压轴题06 空间向量与立体几何4大类型专练-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教B版2019选择性必修第一册）

专题06 空间向量与立体几何专题训练 目录 压轴题型讲练 1 类型一、空间向量的基本定理 1 类型二、空间向量在立体几何中运算 5 类型三、应用空间向量求空间各种角 8 类型四、折叠有关问题 11 类型一、空间向量的基本定理 1.（23-24高二上·浙江金华·期末）已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高二下·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．若表示向量的有向线段所在的直线为异面直线，则向量一定不共面 C．若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点与不共线的三点、、，若（其中、、），则、、、四点共面 3.（23-24高二下·浙江·期中）（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则是锐角 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 4.（23-24高二下·湖南岳阳·期末）（多选）已知，是同一平面内一组不共线的向量，对于平面内任意向量，有且只有一对实数x，y使，且当P，A，B共线时，有．同样，在空间中若三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的一组实数组，使得，且当P，A，B，C共面时，有．如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点、PC与平面ABE交于F点，设，则 ； ． 5.（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 6.（23-24高二下·福建漳州·期中）已知在三棱锥中，与都是边长为2的正三角形，，点在棱上，且，记. (1)用表示，并求； (2)求直线与所成角的余弦值． 7.（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点，设，，. (1)用，，表示，并求出； (2)求证：. 类型二、空间向量在立体几何中的运算 1.（23-24高二下·江苏南京·期末）给出下列四个命题，其中真命题是（    ） A．若向量与向量，共面，则存在实数x，y，使 B．若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面 C．直线a的方向向量为，平面的法向量为，则 D．若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 2.（23-24高二下·甘肃兰州·期中）（多选）已知四边形是平行四边形，，，，则（    ） A．点的坐标是 B． C． D．四边形的面积是 3.（23-24高二下·云南曲靖·期末）（多选）在棱长为2的正方体中，点满足，其中，，则（    ） A．当时， B．当时，三棱锥的体积为 C．当时，平面 D．当时，到平面的距离为 4．（23-24高二下·江苏扬州·期中）（多选）下列给出的命题中正确的有（      ） A．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B．点P为平面ABC上的一点，且，则 C．已知，若共面，则实数 D．已知点，一直线过点，且一个方向向量为（，则点P到该直线的距离为 5．（23-24高二下·江苏常州·期中）（多选）下列给出的命题正确的是（    ） A．若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B．点为平面上的一点，且，则 C．若直线的方向向量为，平面的法向量，则 D．两个不重合的平面的法向量分别是，则 6.（23-24高二下·福建龙岩·期末）（多选）已知正方体棱长为1，动点M满足，则（    ） A．当，时，直线⊥平面 B．当，，时，点M到直线的距离为 C．当，，时，的值可能为 D．当且时，点M的轨迹长度为 7.（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）（多选）如图，已知正方体的棱长为1，分别为棱，的中点，点在侧面内，则以下说法正确的有（    ） A．平面 B．过点作正方体的截面，所得截面的面积是 C．点到平面的距离为 D．若平面，则点的轨迹长度为 类型三、应用空间向量求空间中各种角 1.（23-24高二下·江苏徐州·期中）如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高二下·甘肃兰州·期末）如图，在中，，，，可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角.动点在线段上. (1)当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值； (2)求与平面所成角的正弦值的最大值. 3.（23-24高二下·江苏南通·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，．点在棱上且与，不重合，平面交棱于点． (1)求证：； (2)若为棱的中点，求二面角的正弦值； (3)记点，到平面的距离分别为，，求的最小值． 4.（23-24高二下·江苏南京·期中）四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 5.（23-24高二下·江苏常州·期中）如图,在四棱锥中,底面是边长为6的正方形,是正三角形,平面,为的中点,,,分别是,,上的点,且满足． (1)求证：平面; (2)求平面与平面所成锐二面角的大小; (3)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为?若存在,求线段的长度；若不存在,请说明理由. 6.（23-24高二下·甘肃兰州·期末）如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使二面角的平面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 7.（23-24高二下·山东济宁·期末）已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为上一点，. (1)求的长； (2)若为的中点，求二面角的余弦值； (3)若为上一点，且满足，求. 8.