第1章 直线与方程（单元复习 8类压轴题题型专练）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（苏教版2019选择性必修第一册）

第一章 直线与方程（单元复习 8类压轴题题型专练） 题型一　直线的倾斜角与斜率 例题：(1)已知直线l的倾斜角为α，并且0°≤α＜120°，直线l的斜率k的范围是(　　) A．－＜k≤0 B．k＞－ C．k≥0或k＜－ D．k≥0或k＜－ (2)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，求x2，y1的值． 【点睛】求直线的倾斜角与斜率的注意点 (1)求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围． (2)当直线的倾斜角α∈[0°，90°)时，随着α的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角α∈(90°，180°)时，随着α的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大． 巩固训练 点(，4)在直线l：ax－y＋1＝0上，则直线l的倾斜角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 题型二　直线的方程的简单应用 例题：已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程． 【点睛】求解集合间的基本关系问题的要点 (1)合理运用Venn图或数轴帮助分析和求解． (2)在解含参数的不等式(或方程)时，一般要对参数进行讨论，分类时要“不重不漏”，然后对每一类情况都要给出问题的解答． 巩固训练 1.已知△ABC的三个顶点分别是A(0，3)，B(4，2)，C(2，1).若直线l过点A，且将△ABC分割成面积相等的两部分，求直线l的斜截式方程． 2.已知直线l的倾斜角等于直线y＝x＋1的倾斜角的一半，且经过点(2，－3)，求直线l的点斜式方程． 题型三　求直线的方程 例题：已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0. 求：(1)AC所在的直线的方程； (2)点B的坐标． 【点睛】求直线方程的方法 求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件是否具备时要另行讨论条件不满足的情况． 巩固训练 已知△ABC的顶点A(6,1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0.求： (1)顶点C的坐标； (2)直线BC的方程． 题型四　两直线的平行、垂直及距离问题 例题：已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值． (1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直； (2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等． 【点睛】距离公式的运用 (1)距离问题包含两点间的距离、点到直线的距离、两平行直线间的距离． (2)牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合． (3)这类问题是高考考查的热点，在高考中常以选择题、填空题出现，主要考查距离公式以及思维能力． 巩固训练 1.若直线mx＋ny＋2＝0平行于直线x－2y＋5＝0，且在y轴上的截距为1，则m，n的值分别为(　　) A．1和2 B．－1和2 C．1和－2 D．－1和－2 2.已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________． 题型五　对称问题 例题：光线通过点A(2, 3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1，1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程． 【点睛】对称问题的求解策略 (1)点关于点的对称问题，是对称问题中最基础、最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解．熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是解决这类问题的关键． (2)点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于－1；②两点的中点在已知直线上． (3)直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于此点对称的问题，这里需要注意的是两对称直线是平行的．我们往往利用平行直线系去求解． 巩固训练 △ABC的顶点A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，你能判断三角形的形状吗？ 题型六　过两条直线交点的直线系方程应用 例题：求过两直线2x－3y－1＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程． 【点睛】过两条直线交点的直线方程的求法 (1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． (2)特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线系方程，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程． 巩固训练 求过两直线2x－3y－1＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线方程． 题型七　利用坐标法解决平面几何问题 例题：已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD. 求证：|AC|＝|BD|. 巩固训练 把本例的条件改为： 在△ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且＝＋··.求证：△ABC为等腰三角形． 题型八　距离公式的综合应用 例题：已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程． 