第12讲 函数与方程（8类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（北京专用）

第12讲 函数与方程 （8类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2022年北京卷，第13题，5分 函数零点与三角函数结合 2021年北京卷，第15题，5分 函数的零点与导数结合 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】近5年高考中只考查了2次，主要与其他知识结合考查，难度中等偏上． 【备考策略】 1.理解函数的零点与方程的解的联系； 2.理解函数零点存在定理，并能简单应用； 3.了解二分法求方程的近似解 【命题预测】在2025年的北京高考复习中应多加注意函数零点与其他知识的结合考查，侧重于考查学生对数学基础知识和基本思想方法的掌握． 知识讲解 知识点1 函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． 2、函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 【注意】函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标， 也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数． 知识点2 函数零点存在定理 1、函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2、两个重要推论 （1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点． （2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则． 知识点3 二分法 1、二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2、给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点； （3）计算，进一步确定零点所在的区间： ①若（此时），则就是函数的零点； ②若（此时），则令； ③若（此时），则令. （4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4）． 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点． 考点一、判断函数零点所在区间 【典例1】（22-23高三上·北京海淀·期末）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】定义域为，在定义域上连续且单调递增， 其中，，， ，， 由零点存在性定理可得：包含零点的区间为.故选：D 【典例2】（23-24高三下·北京·阶段练习）函数的一个零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为的定义域为，且在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 所以函数的唯一一个零点所在的区间是.故选：B. 1．（22-23高三上·北京·期中）设函数则其零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数， 所以，，，，， 又， 因为函数在上为单调递增，函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 结合零点存在定理，可知的零点所在区间为.故选：B. 2．（22-23高一上·北京延庆·期末）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易得函数为减函数， ， ， ，，根据幂函数单调性可知， ，， 可得，则函数包含零点的区间是，故选：B. 考点二、根据函数零点区间确定参数的范围 【典例1】（22-23高三上·北京·模拟预测）已知函数，若方程的实根在区间上，则k的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，当时，解得； 当时，，其中，， 当时，解得，综上k的最大值是1.故选：C. 【典例2】（22-23高三上·北京·阶段练习）如果关于的方程在区间内有解，写出的一个取值 . 【答案】6（答案不唯一）. 【解析】设， 因为方程在区间内有解， 所以函数在内有零点， 所以，所以，则的一个取值为6， 故答案为：6（答案不唯一）. 1．（23-24高三下·重庆·阶段练习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若函数在区间上存在零点， 由函数在的图象连续不断，且为增函数， 则根据零点存在定理可知，只需满足， 即，解得， 所以实数的取值范围是.故选：D. 2．（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若函数存在1个零点位于内， 单调递增,又因为零点存在定理， .故选：A. 考点三、求函数的零点或零点个数 【典例1】（22-23高三下·北京西城·阶段练习）函数的零点个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得，作出函数与的图象如下图所示： 由图可知，函数与的图象的交点个数为， 故函数的零点个数为.故选：C. 【典例2】（23-24高三下·北京海淀·阶段练习）已知符号函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】令，则 ， 当时，若，得，符合； 当时，若，得，符合； 当时，若，得，符合； 故函数的零点个数为.故选：C. 1．（22-23高三上·北京朝阳·期末）函数的零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】当时，令， 则，解得：（舍去）或， 当时，令，解得：， 所以的零点个数为2.故选：C. 2．（22-23高三下·北京大兴·开学考试）已知函数，则函数的零点个数为 . 【答案】 【解析】当时，，解得； 当时，得， 易得， 作出函数，的图象，如图， 所以，结合指数函数与幂函数性质，函数，在有两个交点， 所以当时，有两个实数根， 所以，函数的零点个数为 考点四、根据函数零点个数求参数 【典例1】（23-24高三上·北京东城·阶段练习）已知函数，若关于的方程在内有唯一实根，则实数的最小值为（    ） A．-1 B． C． D．1 【答案】B 【解析】由函数，作出函数的图象，如图所示， 因为在上有唯一的实数根， 可得，所以实数的最小值为.