（23-24高二下·湖南郴州·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面为线段的中点，为线段（不含端点）上的动点. (1)证明：平面平面； (2)是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 类型四、折叠图有关问题 1.（23-24高二下·福建漳州·期中）如图1，在正方形中，，为的中点，过点作的垂线，与分别交于点，把四边形ABFD沿BF折起，使得AO平面BCF，点A，D分别到达点的位置，连接，如图2. (1)设，是线段（不含端点）上一动点，问：是否存在点，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 2.（23-24高二下·贵州毕节·期末）如图1，已知直角梯形AEFD中，，点B，C分别在AE，DF上，且，，，，将图1沿BC翻折，使平面平面BEFC得图2．    (1)在线段CF上是否存在一点M，使得A、E、M、D四点共面．若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由； (2)当时，求平面AEF与平面CEF的夹角的正切值． 3．（23-24高二下·吉林长春·期末）如图①，在等腰梯形中，，，，，分别是线段的两个三等分点，若把等腰梯形沿虚线，折起，使得点和点重合，记为点，如图②.      (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 4．（23-24高二下·吉林·期末）在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 5.（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图1，在直角梯形中，，为的中点，将沿折起，使得点到达点的位置，且平面平面，如图2，为的中点，是上的动点（与点不重合），是上的动点（与点不重合）． (1)证明：平面； (2)若点在平面内，当最小时，求； (3)是否存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 6.（23-24高二下·福建福州·期末）如图，在矩形中，，，点分别在 上，且 ，沿 将四边形折成四边形．    (1)求证：平面； (2)若点在平面上的射影在直线上，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，设点在线段上，平面与平面所成锐二面角的平面角为．若，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 空间向量与立体几何专题训练 目录 压轴题型讲练 1 类型一、空间向量的基本定理 6 类型二、空间向量在立体几何中运算 14 类型三、应用空间向量求空间各种角 27 类型四、折叠有关问题 37 类型一、空间向量的基本定理 1.（23-24高二上·浙江金华·期末）已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 由空间向量的共面定理可知，点四点共面， 即点E在平面上，所以的最小值为点到平面的距离d， 由正方体棱长为1，可得是边长为的等边三角形， 则，， 由等体积法得，，所以， 所以的最小值为. 故选：C 2.（23-24高二下·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．若表示向量的有向线段所在的直线为异面直线，则向量一定不共面 C．若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点与不共线的三点、、，若（其中、、），则、、、四点共面 【答案】A 【详解】由空间向量的加法运算可知，故A正确； 空间中任意两个向量都共面，故B错误； 若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行或重合，故C错误； 若，且，则、、、四点共面，故D错误； 故选：A 3.（23-24高二下·浙江·期中）（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则是锐角 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 【答案】ACD 【详解】对A，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确； 对B，若，则，故B错误. 对C，假设共面，则， 因为向量组是空间的一个基底， 所以不存在实数，使得成立，故不共面， 即也是空间的一个基底，故C正确. 对D，因为，且， 所以四点共面，故D正确. 故选：ACD. 4.（23-24高二下·湖南岳阳·期末）（多选）已知，是同一平面内一组不共线的向量，对于平面内任意向量，有且只有一对实数x，y使，且当P，A，B共线时，有．同样，在空间中若三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的一组实数组，使得，且当P，A，B，C共面时，有．如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点、PC与平面ABE交于F点，设，则 ； ． 【答案】 2． 【详解】， 设， 由共面，有，解得，故. 又，有， 则. 故答案为：；2． 5.（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 6.（23-24高二下·福建漳州·期中）已知在三棱锥中，与都是边长为2的正三角形，，点在棱上，且，记. (1)用表示，并求； (2)求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）因为，所以. 因为，，所以，， 所以． （2）因为是边长为2的正三角形， 所以. 因为， 所以， 所以， 所以. 由（1）得， 所以=. 设直线与所成的角为， 则， 所以直线与所成角的余弦值为． 7.（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点，设，，. (1)用，，表示，并求出； (2)求证：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）由点是线段的中点，得， 由点是的重心，得， 所以， 因为正四面体中，，， 故， 所以， 即； （2）由（1）可知，，， 所以 ， 所以. 类型二、空间向量在立体几何中的运算 1.（23-24高二下·江苏南京·期末）给出下列四个命题，其中真命题是（    ） A．若向量与向量，共面，则存在实数x，y，使 B．若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面 C．直线a的方向向量为，平面的法向量为，则 D．