精品解析：贵州省黔西南州金成实验学校2023-2024学年高一下学期第三次质量检测数学试题

秘密★启用前 2023—2024学年度第二学期0529第三次质量检测试题 高一年级数学 一、单选题（共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. R 2. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 若长方体的长、宽、高分别为，则长方体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，若，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知正方体的棱长为，点为线段上一点，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 4 7. 在正三棱锥中，顶点在底面的射影为点，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，分别为的中点，则与平面垂直的直线可以是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 已知平面向量，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量的模为 D. 与的夹角为钝角 10. 在下列底面为平行四边形的四棱锥中，是四棱锥的顶点或棱的中点，则平面的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角的大小为，则（　　） A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 的面积为 三、填空题（共15分） 12. 函数 的图象必过定点__． 13. 在正方体中，与平面所成角的大小为______. 14. 已知为直角三角形，且，，点是平面外一点，若，且平面，为垂足，则______. 四、解答题（共77分） 15. 如图，四边形和四边形都是梯形，，且分别为的中点. （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：四点共面. 16. 如图，在正方体中，E是的中点. （1）求证：平面； （2）设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是等边三角形，且 （1）求证：平面平面 （2）求点到平面的距离 18. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求的值； （2）若，求的值. 19. 如图，将边长为的正方形沿对角线折起使得点到点的位置，连接，为的中点. （1）若平面平面，求的长度. （2）不考虑点与点重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前 2023—2024学年度第二学期0529第三次质量检测试题 高一年级数学 一、单选题（共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. R 【答案】C 【解析】 【分析】分别找出集合A和B中的满足的元素即可确定. 【详解】．所以 故选：C. 2. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线得，则. 【详解】，，显然，， 故选：A. 3. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则化简复数，再根据复数模的计算公式计算即可. 【详解】由题意可知，复数满足， 则可转化为， 所以. 故选：A. 4. 若长方体的长、宽、高分别为，则长方体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得长方体对角线长得外接球直径，再计算球的表面积即可． 【详解】由已知得长方体的对角线长为，所以外接球半径为， 球的表面积为， 故选：A． 5. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，若，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】借助正方体模型，通过空间想象即可判断. 【详解】若，则，又，则. 反之，如图，在正方体中， 记平面为，平面为，分别为直线， 则满足，，但不平行， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 6. 已知正方体的棱长为，点为线段上一点，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】在直角三角形中，过作垂直于于，证明平面，解直角三角形求解． 【详解】连接，过作于，如图， 设， 因为正方体的棱长为1，所以，， 因为平面，，所以平面， 所以点到平面的距离为的长度， 因为， 所以， 故选：B 7. 在正三棱锥中，顶点在底面的射影为点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正三棱锥的性质，顶点在底面的射影是底面三角形的中心，然后用勾股定理可解得高. 【详解】正三棱锥中，点在平面的射影是点，即为等边的中心， 已知，可得， 由底面，底面，可得， 则由勾股定理可得高. 故选：D. 8. 如图，在正方体中，分别为的中点，则与平面垂直的直线可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出与平面平行的平面，证明面即可. 【详解】连接，如下图所示： 因为分别为的中点，故//，//， 又面面，故//面； 又面面，故//面； 又面，故面//面； 则垂直于平面的直线一定垂直于面； 显然面面，故， 又，面， 故面，又面，故； 同理可得，又面， 故面，也即面； 若其它选项的直线垂直于平面，则要与平行，显然都不平行. 故选：D. 二、多选题（共18分） 9. 已知平面向量，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量的模为 D. 与的夹角为钝角 【答案】AC 【解析】 【分析】由模长的计算可得A正确；由向量垂直的坐标表示可得B错误；由投影向量的模的计算可得C正确；由向量的夹角公式可得D错误. 