故选：B. 【典例2】（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）函数有两个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 函数单调递增，所以要想有两个不同的零点， 则需要函数有两个零点，即方程在有，两个根， 所以，解得.故选：B. 1．（22-23高三下·北京西城·一模）设，函数 若恰有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】画出函数的图象如下图所示： 函数可由分段平移得到， 易知当时，函数恰有一个零点，满足题意； 当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意； 当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点； 当时，恰有一个零点，满足题意，即； 综上可得的取值范围是.故选：D 2．（22-23高三上·北京通州·期中）已知函数设，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数有两个零点， 所以函数的图象与函数的图象有两个不同的交点. 函数恒过定点,， 如图所示，两个函数图象已经有一个交点. 时，，其导函数， 当直线与函数相切时，只有一个交点， 此时，解得，则当时，有两个交点. 时，，其导函数， 当直线与函数相切时，只有一个交点， 此时，解得，则当时，有两个交点. 综上，要使函数有两个零点，则实数的取值范围是.故选：D. 考点五、复合函数零点个数判断 【典例1】（22-23高三上·北京·期中）函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】下面解方程：， 当时，，得或1（舍去）， 当时，，得， 所以的两根为， 由得或， 若，则当 时，无解，当 时，无解； 若，则当 时，解得，当 时，解得 所以的零点个数共有两个.故选：B 【典例2】（23-24高三下·福建漳州·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【解析】依题意，函数零点的个数，即为方程解的个数， 令，则，当时，，令，， 函数在上单调递增，于是函数在上单调递增， 又，，则存在，使得； 当时，，解得或， 作函数的大致图象，如图： 又，则， 当时，，由的图象知，方程有两个解； 当时，，由的图象知，方程有两个解； 当，时，，由的图象知，方程有一个解， 综上所述，函数的零点个数为5.故选：B 1．（23-24高三下·浙江金华·三模）若函数，则方程的实数根个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】， 当时，，则， 此时在上单调递减， 当时，，则， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 画出函数和的图象如下： 令得， 故， 令，则，且， 当时，结合图象可知，只有1个解， 当时，结合图象可知，只有1个解， 当时，结合图象可知，由3个解， 综上，方程的实数根的个数为5.故选：D 2．（23-24高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【解析】函数的零点， 即方程和的根，函数的图象，如下图所示： 由图可得方程和的根，共有4个根， 即函数有4个零点．故选：C． 考点六、根据复合函数零点个数求参数 【典例1】（23-24高三下·辽宁葫芦岛·二模）已知函数，，若关于x的方程有三个不同实数根，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，作出函数的图象， 令， 由图可知，当时，关于的方程有个不同的实数根， 当或时，关于的方程只有个实数根， 因为关于x的方程有三个不同实数根， 所以关于的方程的一个根在上，另一个根在上， 或方程的两个根一个为，另一个在上， 若为方程的根时，则， 当时，方程的另一个根为，不符题意， 当时，方程的另一个根为，不符题意， 若为方程的根时，则或， 当时，方程的另一个根为，不符题意， 当时，方程只有一个根为，不符题意， 若关于的方程的一个根在上，另一个在上时， 令， 则，即，解得， 综上所述，实数t的取值范围是.故选：B. 【典例2】已知函数，若关于x的方程有7个不等的实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出函数的图象如图所示. ， 关于x的方程有7个不等的实数根， 即有7个不等的实数根， 易知有3个不等的实数根， 所以必须有4个不相等的实数根， 由函数f(x)的图象可知，所以.故选：C 1．（23-24高三下·黑龙江·模拟预测）已知函数，若关于x的方程的不同实数根的个数为6，则a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，由此可知在单调递减， 且当时，，在上单调递增，； 当时，在单调递增，在上单调递减， ，如图所示． 得，即或， 由与有两个交点，则必有四个零点， 即，得.故选：C 2．（23-24高三下·安徽合肥·三模）设，函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，当时，，此时， 由得，即，解得或， 所以在上有2个零点； 时，若，对称轴为，函数的大致图象如图： 此时，即，则， 所以无解，则无零点，无零点， 综上，此时只有两个零点，不符合题意， 若，此时的大致图象如下： 令，解得（舍去）， 显然在上存在唯一负解， 所以要使恰有5个零点， 需，即，解得， 所以．故选：D 考点七、函数零点求和与取值范围问题 【典例1】（23-24高三下·甘肃张掖·模拟预测）函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．-1 C． D．2 【答案】A 【解析】由零点定义可知，函数的零点，就是方程的实数根，令， 则，显然，所以， 构造函数与函数，则方程的根， 可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点， 所以此方程有两个实数根，即函数有两个零点， 设为，所以，， 即， 另外发现，将代入， 可得， 所以也是函数的零点，说明，即.故选:A. 【典例2】（23-24高三下·四川泸州·二模）定义域为的函数满足，当时，函数，设函数，则方程的所有实数根之和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】因为定义域为的函数满足，即， 所以是以为周期的周期函数， 又，则， 所以关于对称，又， 又， 又当时，函数，所以，则， 令，即， 在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下所示： 由图可得与有个交点，交点横坐标分别为， 且与关于对称，与关于对称， 所以，， 所以方程的所有实数根之和为.