若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 【答案】B 【详解】对于A，如果为非零向量，且与不共线，而与共线， 则不成立，故A错误； 对于B，运用四点共面定理推论可知B正确； 对于C，，则，则，故C错误； 对于D，向量是平面的法向量，则，， 即，，又，， 得且，解得，，则，故D错误. 故选：B. 2.（23-24高二下·甘肃兰州·期中）（多选）已知四边形是平行四边形，，，，则（    ） A．点的坐标是 B． C． D．四边形的面积是 【答案】ABD 【详解】设，则，由，且， 可得，所以点的坐标是，故A正确； 因为，则，故B正确； 因为，，所以， 且，， 则，故C错误； 由C可知， 则四边形的面积为，故D正确； 故选：ABD 3.（23-24高二下·云南曲靖·期末）（多选）在棱长为2的正方体中，点满足，其中，，则（    ） A．当时， B．当时，三棱锥的体积为 C．当时，平面 D．当时，到平面的距离为 【答案】ACD 【详解】 当时，，根据正方体结构特征，易知平面平面，所以，故A正确. 当时，.易知到平面的距离为定值2. 因为，所以，故B错误. 当时，，根据正方体结构特征，易证面面面，所以面，故C正确. 当时，，即为的中点， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 所以平面的法向量为，， 所以到平面的距离，故D正确. 故选：ACD 4．（23-24高二下·江苏扬州·期中）（多选）下列给出的命题中正确的有（      ） A．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B．点P为平面ABC上的一点，且，则 C．已知，若共面，则实数 D．已知点，一直线过点，且一个方向向量为（，则点P到该直线的距离为 【答案】BCD 【详解】对于A，因是空间的一组基底，则不共面， 而，即三个向量为共面向量，故A错误； 对于B，因点P为平面ABC上的一点，且， 由共面向量基本定理可得，，即，故B正确； 对于C，由共面可知，存在，使得， 即，则有，解得，故C正确； 对于D，由该直线的一个方向向量为，则与之同方向的单位向量为， 直线过点，则 于是点到该直线的距离为，故D正确. 故选：BCD. 5．（23-24高二下·江苏常州·期中）（多选）下列给出的命题正确的是（    ） A．若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B．点为平面上的一点，且，则 C．若直线的方向向量为，平面的法向量，则 D．两个不重合的平面的法向量分别是，则 【答案】BD 【详解】对于A，因为，即这三个向量共面， 故不是空间的一组基底，故A错误. 对于B，因为共面，故，故，故B正确. 对于C，因为，故或，故C错误. 对于D，因为，故，故，故D正确. 故选：BD. 6.（23-24高二下·福建龙岩·期末）（多选）已知正方体棱长为1，动点M满足，则（    ） A．当，时，直线⊥平面 B．当，，时，点M到直线的距离为 C．当，，时，的值可能为 D．当且时，点M的轨迹长度为 【答案】BD 【详解】A选项，当，，此时点为的中点， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 由于，， 故， 故与不垂直，故直线与平面不垂直，A错误； B选项，当，，时， ， 设，则，解得， 故，， 又，故， 故点M到直线的距离为，B正确； C选项，当，，时， ， 设，则，解得， 故， 其中，故， 故 ， 如图所示，， 显然当三点共线时，取得最小值， 最小值为， 则的最小值为， 当且仅当，即时，等号成立， 故的值不可能为，C错误； D选项，当时， ， 故，即， 故点在平面上， 连接，交平面于点，则， 因为， ， 故⊥，且⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 且， 又，故， 故点M的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 故轨迹长度为，D正确. 故选：BD 7.（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）（多选）如图，已知正方体的棱长为1，分别为棱，的中点，点在侧面内，则以下说法正确的有（    ） A．平面 B．过点作正方体的截面，所得截面的面积是 C．点到平面的距离为 D．若平面，则点的轨迹长度为 【答案】AD 【详解】对于A，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，，，，，， 则，， ，，， 所以，， 则平面，故A正确； 对于B，作中点，的中点，的中点， 连接，，，，， 则正六边形为对应截面面积， 正六边形边长为， 则截面面积为：，故B错误； 对于C，由A选项知，向量为平面的法向量， 且，， 所以到平面的距离为 ，故C错误； 对于D，取BC中点R，CC1中点T，所以相交， 所以平面平面，即平面平面， 由B选项知，当动点在上运动时，平面，总是会有平面， 所以若平面，则点的轨迹为，， 故D正确； 故选：AD 类型三、应用空间向量求空间中各种角 1.（23-24高二下·江苏徐州·期中）如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取BD中点O，连接AO，CO，， 则，且，于是是二面角的平面角， 显然平面，在平面内过点作，则， 直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，设二面角的大小为，， 因此，，， 于是， 显然，则当时，， 所以的最大值为. 故选：B 2.（23-24高二下·甘肃兰州·期末）如图，在中，，，，可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角.动点在线段上. (1)当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值； (2)求与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得：，平面平面， 平面平面，平面，所以平面， 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 若为的中点，则，可得， 设异面直线与所成角，， 则. 故异面直线与所成角的余弦值为. （2）若动点在线段上，设， 则，可得，解得， 即，则， 由题意可知：平面的法向量为，    设与平面所成角为，， 则， 对于函数，开口向上，对称轴为， 可得当时，取到最小值， 所以的最大值为，因为， 故与平面所成角的正弦最大值为. 3.（23-24高二下·江苏南通·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，．