精品解析：广东省梅州市梅雁中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

月考试卷数学 一、单选题 1. 随机变量服从二项分布：，则它的期望（ ） A. 0.5 B. 2.5 C. 5 D. 10 2. 已知某中学高二年级学生某次考试的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间内的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 3. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 4. 设随机变量X的分布列为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 甲乙两人进行乒乓球比赛，每人各局取胜的概率均为，现采用五局三胜制，胜3局者赢得全部奖金800元.若前两局比赛均为甲胜，此时因某种原因比赛中止，为使奖金分配合理，则乙应得奖金（　　）元. A. 700 B. 600 C. 200 D. 100 6. 的展开式中，的系数为（ ） A. 60 B. 120 C. D. 7. 甲､乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为和，在目标被击中情况下，甲､乙同时击中目标的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若函数有5个不同零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 在展开式中，下列命题正确的是（ ） A. 二项式系数之和为64 B. 所有项系数之和为 C. 常数项为60 D. 第3项的二项式系数最大 10. 下列关于概率统计的说法中正确的是（ ） A. 某人在10次答题中，答对题数为，则答对7题的概率最大 B 设随机变量服从正态分布，若，则 C. 已知回归直线方程为，若样本中心为，则 D. 两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱 11. 某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登录，且每次只能随机选择一个开启．已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记玩家第次抽盲盒，抽中奖品的概率为，则（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 当时，越大，越小 三、填空题 12. 已知的取值如下表： 1 2 3 4 32 48 72 88 根据表中的数据求得关于的回归直线方程为，则表中第2个记录数据的残差__________. 13. 已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 0.6 若，则______；当______时，最大． 14. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围为__________. 四、解答题 15. 自2023年12月以来，从各地前往哈尔滨赏冰乐雪的游客络绎不绝，东北冰雪游人气“爆棚”．某校体育组为了解学生喜欢冰雪运动是否与性别有关，随机抽取100名学生进行了一次调查，得到下表． 女 男 合计 不喜欢冰雪运动 15 喜欢冰雪运动 75 合计 25 （1）请补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为学生喜欢冰雪运动与性别有关？ （2）以频率估计概率，以样本估计总体，若从该市学生中随机抽取3人进行深度调研，记3人中喜欢冰雪运动人数为，求的分布列和数学期望． 参考公式及数据：． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求曲线的单调增区间； （3）若函数在区间上为单调递增函数，求实数的取值范围； 17. 和时代，我们的听觉得以延伸，掏出手机拨通电话，地球另一头的声音近在咫尺．到了时代，我们的视觉也开始同步延伸，视频通话随时随地，一个手机像一个小小窗口，面对面轻声闲聊，天涯若比邻.时代，我们的思想和观念得以延伸，随时的灵感随时传上网，随手的视频随手拍和发，全球同步可读可转可评，个人的思想和观点能够在全球的信息网络中延伸、保存、碰撞、交流，微博、微信、抖音等等这些我们生活中极其常见的社交网络正是延伸与交流之所．现在，的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革．某科技创新公司基于领先技术的支持，业务收入在短期内逐月攀升，该创新公司在月份至月份的业务收入（单位：百万元）关于月份的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图． （1）从前个月的收入中随机抽取个，求恰有个月的收入超过百万元的概率； （2）根据散点图判断：与（均为常数）哪一个更适宜作为业务收入关于月份的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （3）根据（2）的结果及表中的数据，求出关于的回归方程．（结果保留小数点后两位） 参考数据： 其中，设，． 