故选：D    1．（23-24高三上·广东·阶段练习）设函数若关于的方程有四个实根，则的最小值为（    ） A． B．23 C． D．24 【答案】B 【解析】做出函数的图像如图所示， 由图可知，，由，可得或， 所以，又因为， 所以，故， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为.故选：B 2．（23-24高三下·陕西西安·一模）已知函数，若存在实数满足，则错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 故的图象如图所示， 考虑直线与图象的交点， 则，且，，故BD正确. 由可得即， 整理得到，故C正确. 又， 由可得，但，故， 故，故A错误.故选：A. 考点八、二分法及其应用 【典例1】（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）下列函数图象与轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知：二分法求零点要求函数连续不断且满足零点存在性定理，即成立， 对比选项可知：ACD均符合， 但选项B：恒成立，不满足零点存在性定理，故B错误.故选：B. 【典例2】（23-24高三上·安徽马鞍山·阶段练习）小胡同学用二分法求函数在内近似解的过程中，由计算可得，，，则小胡同学在下次应计算的函数值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，，则根应该落在区间内， 根据二分法的计算方法，下次应计算的函数值为区间中点函数值，即.故选：D. 1．（22-23高三下·广东梅州·二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， ， 所以函数在区间上有唯一零点， 所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是.故选：B. 2．（23-24高三上·四川遂宁·阶段练习）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】因为开区间的长度等于1，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半， 所以经过次操作后，区间长度变为， 令，解得，且， 故所需二分区间的次数最少为7.故选：C. 1．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知函数在内有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】是增函数，也是增函数，所以是上的增函数. 因为在内有零点， 所以，解得.故选：A 2．（22-23高三上·北京西城·阶段练习）函数，若方程有两个实根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，令，解得，此时有一个实数根， 由方程有两个实根可得当时，只有一个实数根， 可转化成 因为当时，单调递减，且，所以，故选：D 3．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）函数，，的零点分别为，，，则，，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，即， 令，即， 令，即，分别作出，，和的图象， 如图所示： 由图象可知：，所以.故选：. 4．（22-23高三上·北京朝阳·期中）已知函数，设，若存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，作出函数的图象，如图所示， 所以，当时，； 当时，，可函数的值域为， 设，若存在，使得成立，即， 只需，即对于，满足成立，即， 解得，所以实数的取值范围为.故选：A.    5．（23-24高三上·北京·开学考试）已知函数有三个不同的零点，则整数的取值可以是 ． 【答案】2，（大于等于2的整数即可，答案不唯一） 【解析】当时，，显然不满足题意； 当时，令可得， 令，则， 易知当时，；当或时，； 因此函数在上单调递增，在，上单调递减； 可得的极小值为，极大值为； 作出函数的图象如下图所示： 若函数有三个不同的零点，即与在同一坐标系内有三个不同的交点， 由图可知，解得； 又因为取整数，且，所以整数的取值可以是2. 故答案为：2（大于等于2的整数即可，答案不唯一） 6．（23-24高三上·北京·开学考试）函数只有一个零点，则a的一个值为 ；a的最大值为 ． 【答案】 0（答案不唯一） 1 【解析】当时，， 当，令，解得， 当，令，解得，因为，故舍去， 则时，只有一个零点0； 当时，令，解得，又因为，舍去； 令，解得或，又因为，所以， 若要取得这个零点，则，解得，又因为，所以； 显然当时，，（舍去），且无实数解，故时，无零点； 综上：，则. 故答案为：0（答案不唯一满足即可）；1. 7．（23-24高三上·北京大兴·期中）已知函数 ①当时，的值域为 ； ②若关于的方程恰有个正实数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】①当时，， 时，，函数单调递减，； 时，，函数单调递增，， 所以的值域为； ②函数 关于的方程恰有个正实数解， 则轴左边的函数图像翻折到右边，与轴右边的图像有两个交点， 分别作出函数的图像， 其中函数与的图像相交于点和 结合图像可知方程恰有个正实数解，为和，需要， 所以的取值范围为. 故答案为：；. 1．（23-24高三下·河南信阳·阶段练习）已知定义在R上的函数满足，当时，，函数，若函数在区间上恰有8个零点，则a的取值范围为（    ） A．（2，4） B．（2，5） C．（1，5） D．（1，4） 【答案】A 【解析】函数在区间上恰有8个零点， 则函数与函数在区间上有8个交点 由知，是R上周期为2的函数， 作函数与函数在区间上的图像如下， 由图像知，当时，图像有5个交点，故在上有3个交点即可，则； 故，解得；故选：A． 2．（23-24高三下·北京通州·二模）已知函数，，若关于x的方程恰有3个不同的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数， 其图象如下图，则 因为，， 令，解得：；令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为关于x的方程恰有3个不同的实数根， 即和共有3个不同的实数根， 由的图象知，只有一个解为， 所以有两个不同的解，且根中不含， 即与有两个不同的交点， 与的图象如下图所示： 所以.