点在棱上且与，不重合，平面交棱于点． (1)求证：； (2)若为棱的中点，求二面角的正弦值； (3)记点，到平面的距离分别为，，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为，平面，平面， 所以平面. 又平面，平面平面. 所以. （2）如图： 取中点，连接. 因为平面，平面，所以. 在四边形中，，且， 所以四边形为矩形.所以平面. 又在和中，，，. 所以（）. 所以，. 故，，两两垂直，所以以为原点，建立如图空间直角坐标系. 当为中点时，，，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，取. 设平面的法向量为， 则，取. 所以. 所以二面角的正弦值为：. （3）设，（） ，则，，. 设平面的法向量为，则 ，取. 则到平面的距离为：， 到平面的距离为：， 所以 设，则 那么（当且仅当即时取“”） 所以. 4.（23-24高二下·江苏南京·期中）四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解答 (2) (3)存在， 【详解】（1）如图1，取的中点，连接 因为且，又因为分别是的中点， 所以且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 因为，所以，令， 又因为，所以， 如图2，以为原点，所在方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则， 所以 设点坐标为，则， 由得，则， 所以，， 设平面的一个法向量为， 由，令，则， 所以面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 所以平面的一个法向量为， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为． （3）存在，，理由如下： 设， 所以设，，所以， 所以， 因为与平面所成角的正弦值为，所以， 整理得，解得或（舍）， 所以存在满足条件的点，，则. 5.（23-24高二下·江苏常州·期中）如图,在四棱锥中,底面是边长为6的正方形,是正三角形,平面,为的中点,,,分别是,,上的点,且满足． (1)求证：平面; (2)求平面与平面所成锐二面角的大小; (3)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为?若存在,求线段的长度；若不存在,请说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)不存在,理由见详解 【详解】（1）是正三角形, 为的中点,, 又平面,平面, , 又平面,平面,平面,且, 平面. （2） 取的中点,连接, 由（1）得平面,且底面是的正方形,所以以为原点,分别以所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,得到如下点的坐标, 又,,分别是,,上的点,且满足, ， ,, 由（1）得平面,所以平面的法向量为, 设平面的法向量为, 则,即,解得,, 设平面与平面所成锐二面角为, , 所以平面与平面所成锐二面角的大小. （3）设线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为,且, ,, , 整理可得:,方程无解, 不存在这样的点. 6.（23-24高二下·甘肃兰州·期末）如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使二面角的平面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）平面平面， 平面平面， 平面平面， 则以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 . ， 设平面的法向量为，则， 令，解得：， 又，即， 又平面平面； （2）假设在线段上存在点，使二面角的大小为. 设，则. 设平面的一个法向量为， 则， 令，解得：， 又平面的一个法向量为， ， 即，解得：或（舍去）， 此时， 在线段上存在点，使二面角的平面角的大小为， 此时. 7.（23-24高二下·山东济宁·期末）已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为上一点，. (1)求的长； (2)若为的中点，求二面角的余弦值； (3)若为上一点，且满足，求. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为底面为矩形，底面， 所以，，又底面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为直线与所成的角，即， 设，则，， 在中， 又，所以，解得（负值已舍去）， 所以； （2）在平面内过点作交的延长线于点，连接， 因为底面，底面，所以，又， 平面，所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为为的中点， 所以，， 所以， 设二面角的平面角为，则， 所以， 即二面角的余弦值为； （3）依题意，，又， 所以，，又，所以， 又，平面，所以平面， 在平面内过点作，垂足为， 由平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又，即， 所以. 8.（23-24高二下·湖南郴州·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面为线段的中点，为线段（不含端点）上的动点. (1)证明：平面平面； (2)是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）因为底面为正方形，则， 又因为平面，平面，。 且，平面， 可得平面，由平面，可得， 因为，且E为的中点，则， 由，平面，可得平面， 且平面，所以平面平面. （2）以分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系， 则，， 设， 则， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 又因为， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 由题意得：，即， 整理得即，解得或（舍去）， 所以存在，此时. 类型四、折叠图有关问题 1.（23-24高二下·福建漳州·期中）如图1，在正方形中，，为的中点，过点作的垂线，与分别交于点，把四边形ABFD沿BF折起，使得AO平面BCF，点A，D分别到达点的位置，连接，如图2. (1)设，是线段（不含端点）上一动点，问：是否存在点，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)存在， (2)． 