ∴∠BAO＝2∠ABO， ∵∠BAO+∠ABO＝90°， ∴3∠ABO＝90°， ∴∠ABO＝30°， ∴∠ABC＝2∠ABO＝60°， 故答案为：60． 12．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF．有下列结论： ①∠BAE＝30°；②射线FE是∠AFC的角平分线；③CFCD；④AF＝AB+CF．其中正确结论的结论：　②④　（填序号） 【答案】②④． 【解答】解：在正方形ABCD中，E是BC的中点， ∴AB＝BC，BEAB， ∴tanA， ∵tan30°， ∴∠BAE≠30°，故①错误； ∵∠B＝∠C＝90°，AE⊥EF， ∴∠BAE+∠BEA＝90°，∠BEA+∠CEF＝90°， ∴∠BAE＝∠CEF， ∴△ABE∽△ECF， ∵AB＝2BE＝2CE， ∴EC＝2CF， 设CF＝a，则EC＝BE＝2a，AB＝4a， ∴AE＝2a，EFa，tan∠CFE＝2， ∴tan∠AFE2， ∴∠AFE＝∠CFE， 即射线FE是∠AFC的角平分线，故②正确； ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD， ∵AE⊥EF， ∴∠AEF＝∠B＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+FEC＝90°， ∴∠BAE＝∠CEF， 在△BAE和△CEF中， ， ∴△BAE∽△CEF， ∴， ∴BE＝CE＝2CF， ∵BE＝CFBCCD，即2CFCD， ∴CFCD，故③选项的结论是错误； 过点E作AF的垂线于点G， 在△ABE和△AGE中， ， ∴△ABE≌△AGE（AAS）， ∴AG＝AB，GE＝BE＝CE， 在Rt△EFG和Rt△EFC中， ， ∴Rt△EFG≌Rt△EFC（HL）， ∴GF＝CF， ∴AB+CF＝AG+GF＝AF，故④选项的结论是正确． 故答案为：②④． 13．（3分）如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为 　9或18　． 【答案】9或18． 【解答】解：（1）当∠CED′＝90°时，如图（1）， ∵∠CED′＝90°， 根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′90°＝45°， ∵∠D＝90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴DE＝AD＝18； （2）当∠ED′A＝90°时，如图（2）， 根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D＝90°，AD′＝AD，DE＝D′E， △CD'E为直角三角形， 即∠CD′E＝90°， ∴∠AD′E+∠CD′E＝180°， ∴A、D′、C在同一直线上， 根据勾股定理得AC30， ∴CD′＝30﹣18＝12， 设DE＝D′E＝x，则EC＝CD﹣DE＝24﹣x， 在Rt△D′EC中，D′E2+D′C2＝EC2， 即x2+144＝（24﹣x）2， 解得x＝9， 即DE＝9； 综上所述：DE的长为9或18； 故答案为：9或18． 14．（3分）如图，正方形ABCD的边长是6，对角线的交点为O，点E在边CD上且CE＝2，CF⊥BE，连接OF，则： （1）∠OFB 　＝45°　； （2）OF＝　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）在BE上截取BG＝CF， ∵在正方形ABCD，AC⊥BD，∠ABC＝∠BCD＝90°，AC＝BD，BOBD，COAC，AC、BD分别平分∠ABC、∠BCD， ∴BO＝CO，∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°， ∵CF⊥BE， ∴∠CFE＝90°， ∴∠FEC+∠ECF＝90°， ∵∠EBC+∠FEC＝90°， ∴∠EBC＝∠ECF， ∴∠OBC﹣∠EBC＝∠OCD﹣∠ECF， ∴∠OBG＝∠FCO， ∴△OBG≌△OCF（SAS）， ∴∠BOG＝∠FOC，OG＝OF， ∴∠GOC+∠COF＝90°， ∴∠OFG＝∠OGF＝45°， 故答案为：＝45°； （2）在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BE＝2， ∴CF＝BG， 在Rt△FCE中，根据勾股定理，得EF， ∴GF＝BE﹣BG﹣EF， 在Rt△FOG中，根据勾股定理，得OF， 故答案为：． 15．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E为BC的中点，F为AB上一点，AE，CF交于点O．若AB＝6，∠AOF＝45°，则BF的长为 　2　． 【答案】2． 【解答】解：过点C作CM∥AE交AD于点M，延长AD到点N，使得DN＝BF，连接CN，FM，如图所示： 在正方形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝CD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴∠NDC＝∠B＝90°， ∴△NDC≌△FBC（SAS）， ∴CF＝CN，∠DCN＝∠BCF， ∵∠AOF＝45°，CM∥AE， ∴∠MCF＝∠AOF＝45°， ∴∠MCN＝∠MCD+∠BCF＝45°， ∴∠MCF＝∠MCN， 在△MCF和△MCN中， ， ∴△MCF≌△MCN（SAS）， ∴MF＝MN， ∵AD∥BC，AE∥MC， ∴四边形AECM是平行四边形， ∴CE＝AM， ∵E是BC的中点， ∴M是AD的中点， ∵AB＝6， ∴AD＝AB＝6， ∴AM＝DM＝3， 设BF＝x，则DN＝x，AF＝6﹣x， ∴MF＝MN＝3+x， 在Rt△AFM中， 根据勾股定理，得32+（6﹣x）2＝（3+x）2， 解得x＝2， ∴BF＝2， 故答案为：2． 三．解答题（共7小题，满分55分） 16．（6分）如图，四边形ABCD为矩形，过点A作AE∥BD交CD的延长线于点E．求证：AC＝AE． 【答案】见解析． 【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AC＝BD， ∵AE∥DB， ∴四边形AEDB是平行四边形， ∴AE＝BD， ∴AE＝AC． 