故选：A. 3．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）函数，若恰有6个不同实数解，正实数的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知，的实数解可转化为或的实数解， 即， 当时， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 如图所示： 所以时有最大值： 所以时，由图可知， 当时，因为，， 所以， 令，则 则有且，如图所示： 因为时，已有两个交点， 所以只需保证与及与有四个交点即可， 所以只需，解得．故选：D 4．（22-23高三上·北京·期中）已知函数.①若，则函数的零点有 个；②若存在实数，使得函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 2 【解析】空1：若，则函数， 令，则有： 当时，，解得或或（舍去）； 当时，，解得（舍去）； 故函数的零点为，共2个. 空2：对于函数，则， 令，则 ∴在上单调递增，在上单调递减，且， 令，则， 由题意可得：与有3个交点， 如图，在同一坐标系作出与的图象，则有： 当时，存在，使得与有3个交点，即成立； 当时，与至多有2个交点，即不成立； 当时，存在，使得与有3个交点，即成立； 当时，与至多有2个交点，即不成立； 故实数的取值范围是. 故答案为：2；. 5．（23-24高三下·北京西城·二模）已知函数，，其中． ①若函数无零点，则的一个取值为 ； ②若函数有4个零点，则 ． 【答案】 【解析】画函数的图象如下： ①函数无零点，即 无解， 即与的图象无交点，所以，可取； ②函数有4个零点，即 有4个根， 即与的图象有4个交点， 由关于对称，所以， 关于对称，所以， 所以. 故答案为：；. 6．（23-24高三下·北京丰台·二模）设函数给出下列四个结论：     ①当时，函数在上单调递减； ②若函数有且仅有两个零点，则； ③当时，若存在实数，使得，则的取值范围为； ④已知点，函数的图象上存在两点，关于坐标原点的对称点也在函数的图象上．若，则． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【解析】当时，时，，故在上不是单调递减，①错误； 对于②，当显然不成立，故， 当时，令，即，得，， 要使有且仅有两个零点，则，故，②正确， 对于③, 当时,， 此时在单调递减，在单调递增，如图：    若，由，故， 所以的取值范围为；③正确 对于④,由①③可知：时，显然不成立,故， 要使，关于坐标原点的对称点也在函数的图象上， 则只需要的图象与有两个不同的交点，如图：    故， ， 由对称可得， 化简可得，故， ，化简得 所以 由于均大于0，所以，， 因此 由于，为单调递增函数，且， 此时，因此，④正确， 故答案为：②③④ 7．（23-24高三下·北京海淀·一模）已知函数，给出下列四个结论： ①函数是奇函数； ②，且，关于x的方程恰有两个不相等的实数根； ③已知是曲线上任意一点，，则； ④设为曲线上一点，为曲线上一点.若，则. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】②③④ 【解析】对①：令，即有，即， 故函数不是奇函数，故①错误； 对②：，即， 当时，有，故是该方程的一个根； 当，时，由，故，结合定义域可得， 有，即， 令，，有或（负值舍去）， 则， 故必有一个大于的正根，即必有一个大于的正根； 当，时，由，故，结合定义域有， 有，即， 令，， 有或（正值舍去）， 令，即，则， 即，故在定义域内亦必有一根， 综上所述，，且，关于x的方程恰有两个不相等的实数根，故②正确； 对③：令，则有，， 令，，， 当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 又，， 故恒成立，即，故，故③正确； 对④：当时，由，，故， 此时，，则， 当时，由与关于轴对称， 不妨设，则有或， 当时，由， 有，故成立； 当时，即有， 由③知，点与点在圆上或圆外， 设点与点在圆上且位于x轴两侧，则，故； 综上所述，恒成立，故④正确. 故答案为：②③④. 1．（2024·全国·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意；故选：D. 2．（2020·天津·高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可， 令，即与的图象有个不同交点. 因为， 当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意； 当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意； 当时，如图3，当与相切时，联立方程得， 令得，解得（负值舍去），所以. 综上，的取值范围为.故选：D. 3．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【解析】对于①，当时，由，可得或，①正确； 对于②，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，存在，使得只有一个零点，②正确； 对于③，当直线过点时，，解得， 所以，当时，直线与曲线有两个交点， 若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点， 直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解， 因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误； 对于④，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，当时，函数有三个零点，④正确. 故答案为：①②④. 4．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则 ； ． 【答案】 1 【解析】∵，∴ ∴ 故答案为：1， 5．