巩固训练 已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 直线与方程（单元复习 8类压轴题题型专练） 题型一　直线的倾斜角与斜率 例题：(1)已知直线l的倾斜角为α，并且0°≤α＜120°，直线l的斜率k的范围是(　　) A．－＜k≤0 B．k＞－ C．k≥0或k＜－ D．k≥0或k＜－ (2)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，求x2，y1的值． 解析　(1)通过画图(图略)可知k＜－或k≥0.故选C. (2)由α＝45°，故直线l的斜率k＝tan 45°＝1， 又P1，P2，P3都在此直线上，故kP1P2＝kP2P3＝kl， 即＝＝1，解得x2＝7，y1＝0. 【点睛】求直线的倾斜角与斜率的注意点 (1)求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围． (2)当直线的倾斜角α∈[0°，90°)时，随着α的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角α∈(90°，180°)时，随着α的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大． 巩固训练 点(，4)在直线l：ax－y＋1＝0上，则直线l的倾斜角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 解析　将点(，4)代入直线方程，求得a＝，所以直线l：x－y＋1＝0，斜率k＝，所以倾斜角为60°. 答案　C 题型二　直线的方程的简单应用 例题：已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程． 解析　设直线方程为y＝x＋b，则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b. 由已知可得·|b|·|－6b|＝3，即6|b|2＝6，∴b＝±1. 故所求直线方程为y＝x＋1或y＝x－1. 【点睛】求解集合间的基本关系问题的要点 (1)合理运用Venn图或数轴帮助分析和求解． (2)在解含参数的不等式(或方程)时，一般要对参数进行讨论，分类时要“不重不漏”，然后对每一类情况都要给出问题的解答． 巩固训练 1.已知△ABC的三个顶点分别是A(0，3)，B(4，2)，C(2，1).若直线l过点A，且将△ABC分割成面积相等的两部分，求直线l的斜截式方程． 解析　由题意知：直线l是△ABC在BC边上的中线， 由 B(4，2)，C(2，1)，得B，C的中点坐标为， 所以直线l的斜率k＝＝－， 则直线l的斜截式方程为：y＝－x＋3. 2.已知直线l的倾斜角等于直线y＝x＋1的倾斜角的一半，且经过点(2，－3)，求直线l的点斜式方程． 解析　设直线y＝x＋1的倾斜角为α，则tan α＝，又α∈[0，π)，所以α＝60°， 因为直线l的倾斜角等于直线y＝x＋1的倾斜角的一半， 所以直线l的倾斜角为，所以直线l的斜率为tan ＝tan 30°＝， 所以直线l的点斜式方程为： y＋3＝(x－2)). 题型三　求直线的方程 例题：已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0. 求：(1)AC所在的直线的方程； (2)点B的坐标． 解析　(1)因为AC⊥BH，所以设AC所在的直线的方程为2x＋y＋t＝0. 把A(5，1)代入直线方程2x＋y＋t＝0中，解得t＝－11. 所以AC所在的直线的方程为2x＋y－11＝0. (2)设B(x0，y0)，则AB的中点为. 联立得方程组 化简得解得 故B(－1，－3). 【点睛】求直线方程的方法 求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件是否具备时要另行讨论条件不满足的情况． 巩固训练 已知△ABC的顶点A(6,1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0.求： (1)顶点C的坐标； (2)直线BC的方程． 解析　(1)由题意知AC边上的高所在直线斜率为， 故AC边所在的直线的斜率为－2，则它的方程为y－1＝－2(x－6)，即2x＋y－13＝0. 由得 故点C的坐标为. (2)设B(m，n)，则M. 把M的坐标代入直线方程2x－y－5＝0，把点B的坐标代入直线方程x－2y－5＝0， 可得 解得故点B. 再用两点式求得直线BC的方程为＝，化简为46x－41y－43＝0. 题型四　两直线的平行、垂直及距离问题 例题：已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值． (1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直； (2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等． 解析　(1)∵l1⊥l2， ∴a(a－1)＋(－b)·1＝0.即a2－a－b＝0.① 又点(－3，－1)在l1上，∴－3a＋b＋4＝0.② 由①②解得a＝2，b＝2. (2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a， ∴l1的斜率也存在，＝1－a，即b＝. 故l1和l2的方程可分别表示为 l1：(a－1)x＋y＋＝0，l2：(a－1)x＋y＋＝0. ∵原点到l1与l2的距离相等，∴4＝，解得a＝2或a＝. 因此或 【点睛】距离公式的运用 (1)距离问题包含两点间的距离、点到直线的距离、两平行直线间的距离． (2)牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合． (3)这类问题是高考考查的热点，在高考中常以选择题、填空题出现，主要考查距离公式以及思维能力． 巩固训练 1.若直线mx＋ny＋2＝0平行于直线x－2y＋5＝0，且在y轴上的截距为1，则m，n的值分别为(　　) A．1和2 B．－1和2 C．1和－2 D．－1和－2 解析　由已知得直线mx＋ny＋2＝0过点(0,1)，则n＝－2，又因为两直线平行，所以－＝，解得m＝1. 答案　C 2.已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________． 答案　－3 题型五　对称问题 例题：光线通过点A(2, 3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1，1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程． 