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 18. 假设某同学每次投篮命中的概率均为． （1）若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率； （2）该同学参加投篮训练，训练计划如下：先投个球，若这个球都投进，则训练结束，否则额外再投个．试问为何值时，该同学投篮次数的期望值最大？ 19. 设函数，. （1）求函数的单调区间； （2）证明：当时，的图象与的图象有2条公切线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 月考试卷数学 一、单选题 1. 随机变量服从二项分布：，则它的期望（ ） A. 0.5 B. 2.5 C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项分布的期望公式直接计算即可得解. 【详解】因为随机变量服从二项分布：， 则它的期望. 故选：C. 2. 已知某中学高二年级学生某次考试的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间内的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】A 【解析】 【分析】由正态分布的密度曲线的对称性可得. 【详解】因为，所以．又，所以．由正态分布的密度曲线的对称性可得． 故选：A. 3. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】求导可得，令求得，进而即可求出. 【详解】由，得， 则，解得， 所以，得. 故选：D 4. 设随机变量X的分布列为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分布列中所有概率和为1求解． 【详解】由题意，． 故选：A． 5. 甲乙两人进行乒乓球比赛，每人各局取胜的概率均为，现采用五局三胜制，胜3局者赢得全部奖金800元.若前两局比赛均为甲胜，此时因某种原因比赛中止，为使奖金分配合理，则乙应得奖金（　　）元. A. 700 B. 600 C. 200 D. 100 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，先计算得到甲应得奖金的期望，从而得到乙应得奖金. 【详解】设甲应得奖金为X，X的可能取值为800，0， 甲赢得比赛有3中情况： ①胜第3局，甲赢的概率为， ②输第3局，胜第4局，甲赢的概率为， ③输第3，4局，胜第5局，甲赢的概率为， ∴甲赢的概率为， ∴， 则乙应得奖金， 故选：D. 6. 的展开式中，的系数为（ ） A. 60 B. 120 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项展开式公式求解即可. 【详解】由题意中含的项为，则的系数为60， 故选：A 7. 甲､乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为和，在目标被击中的情况下，甲､乙同时击中目标的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，记甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，目标被击中为事件，由相互独立事件的概率公式，计算可得目标被击中的概率，再由条件概率公式计算可得. 【详解】据题意，记甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，目标被击中为事件， 甲､乙同时击中目标为事件，则，， 所以， ， 则在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为. 故选：C. 8. 已知函数若函数有5个不同的零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得，得到函数的单调性和极值，作出函数的图象，根据题意，转化为和共有5个不相等实数根，结合图象，即可求解. 【详解】当时，，此时， 则时，单调递减；时，单调递增， 所以，当是的极小值点，作出如图所示的函数的图象， 函数有5个不同的零点，则方程， 即有5个不相等实数根， 也即是和共有5个不相等实数根， 其中有唯一实数根， 只需有4个且均不为-2的不相等实数根，由图可知， 即实数的取值范围为. 故选：C. 二、多选题 9. 在的展开式中，下列命题正确的是（ ） A. 二项式系数之和为64 B. 所有项系数之和为 C. 常数项为60 D. 第3项的二项式系数最大 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据二项式系数之和为分析判断；对于B：令，可得所有项系数之和；对于C：结合二项展开式的通项分析求解；对于D：根据二项式系数的最值分析求解. 【详解】对于选项A：因为，可知二项式系数之和为，故A正确； 对于选项B：令，可得所有项系数之和为，故B错误； 对于选项C：因为展开式的通项为， 令，可得，所以常数项为，故C正确； 对于选项D：因为，可知二项式系数最大值为，为第4项，故D错误； 故选：AC. 10. 下列关于概率统计的说法中正确的是（ ） A. 某人在10次答题中，答对题数为，则答对7题的概率最大 B. 设随机变量服从正态分布，若，则 C. 已知回归直线方程为，若样本中心为，则 D. 