（2024·天津·高考真题）若函数恰有一个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】令，即， 由题可得， 当时，，有，则，不符合要求，舍去； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，或（正值舍去）， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 令，即， 故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得， 由的渐近线方程为， 即部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递增， 故有，解得，故符合要求； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，（负值舍去）或， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得， 部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递减， 故有，解得，故符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 6．（2024·全国·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 7．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】（1）当时，，即， 若时，，此时成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即且； 若方程有一根为，则，解得：且； 若时，，此时成立． （2）当时，， 即， 若时，，显然不成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即； 若方程有一根为，则，解得：； 若时，，显然不成立； 综上， 当时，零点为，； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，零点为． 所以，当函数有两个零点时，且． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 函数与方程 （8类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2022年北京卷，第13题，5分 函数零点与三角函数结合 2021年北京卷，第15题，5分 函数的零点与导数结合 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】近5年高考中只考查了2次，主要与其他知识结合考查，难度中等偏上． 【备考策略】 1.理解函数的零点与方程的解的联系； 2.理解函数零点存在定理，并能简单应用； 3.了解二分法求方程的近似解 【命题预测】在2025年的北京高考复习中应多加注意函数零点与其他知识的结合考查，侧重于考查学生对数学基础知识和基本思想方法的掌握． 知识讲解 知识点1 函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． 2、函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 【注意】函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标， 也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数． 知识点2 函数零点存在定理 1、函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2、两个重要推论 （1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点． （2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则． 知识点3 二分法 1、二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2、给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点； （3）计算，进一步确定零点所在的区间： ①若（此时），则就是函数的零点； ②若（此时），则令； ③若（此时），则令. （4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4）． 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点． 考点一、判断函数零点所在区间 【典例1】（22-23高三上·北京海淀·期末）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·北京·阶段练习）函数的一个零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高三上·北京·期中）设函数则其零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·北京延庆·期末）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 考点二、根据函数零点区间确定参数的范围 【典例1】（22-23高三上·北京·模拟预测）已知函数，若方程的实根在区间上，则k的最大值是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（22-23高三上·北京·阶段练习）如果关于的方程在区间内有解，写出的一个取值 . 1．（23-24高三下·重庆·阶段练习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点三、求函数的零点或零点个数 【典例1】（22-23高三下·北京西城·阶段练习）函数的零点个数是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·北京海淀·阶段练习）已知符号函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（22-23高三上·北京朝阳·期末）函数的零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（22-23高三下·北京大兴·开学考试）已知函数，则函数的零点个数为 . 考点四、根据函数零点个数求参数 【典例1】（23-24高三上·北京东城·阶段练习）已知函数，若关于的方程在内有唯一实根，则实数的最小值为（    ） A．-1 B． C． D．