解析　设点A(2，3)关于直线l的对称点为A′(x0，y0)，则 解之得，A′(－4，－3). 由于反射光线经过点A′(－4，－3)和B(1，1)， 所以反射光线所在直线的方程为 y－1＝(x－1)·，即4x－5y＋1＝0. 解方程组 得反射点P. 所以入射光线所在直线的方程为 y－3＝(x－2)·，即5x－4y＋2＝0. 综上，入射光线和反射光线所在直线的方程分别为5x－4y＋2＝0，4x－5y＋1＝0. 【点睛】对称问题的求解策略 (1)点关于点的对称问题，是对称问题中最基础、最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解．熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是解决这类问题的关键． (2)点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于－1；②两点的中点在已知直线上． (3)直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于此点对称的问题，这里需要注意的是两对称直线是平行的．我们往往利用平行直线系去求解． 巩固训练 △ABC的顶点A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，你能判断三角形的形状吗？ 解析　如图，AB边所在的直线的斜率kAB＝－，BC边所在直线的斜率kBC＝2. 由kAB·kBC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°. ∴△ABC是以点B为直角顶点的直角三角形． 题型六　过两条直线交点的直线系方程应用 例题：求过两直线2x－3y－1＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程． 解析　法一：解方程组 得所以两直线的交点坐标为(－1，－1). 又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3. 故所求直线方程为y＋1＝－3， 即3x＋y＋4＝0. 法二：设所求直线方程为(2x－3y－1)＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－1)＝0.(*) 由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行， 所以有 得λ＝. 代入(*)式，得x＋y＋＝0， 即3x＋y＋4＝0. 【点睛】过两条直线交点的直线方程的求法 (1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． (2)特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线系方程，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程． 巩固训练 求过两直线2x－3y－1＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线方程． 解析　设所求直线方程为(2x－3y－1)＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－1)＝0， 由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直， 则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－， 所以所求直线方程为x－3y－2＝0. 题型七　利用坐标法解决平面几何问题 例题：已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD. 求证：|AC|＝|BD|. 解析　如图所示，建立平面直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)， 则点D的坐标是(a－b，c). ∴|AC|＝＝， |BD|＝＝. 故|AC|＝|BD|. 巩固训练 把本例的条件改为： 在△ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且＝＋··.求证：△ABC为等腰三角形． 解析　作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立直角坐标系(如图所示). 设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，D(d，0). 因为＝＋·， 所以，由距离公式可得b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d). 又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即－b＝c. 所以＝，即△ABC为等腰三角形． 题型八　距离公式的综合应用 例题：已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程． 解析　设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5). 由得正方形的中心坐标为P(－1，0)， 由点P到两直线l，l1的距离相等，得＝，得c＝7或c＝－5(舍去).∴l1：x＋3y＋7＝0. 又正方形另两边所在直线与l垂直， ∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0. ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴＝，得a＝9或a＝－3， ∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0. ∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0. 巩固训练 已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形的面积． 解析　由得正方形的中心坐标为P(－1，0). 由点到直线的距离公式得点P(－1，0)到直线x＋3y－5＝0的距离 d＝＝. 这时正方形的边长为，所以正方形的面积为S＝＝ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$