两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，可利用不等式法求解；对于B，根据正态分布曲线的对称性即可验算；对于C，将样本中心坐标代入回归方程即可验算；对于D，由相关系数的意义即可判断. 【详解】对于，故， 令，解得，故，故A正确； 对于，故错误； 对于，回归直线必过样本中心，可得，解得，故C正确； 对于，两个变量的相关系数为越小，与之间的相关性越弱，故D错误. 故选：AC. 11. 某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登录，且每次只能随机选择一个开启．已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记玩家第次抽盲盒，抽中奖品的概率为，则（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 当时，越大，越小 【答案】ABC 【解析】 【分析】记玩家第次抽盲盒并抽中奖品为事件，依题意，，，，利用全概率公式可判断A选项；利用全概率公式推出，结合等比数列的定义可判断B选项；求出数列的通项公式，可判断C选项；利用数列的单调性可判断D选项. 【详解】记玩家第次抽盲盒并抽中奖品为事件， 依题意，，，，， 对于A选项，，A对； 对于B选项，， 所以，，所以，， 又因为，则， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列，B对； 对于C选项，由B选项可知，，则， 当为奇数时，， 当为偶数时，，则随着的增大而减小，所以，. 综上所述，对任意的，，C对； 对于D选项，因为，则数列为摆动数列，D错. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法： （1）当出现时，构造等差数列； （2）当出现时，构造等比数列； （3）当出现时，用累加法求解； （4）当出现时，用累乘法求解. 三、填空题 12. 已知的取值如下表： 1 2 3 4 32 48 72 88 根据表中的数据求得关于的回归直线方程为，则表中第2个记录数据的残差__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用回归方程求出时的预测值，再求出残差作答. 【详解】关于的回归直线方程为，当时，， 所以表中第2个记录数据的残差. 故答案为： 13. 已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 0.6 若，则______；当______时，最大． 【答案】 ①. 0.1## ②. 0.2## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分布列的性质，期望公式计算得值；利用方差与期望的关系建立关于的函数，探讨函数的最大值即可. 【详解】由，得，因此； 依题意，，， 因此， 则当时，取得最大值. 故答案为：0.1；0.2 14. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将导数方程参变分离，转化为与由两个交点的问题，利用导数讨论的单调性，观察变化趋势，作出草图，由图象即可得解. 【详解】的定义域为， ， 令，得. 令，则. 令，则，即，即. 当时，单调递增；当时，单调递减. ， 又当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0， 作出的草图如图， 由图可知，当时，方程有两个正根，从而函数有两个极值点 【点睛】思路点睛：关于函数零点个数求参数问题，通常参变分离，转化为两个函数图象相交问题，借助导数研究函数单调性，作出草图即可得解，其中需要注意观察函数的变化趋势. 四、解答题 15. 自2023年12月以来，从各地前往哈尔滨赏冰乐雪的游客络绎不绝，东北冰雪游人气“爆棚”．某校体育组为了解学生喜欢冰雪运动是否与性别有关，随机抽取100名学生进行了一次调查，得到下表． 女 男 合计 不喜欢冰雪运动 15 喜欢冰雪运动 75 合计 25 （1）请补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为学生喜欢冰雪运动与性别有关？ （2）以频率估计概率，以样本估计总体，若从该市学生中随机抽取3人进行深度调研，记3人中喜欢冰雪运动的人数为，求的分布列和数学期望． 参考公式及数据：． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）列联表见解析；能 （2）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）根据列联表数据代入公式对照参考数据即可得出结论； （2）先求该市学生喜欢冰雪运动的概率和的所有可能取值，该市学生喜欢冰雪运动的概率为，的所有可能取值为0，1，2，3，然后根据二项分布求得概率，列分布列求期望即可. 【小问1详解】 由题将列联表补全如下： 女 男 合计 不喜欢冰雪运动 10 15 25 喜欢冰雪运动 15 60 75 合计 25 75 100 零假设：学生喜欢冰雪运动与性别没有关系． 根据列联表中数据，可以求得： ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生喜欢冰雪运动与性别有关，此推断错误的概率不大于0.05． 