1 【典例2】（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）函数有两个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高三下·北京西城·一模）设，函数 若恰有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三上·北京通州·期中）已知函数设，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点五、复合函数零点个数判断 【典例1】（22-23高三上·北京·期中）函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】（23-24高三下·福建漳州·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 1．（23-24高三下·浙江金华·三模）若函数，则方程的实数根个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 考点六、根据复合函数零点个数求参数 【典例1】（23-24高三下·辽宁葫芦岛·二模）已知函数，，若关于x的方程有三个不同实数根，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知函数，若关于x的方程有7个不等的实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三下·黑龙江·模拟预测）已知函数，若关于x的方程的不同实数根的个数为6，则a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高三下·安徽合肥·三模）设，函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点七、函数零点求和与取值范围问题 【典例1】（23-24高三下·甘肃张掖·模拟预测）函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．-1 C． D．2 【典例2】（23-24高三下·四川泸州·二模）定义域为的函数满足，当时，函数，设函数，则方程的所有实数根之和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 1．（23-24高三上·广东·阶段练习）设函数若关于的方程有四个实根，则的最小值为（    ） A． B．23 C． D．24 2．（23-24高三下·陕西西安·一模）已知函数，若存在实数满足，则错误的是（    ） A． B． C． D． 考点八、二分法及其应用 【典例1】（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）下列函数图象与轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·安徽马鞍山·阶段练习）小胡同学用二分法求函数在内近似解的过程中，由计算可得，，，则小胡同学在下次应计算的函数值为（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高三下·广东梅州·二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·四川遂宁·阶段练习）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 1．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知函数在内有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三上·北京西城·阶段练习）函数，若方程有两个实根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）函数，，的零点分别为，，，则，，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 4．（22-23高三上·北京朝阳·期中）已知函数，设，若存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·北京·开学考试）已知函数有三个不同的零点，则整数的取值可以是 ． 6．（23-24高三上·北京·开学考试）函数只有一个零点，则a的一个值为 ；a的最大值为 ． 7．（23-24高三上·北京大兴·期中）已知函数 ①当时，的值域为 ； ②若关于的方程恰有个正实数解，则的取值范围是 ． 1．（23-24高三下·河南信阳·阶段练习）已知定义在R上的函数满足，当时，，函数，若函数在区间上恰有8个零点，则a的取值范围为（    ） A．（2，4） B．（2，5） C．（1，5） D．（1，4） 2．（23-24高三下·北京通州·二模）已知函数，，若关于x的方程恰有3个不同的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）函数，若恰有6个不同实数解，正实数的范围为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高三上·北京·期中）已知函数.①若，则函数的零点有 个；②若存在实数，使得函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 . 5．（23-24高三下·北京西城·二模）已知函数，，其中． ①若函数无零点，则的一个取值为 ； ②若函数有4个零点，则 ． 6．（23-24高三下·北京丰台·二模）设函数给出下列四个结论： ①当时，函数在上单调递减； ②若函数有且仅有两个零点，则； ③当时，若存在实数，使得，则的取值范围为； ④已知点，函数的图象上存在两点，关于坐标原点的对称点也在函数的图象上．若，则． 其中所有正确结论的序号是 ． 7．（23-24高三下·北京海淀·一模）已知函数，给出下列四个结论： ①函数是奇函数； ②，且，关于x的方程恰有两个不相等的实数根； ③已知是曲线上任意一点，，则； ④设为曲线上一点，为曲线上一点.若，则. 其中所有正确结论的序号是 . 1．（2024·全国·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（2020·天津·高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是 ． 4．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则 ； ． 5．（2024·天津·高考真题）若函数恰有一个零点，则的取值范围为 ． 6．（2024·全国·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 7．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$