【详解】（1）存在点，且当时，. 由题意，知两两垂直，所以以点O为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为 所以可求得 所以所以. 因为点在线段上，所以可设. 因为，所以点， 所以， 假设存在点，使得，则， 所以，解得，即所以， 所以存在点，且当时，. （2） 由（1）得 所以，，，=. 设平面的法向量为，则， 取，得，则是平面的一个法向量. 设平面的法向量为，则， 取，得，则是平面的一个法向量. 设平面与平面所成的角为， 则=， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 2.（23-24高二下·贵州毕节·期末）如图1，已知直角梯形AEFD中，，点B，C分别在AE，DF上，且，，，，将图1沿BC翻折，使平面平面BEFC得图2．    (1)在线段CF上是否存在一点M，使得A、E、M、D四点共面．若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由； (2)当时，求平面AEF与平面CEF的夹角的正切值． 【答案】(1)存在，证明见解析 (2) 【详解】（1）解：存在，理由如下：过E作交CF于点M，连接DM， ∵且，∴ ∵，∴，∴A、E、M、D四点共面 （2）因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面， 由（1）可知，在中，，，∴ 即，易知，，∵．∴ 以C为坐标原点，CB，CF，CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，显然平面的法向量为 设平面AEF的法向量为，∵， ∴，令，∴ ∴ 设平面AEF与平面CEF的夹角为，则， ∴平面AEF与平面CEF的夹角的正切值为. 3．（23-24高二下·吉林长春·期末）如图①，在等腰梯形中，，，，，分别是线段的两个三等分点，若把等腰梯形沿虚线，折起，使得点和点重合，记为点，如图②.      (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【详解】（1）由题意可知：四边形ABEF是正方形， 则，且，平面PEF， 所以平面PEF， 因为平面ABEF，所以平面平面ABEF． （2）如图，过点P作于点O，过点O作BE的平行线交AB于点G， 因为平面平面ABEF，平面平面，平面， 则平面ABEF． 又因为PO，EF，OG所在直线两两垂直， 所以分别以OG，OE，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则. 所以. 设平面PAE的法向量为，则， 设，则，可得. 设平面的法向量为，则， 设，则，可得. 设平面与平面所成锐二面角为， 则， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 4．（23-24高二下·吉林·期末）在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或 【详解】（1）因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，， 又平面， 所以平面，平面，所以， 又已知，且都在面内，所以平面； （2）由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. 因为，故， 由几何关系可知，，，， 故，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 不妨令，则，，. 设与平面所成角的大小为， 则有， 设为与平面所成角，故， 即与平面所成角的大小为； （3）假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为. 在空间直角坐标系中，，，， 设，则，， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 若平面与平面成角余弦值为. 则满足， 化简得，解得或，即或， 故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或. 5.（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图1，在直角梯形中，，为的中点，将沿折起，使得点到达点的位置，且平面平面，如图2，为的中点，是上的动点（与点不重合），是上的动点（与点不重合）． (1)证明：平面； (2)若点在平面内，当最小时，求； (3)是否存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，为线段上靠近点的四等分点. 【详解】（1）证明：平面， 平面，因为平面， ， 是中点，， 平面，面． （2）延长至点，使得，由（1）可知，平面，又平面， 平面平面， ， 当，且时，最小， ， （3）假设存在点满足题意，平面平面， 平面平面，平面，平面， 如图所示建系， ，设， 设平面法向量为， ，即， ， 又平面的法向量为， ，满足． 即此时为线段上靠近点的四等分点． 6.（23-24高二下·福建福州·期末）如图，在矩形中，，，点分别在 上，且 ，沿 将四边形折成四边形．    (1)求证：平面； (2)若点在平面上的射影在直线上，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，设点在线段上，平面与平面所成锐二面角的平面角为．若，求． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【详解】（1），平面，平面． 平面， 由，同理可得平面， 又，平面，平面， 平面平面，平面， 平面； （2）    如图所示， 过作，过作平面， 分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． 在平面上的射影在直线上， 设， ， 因为，且，； ，解得，， 而， 所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，，平面，平面， 所以平面， 所以平面的一个法向量是， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值； （3）    设，， 因为，， 所以， 所以， 从而， 设平面的法向量为， 所以， 设，解得，即， 由（2）可知平面的一个法向量是，， 由题意可知平面与平面所成锐二面角的余弦值 ， 整理得，，解得， 即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$