【小问2详解】 由题知，该市学生喜欢冰雪运动的概率为， 的所有可能取值为0，1，2，3， 所以， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以， 故期望. 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求曲线的单调增区间； （3）若函数在区间上为单调递增函数，求实数的取值范围； 【答案】（1）； （2）单调递增区间是； （3）. 【解析】 【分析】（1）求导可得斜率，即可由点斜式求解直线方程， （2）求导，利用导数的正负即可求解， （3）根据单调性与导数的关系，将问题转化为在恒成立，即可求解最值得解. 【小问1详解】 求导，得， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 令， 求导，得，由，得， 所以单调递增区间是. 【小问3详解】 设函数， 求导，得， 因为函数在区间上为单调递增函数， 所以在上恒成立， 即恒成立. 又因为函数在区间上单调递减， 所以， 所以. 17. 和时代，我们的听觉得以延伸，掏出手机拨通电话，地球另一头的声音近在咫尺．到了时代，我们的视觉也开始同步延伸，视频通话随时随地，一个手机像一个小小窗口，面对面轻声闲聊，天涯若比邻.时代，我们的思想和观念得以延伸，随时的灵感随时传上网，随手的视频随手拍和发，全球同步可读可转可评，个人的思想和观点能够在全球的信息网络中延伸、保存、碰撞、交流，微博、微信、抖音等等这些我们生活中极其常见的社交网络正是延伸与交流之所．现在，的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革．某科技创新公司基于领先技术的支持，业务收入在短期内逐月攀升，该创新公司在月份至月份的业务收入（单位：百万元）关于月份的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图． （1）从前个月的收入中随机抽取个，求恰有个月的收入超过百万元的概率； （2）根据散点图判断：与（均为常数）哪一个更适宜作为业务收入关于月份的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （3）根据（2）的结果及表中的数据，求出关于的回归方程．（结果保留小数点后两位） 参考数据： 其中，设，． 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】（1） （2）选择更适宜 （3） 【解析】 【分析】（1）由表格数据可确定月收入超过百万元的有个月，结合排列数和古典概型概率公式可求得结果； （2）由散点图可确定回归模型； （3）化简回归方程为，采用最小二乘估计可求得，由此可得回归方程. 【小问1详解】 由表格数据可知：前个月的月收入超过百万元的有个月， 所求概率. 【小问2详解】 由散点图可知：选择更适宜. 【小问3详解】 由得：，即， ，， ，关于的回归方程为：. 18. 假设某同学每次投篮命中的概率均为． （1）若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率； （2）该同学参加投篮训练，训练计划如下：先投个球，若这个球都投进，则训练结束，否则额外再投个．试问为何值时，该同学投篮次数的期望值最大？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用独立重复试验的概率公式计算即得． （2）该同学投篮的次数为，求出的可能值及对应的概率，求出期望的函数关系，作差结合数列单调性推理即得． 【小问1详解】 依题意，该同学投篮4次，恰好投中2次的概率． 【小问2详解】 设该同学投篮的次数为，则的可能值为，， 于是， 数学期望， 令， 则， ， 显然数列是递减的， 当时，，， 当时，，， 即有，因此最大， 所以当时，该同学投篮次数的期望值最大． 19. 设函数，. （1）求函数的单调区间； （2）证明：当时，的图象与的图象有2条公切线. 【答案】（1）单调增区间为 ，单调减区间为. （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，再令求根，判断导数的正负即可； （2）分别设出切点，表示出切线，根据题意，切线的斜率和纵截距分别相等列出方程组，化简后得出，转化为的图象与直线有两个不同的交点，研究的值域即可. 【小问1详解】 由题意知，定义域为. ， 因，令得，， 当，，在单调递增； 当，，在单调递减； 故的单调增区间为 ，单调减区间为. 【小问2详解】 ，. 设分别是的图象与的图象上的点, 则函数在处的切线为，即； 函数在处的切线为，即. 要使的图象与的图象有2条公切线，需满足有两组解， 整理后得， 令，则的图象与直线有两个不同的交点. ， 令，则， 故在上单调递减，即在上单调递减. 又， 所以存在，使，即. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，. 又因为单调递增，所以，即. 当无限趋近于0时，趋近于；当无限趋近于时，趋近于. 故当时，的图象与的图象有2条公切线. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是把公切线问题转化为函数图象的交点个数问题，利用隐零点求出函数的最大值，即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$