17．（8分）如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，CD是斜边AB上的高，CE是中线，求DE长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，CD是斜边AB上的高，CE是中线， ∴BC＝BE＝CE＝4， ∴△BCE是等边三角形， ∵CD是斜边AB上的高， ∴CD也是BE边上的中线， ∴EDEB＝2． 18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形ADFE是矩形； （2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，AB＝4，求OF的长度． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）． 【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中， ∴AB∥DC且AB＝DC， ∴∠ABE＝∠DCF， 在△ABE和△DCF中，， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°， ∴AE∥DF， ∴四边形ADFE是矩形； （2）解：由（1）知：四边形ADFE是矩形， ∴EF＝AD＝6， ∵EC＝4， ∴BE＝CF＝2， ∴BF＝8， 在Rt△ABE中， DF＝AE， 在Rt△BDF中， ∴BD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∴OFBD． 19．（8分）如图，在▱ABCD中，O为线段AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°． （1）求证：四边形ABDE是矩形； （2）连接OC，若AB＝2，，求OC的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵O为AD的中点， ∴AO＝DO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAO＝∠EDO， 又∵∠AOB＝∠DOE， ∴△AOB≌△DOE（ASA）， ∴AB＝DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵∠BDC＝90°， ∴∠BDE＝90°， ∴平行四边形ABDE是矩形； （2）解：如图，过点O作OF⊥DE于点F， ∵四边形ABDE是矩形， ∴DE＝AB＝2，ODAD，OB＝OEBE，AD＝BE， ∴OD＝OE， ∵OF⊥DE， ∴DF＝EFDE＝1， ∴OF为△BDE的中位线， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝2， ∴CF＝CD+DF＝3， 在Rt△OCF中，由勾股定理得：OC， 即OC的长为． 20．（8分）如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F． （1）求证：PC＝PE； （2）若PD＝DE，求证：BP＝BC． 【答案】答案见解答． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP， 在△ADP和△CDP中， ， ∴△ADP≌△CDP（SAS）， ∴PA＝PC， ∵PA＝PE， ∴PC＝PE． （2）证明：四边形ABCD为正方形， ∴∠ADC＝∠CDE＝90°， ∴∠E+∠DFE＝90°， ∵PA＝PE， ∴∠PAD＝∠E， 由（1）知△ADP≌△CDP， ∴∠PAD＝∠PCD， ∴∠PCD＝∠E， ∵∠PFC＝∠DFE， ∴∠PCD+∠PFC＝∠E+∠DFE＝90°， ∴∠CPE＝90°， ∴∠BPC+∠DPE＝90°， ∵PD＝DE， ∴∠DPE＝∠E， ∴∠DPE＝∠PCD， ∵∠BCP+∠PCD＝90°， ∴∠BPC＝∠BCP， ∴BP＝BC． 21．（8分）如图，已知平行四边形ABCD，E是边AB的中点，点F在边AD上，连接FE并延长交CB的延长线于点G，连接BF、AG． （1）如果∠AFG＝∠C，求证：四边形AGBF是矩形； （2）如果F是边AD的中点，且，求证：四边形ABCD是菱形． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠FAE＝∠C， ∴∠EAF＝∠EBG， ∵E是边AB的中点， ∴EA＝EB， 又∵∠AEF＝∠BEG， ∴△AEF≌△BEG（ASA）， ∴AF＝BG，EF＝EG， 又∵AD∥BC， ∴四边形AGBF是平行四边形， ∵∠AFG＝∠C， ∴∠AFG＝∠FAE， ∴EA＝EF， ∴AB＝GF， ∴四边形AGBF是矩形； （2）连接BD，如图， ∵E是边AB的中点，F是边AD的中点， ∴EF是△ABD的中位线， ∴EF∥BD， ∴∠AFE＝∠ADB， 又∵， ∴， ∴∠ADB＝∠CDB， 又∵∠DAB＝∠C，BD＝BD， ∴△ADB≌△CDB（AAS）， ∴AD＝DC， ∴四边形ABCD是菱形． 22．（9分）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）求证：EO＝FO； （2）当CE＝12，CF＝10时，求CO的长； （3）当O点运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）证明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠BCE＝∠ACE＝∠OEC，∠OCF＝∠FCD＝∠OFC， ∴OE＝OC，OC＝OF， ∴OE＝OF； （2）∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ECF∠ACB∠ACD180°＝90°， ∴Rt△CEF中，EF2， 又∵OE＝OF， ∴COEF； （3）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形， 证明：∵AO＝CO，OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形， 由（2）可得∠ECF＝90°， ∴四边形AECF是矩形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 特殊平行四边形（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝5，M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF．若S正方形AMEF＝25，则S△ABC＝（　　） A． B． C．25 D．20 2．（3分）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①BE＝DF；②AC垂直平分EF；③BE+DF＝EF；④S△CEF＝2S△ABE，其中错误结论的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（3分）如图，点B是线段CD上一点，以AB、BC为边向外作正方形，面积分别为S1、S2，若S1+S2＝25，DC＝7，三角形ABC的面积是（　　） A．6 B．7 C．8 D．5 4．（3分）在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，0），B（3，，，将菱形OABC沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，则顶点B′的坐标为（　　） A．（3，3） B．（5，0） C． D． 5．（3分）长方形ABCD内，未被小长方形覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的方式放置，S始终不变，则a，b应满足（　　） A．a＝b B．a＝3b C．a＝2b D．a＝4b 6．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC上的一点，F为AD的中点，且∠BAE＝35°，∠CDE＝55°，∠ADE＝30°，AE＝3，则EF的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 7．（3分）在平面直角坐标系中，，B（1，0），将线段AB平移得到线段DC，点A，点B的对应点分别是点D，点C．若分别连接BC，DA得到四边形ABCD为菱形，且BC与x轴夹角为60°，则点D的坐标是（　　） A．（﹣1，0） B．（﹣1，0）或 C． D．或 8．（3分）如图，正方形ABCD中，点E和点F分别是CD和BC的中点，连接AE、DF相交于点G，连接BG．若∠DAE＝α，则∠ABG的度数为（　　） A．2α B．30°+α C．45°+α D．90°﹣α 9．（3分）如图所示，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转后到达△CBG的位置．延长AE交CG于点F，连接DE．下列结论： ①AF⊥CG； ②四边形BEFG是正方形； ③若DA＝DE，则CF＝FG． 其中不正确的个数是（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 10．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF‖DE且交AG于点F，若AB＝4EF，则S阴影：S正方形ABCD的值为（　　） A．9：16 B．17：32 C．17：36 D．18：35 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC和BD为两条对角线，分别作∠BAO和∠DAO的角平分线交BD于点N和M，且∠MAN＝∠ABC，则∠ABC＝　 　°． 12．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF．有下列结论： ①∠BAE＝30°；②射线FE是∠AFC的角平分线；③CFCD；④AF＝AB+CF．其中正确结论的结论：　 　（填序号） 13．（3分）如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为 　 　． 14．（3分）如图，正方形ABCD的边长是6，对角线的交点为O，点E在边CD上且CE＝2，CF⊥BE，连接OF，则： （1）∠OFB 　 　； （2）OF＝　 　． 15．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E为BC的中点，F为AB上一点，AE，CF交于点O．若AB＝6，∠AOF＝45°，则BF的长为 　 　． 三．解答题（共7小题，满分55分） 16．（6分）如图，四边形ABCD为矩形，过点A作AE∥BD交CD的延长线于点E．求证：AC＝AE． 17．（8分）如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，CD是斜边AB上的高，CE是中线，求DE长． 18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形ADFE是矩形； （2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，AB＝4，求OF的长度． 19．（8分）如图，在▱ABCD中，O为线段AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°． （1）求证：四边形ABDE是矩形； （2）连接OC，若AB＝2，，求OC的长． 20．（8分）如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F． （1）求证：PC＝PE； （2）若PD＝DE，求证：BP＝BC． 21．（8分）如图，已知平行四边形ABCD，E是边AB的中点，点F在边AD上，连接FE并延长交CB的延长线于点G，连接BF、AG． （1）如果∠AFG＝∠C，求证：四边形AGBF是矩形； （2）如果F是边AD的中点，且，求证：四边形ABCD是菱形． 22．（9分）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）求证：EO＝FO； （2）当CE＝12，CF＝10时，求CO的长； （3）当O点运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$