【详解】A：由题意可得，故A正确； B：因为， 所以，故B错误； C：在上的投影向量的模为，故C正确； D：与的夹角的余弦为，所以夹角不是钝角，故D错误； 故选：AC. 10. 在下列底面为平行四边形的四棱锥中，是四棱锥的顶点或棱的中点，则平面的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用线面平行的性质定理结合平面内过一点有且仅有一条直线和已知直线平行可判断A，D；根据线面平行的判定定理可判断B，C； 【详解】对于A，设为的中点，底面为平行四边形，连接， 设交于点，连接， 则， 又, 故，即四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 平面平面， 假设平面，则， 即在平面内过点有两条直线和都平行， 这是不可能的，因此与平面不平行，故A错误； 对于B，设为的中点，底面为平行四边形，连接， 则， 又，, 故，即四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 故平面，故B正确； 对于C，设为的中点，底面为平行四边形，连接， 则， 又，， 故，即四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 故平面，故C正确； 对于D，设底面为平行四边形， 连接交于点，交于点， 则为的中点，连接， 由于为的中点，故； 又平面，平面，平面平面， 假设平面，则， 即在平面内过点有两条直线和都平行，这是不可能的， 因此与平面不平行，故D错误； 故选：BC. 11. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角的大小为，则（　　） A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 的面积为 【答案】AB 【解析】 【分析】由为圆锥的轴截面，求出，得圆锥的体积可判断A；求出圆锥的侧面积可判断B；取AC的中点D，利用二面角的大小结合勾股定理求出可判断C；求出的面积可判断D. 【详解】依题意，，，则，，得，. A选项，圆锥的体积为，故A正确； B选项，圆锥的侧面积为，故B正确； C选项，如图，设D是AC的中点，连接OD，PD，则，， 所以是二面角的平面角，则，所以， 故，则，故C错误； D选项，，所以，故D错误． 故选：AB. 三、填空题（共15分） 12. 函数 的图象必过定点__． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用对数函数的性质求出所经过的定点． 【详解】解：函数， 则：令，解得， 当时． 故函数的图象必过定点为． 故答案为： ． 13. 在正方体中，与平面所成角的大小为______. 【答案】 【解析】 【分析】找到即为与平面所成角，求出大小. 【详解】由于⊥平面，故即为与平面所成角， 因为，所以， 故与平面所成角为. 故答案为： 14. 已知为直角三角形，且，，点是平面外一点，若，且平面，为垂足，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据线面垂直和等腰三角形三线合一的性质得到点为中点，然后根据直角三角形的性质求即可. 【详解】因为平面，平面，所以， 因为，所以点为中点， 因为，，所以. 故答案为：4. 四、解答题（共77分） 15. 如图，四边形和四边形都是梯形，，且分别为的中点. （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：四点共面. 【答案】（1） 因为分别为的中点，则，， 又因为，，则，， 所以四边形是平行四边形. （2） 因为，，为中点，则，， 可知四边形为平行四边形，则，， 由（1）知：，，可得，， 所以四边形为平行四边形，则， 即，所以四点共面. 【解析】 【分析】（1）结合三角形中位线性质可证得且，由此可得结论； （2）由，可证得四边形为平行四边形，结合（1）的结论可得，，由此可知四边形为平行四边形，得到，由此可得四点共面. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如图，在正方体中，E是的中点. （1）求证：平面； （2）设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 【答案】（1） 因为在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证，再用直线与平面平行的判定定理证明平面； （2）利用等体积法，求三棱锥的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为正方体的棱长是1，E是的中点，所以， 三角形ABC的面积， 三棱锥的体积. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是等边三角形，且 （1）求证：平面平面 （2）求点到平面的距离 【答案】（1） 因为底面是正方形，侧面是等边三角形，且， 则面平面 又平面，则平面平面 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直判定定理进行证明； （2）利用等体积变换求得点到平面的距离； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，是等边三角形， 由（1）知平面平面，平面平面，则平面 由 18. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理结合条件即可得到结果； （2）根据题意，可得，然后再由正弦定理即可得到结果. 【小问1详解】 在中，. 由余弦定理， . 【小问2详解】 由（1）知，. ， 又 19. 如图，将边长为的正方形沿对角线折起使得点到点的位置，连接，为的中点. （1）若平面平面，求的长度. （2）不考虑点与点重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理、性质定理可得，再由正方形的边长可得答案； （2）取的中点，可得为二面角的平面角，利用余弦定理可得答案. 【小问1详解】 连接，则， ∵平面平面，平面平面， 平面，∴平面，又平面， ∴，又正方形的边长为， ∴，； 【小问2详解】 取的中点，连接， ∵， ∴，， 为二面角的平面角， ∴， 由题可知与全等， 在中，，， ， ∴， ∴， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $