第16讲 相似三角形的性质 （1个知识点+6种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第16讲 相似三角形的性质 （1个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 【例1】（2023秋•威宁县期末）如果两个三角形相似，其中一个三角形两个内角分别是、，那么另一个三角形的最大角为　　度． 【变式1】（2024春•宁阳县期末）如图，在钝角中，，，动点从点出发到点止．动点从点出发到点止．点运动的速度为，点运动的速度为．如果两点同时运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是　　 A．或 B． C． D．或 【变式2】（2024•渝中区模拟）两个相似三角形对应边上的高之比为，则它们的面积比为　　 A． B． C． D． 【变式3】（2024春•扬州月考）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形称为格点三角形，在如图所示的的方格纸中，若格点三角形和格点三角形相似（相似比不为，则点的坐标是 　　． 【变式4】（2024•响水县二模）如图，在正方形中，点是边上的任一点，连接并将线段绕点顺时针旋转得到线段，在边上取点使，连接、． （1）求证：； （2）线段与交于点，连接，若，试证明． 【变式5】（2023秋•和县期末）定义：两个顶角相等且顶角顶点重合的等腰三角形组合称为“相似等腰组”．如图1，等腰和等腰即为“相似等腰组”． （1）如图2，将上述“相似等腰组”中的绕看点逆时针旋转一定角度，判断和是否全等； （2）如图3，等腰和等腰是“相似等腰组”，且，和相交于点，判断和的位置及大小关系． 经典题型汇编 题型一、相似三角形的判定与性质综合 1．（23-24九年级上·河北保定·期末）若的每条边长增加各自的得，则的度数与其对应角的度数相比（　　） A．增加了 B．减少了 C．增加了 D．没有改变 2．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，则的面积与的面积之比为 3．（23-24九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在正方形中，为边的中点，点在边上，且，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，则的长是______． 题型二、利用相似三角形的性质求解 4．（23-24九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如果两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形的周长之比为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，长度如图标注，则的长为 ． 6．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，D，E 分别是 的 ，边上的点，，已知 ，，求的长． 题型三、证明三角形的对应线段成比例 7．（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，则下列式子中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 8．（20-21九年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝ ． 9．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，边长为1的小正方形组成了网格，点A、B均是格点，请你仅用无刻度的直尺画出满足下列条件的点P，并在图中标出点P．        (1)图①中，点P为的中点； (2)图②中，点P在线段上且． 题型四、相似三角形——动点问题 10．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，在锐角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为，点E运动的速度为，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为（    ）    A．s或3s B．3s C．s D．s或3s 11．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在钝角中，，，点D从A点出发沿以的速度向B点移动，点E从C点出发沿以的速度向A点移动，如果两点同时移动，经过 秒时，与相似． 12．（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、． (1)当动点运动时间 秒时，与相似． (2)在运动过程中，当时，为何值？请说明理由． 题型五、相似三角形应用举例 13．（2024·江西新余·模拟预测）如图①是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图②所示，此时液面 ． 14．（2024·广东深圳·三模）如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔O的距离为（    ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 15．（2024·陕西西安·模拟预测）周末，小英与小淇同学逛公园时注意到一棵树，她们打算利用所学知识测量树高，为此找来了平面镜、直木棍、皮尺等工具．如图，小英先将平面镜（厚度不计）平放在水平地面的点D处，小淇站在点B处，通过平面镜从点A观察到树的顶端点M，随后小英在点D处竖直放置一根木棍，小淇从点A观察到术棍顶端点C与树的底端点N在同一直线上．已知，图中所有点均在同一平面内，求树的高．（光的反射角等于入射角） 题型六、相似三角形的综合问题 16．（22-23九年级上·四川成都·期中）如图，与是位似图形，相似比为1：3，已知，则AD的长为（    ） A．4 B．6 C．9 D．15 17．（2021九年级·全国·专题练习）如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝2，则AB的长为 ． 18．（21-22九年级上·四川成都·阶段练习）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG． （1）求证：四边形EFDG是菱形； （2）求证EG2＝GF•AF； （3）若AG＝3，EG＝，求BE的长． 试题练习 一、单选题 1．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比是（    ） A．2：3 B．3：2 C．2：5 D．5：2 2．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，与是位似图形，位似中心为，，下列结论正确的有（    ） ①与的相似比为；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24九年级上·河北张家口·阶段练习）如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．（22-23九年级上·四川宜宾·期末）数学实践课上，小明在测量教学楼高度时，先测出教学楼落在地面上的影长为米（如图），然后在处树立一根高米的标杆，测得标杆的影长为4米，则楼高为（   ） A．10米 B．12米 C．15米 D．25米 5．（23-24九年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，，点，分别在边，上，且，若以，，为顶点的三角形与相似，则的长度为（       ） A．3 B． C．或4 D．4或 6．（2024·陕西西安·模拟预测）一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时），相关数据（单位：）如图所示，从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（    ） A． B． C． D． 7．（2024·重庆·三模）如图，在平面直角坐标系中，，其中点A的坐标为，点C的坐标为，则与的面积比是（　　） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·山东聊城·开学考试）如图，已知点D为中边的中点，，直线交于点G，交的延长线于点F，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（19-20九年级上·广东广州·期末）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则线段CD的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 10．（2024·陕西渭南·二模）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F．若四边形的面积为6，则的面积为（    ） A．12 B．18 C．20 D．24 二、填空题 11．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，若点，，，，，，，，都是方格纸中的格点，为使，则点应是，，，四点中的 点．    12．（23-24九年级上·广西贵港·期中）已知与相似且对应中线的比为，的周长为，则的周长为 ． 13．（23-24九年级上·山东聊城·开学考试）如图，在中，，则 ． 14．（23-24九年级上·四川乐山·期中）如图，在中，点D是的中点，点G为的重心，，则 ． 15．（20-21九年级上·北京通州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 16．（23-24九年级上·山东聊城·开学考试）如图所示，已知D，E分别是的，边上的点，，且，那么 ． 17．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在钝角三角形中，，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是 ．    18．（2021九年级·山东青岛·专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝3：5，点E是对角线AC上一动点（不与点A，C重合），将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点A，B的对应点A1，B1分别落在直线AD与BC上，当△A1CE为直角三角形时，AN：DN的值为 ．      三、解答题 19．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O． (1)求证：； (2)若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 20．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画格点三角形： (1)在图1中画，使得，且相似比为； (2)在图2中画，使得，且面积比为． 21．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，平分的外角，与的延长线交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．（23-24九年级上·山东聊城·开学考试）已知：如图在中，，高，它的内接矩形（点E在边上，点H、G在边上，点F在边上），与边之比为，求的长． 23．（23-24九年级上·山东泰安·开学考试）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，他的影长是2米． (1)图中与是否相似？为什么？ (2)求信号发射塔的高度． 24．（22-23九年级上·辽宁大连·期末）如图，直线分别于x轴，y轴相交于点A、B，将绕点A顺时针旋转，使落在上，得到，将沿射线平移，当点D到达x轴时运动停止．设平移的距离为m．平移后的图形在x轴下方部分的面积是S． (1)点A的坐标__________，点B的坐标为_______ (2)求S关于m的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． 25．（22-23九年级上·四川成都·期末）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和点，与y轴，x轴分别交于C，D两点， (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点E为反比例函数（x>0）上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，垂足为点F，当时，求点E坐标． 26．（2024·吉林长春·三模）如图，在中，，，，点为中点，动点P从点A出发，沿边以每秒5个单位长度的速度向终点运动，连结，将线段绕点逆时针旋转得线段，连结．设点运动的时间为秒． (1)用含的代数式表示点到的距离为________； (2)当点落在内部（不包括边界）时，求的取值范围； (3)当与的一边平行时，求线段的长度； (4)当经过点E与的一个顶点的直线平分面积时，直接写出的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 相似三角形的性质 （1个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 【例1】（2023秋•威宁县期末）如果两个三角形相似，其中一个三角形两个内角分别是、，那么另一个三角形的最大角为　80　度． 【分析】可根据三角形内角和定理，求出其中一个三角形的第三角的度数，然后找出其中最大角的度数．根据相似三角形的对应角相等，即可求出另一个三角形的最大角的度数． 【解答】解：根据三角形的内角和是， 求得其中一个三角形的第三个角是， 其中角最大， 根据相似三角形的性质，得：另一个三角形的最大角为． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理以及相似三角形的性质． 【变式1】（2024春•宁阳县期末）如图，在钝角中，，，动点从点出发到点止．动点从点出发到点止．点运动的速度为，点运动的速度为．如果两点同时运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是　　 A．或 B． C． D．或 【分析】如果以点、、为顶点的三角形与相似，由于与对应，那么分两种情况：①与对应；②与对应．根据相似三角形的性质分别作答． 【解答】解：如果两点同时运动，设运动秒时，以点、、为顶点的三角形与相似， 则，，． ①当与对应时，有． ， ， ； ②当与对应时，有． ， ， ． 所以当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或4.8秒． 故选：． 【点评】本题考查了方程的应用，相似三角形的对应边成比例的性质．本题分析出以点、、为顶点的三角形与相似，有两种情况是解决问题的关键． 【变式2】（2024•渝中区模拟）两个相似三角形对应边上的高之比为，则它们的面积比为　　 A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，面积比是相似比的平方求解即可． 【解答】解：两个相似三角形对应高之比为， 它们的相似比为， 面积比． 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形性质，（1）相似三角形周长的比等于相似比．（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 【变式3】（2024春•扬州月考）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形称为格点三角形，在如图所示的的方格纸中，若格点三角形和格点三角形相似（相似比不为，则点的坐标是 　或　． 【分析】要求与相似，因为相似比不为1，知的边不能与的边对应，则与对应或者与对应并且此时或者是斜边，分两种情况分析即可． 【解答】解：和相似，并且，，， 和相似应分两种情况： ①当时， ，即， 解得，， 分别以，为圆心，5，为半径作圆，两圆的交点的坐标是； 同理当时，圆心坐标是． 故答案为：或． 【点评】本题考查了相似三角形的性质的运用，坐标与图形性质，进行分类讨论是解题的关键． 【变式4】（2024•响水县二模）如图，在正方形中，点是边上的任一点，连接并将线段绕点顺时针旋转得到线段，在边上取点使，连接、． （1）求证：； （2）线段与交于点，连接，若，试证明． 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，然后利用“边角边”证明和全等，然后即可证得结论； （2）根据同角的余角相等求出，然后求出和相似，根据相似三角形对应边成比例可得，再求出，根据相似三角形对应边成比例可得，从而得到，即可得解． 【解答】解：（1）证明：在正方形中，，， 在和中， ， ， ， 将线段绕顺时针旋转得到线段， ， ； （2）解：，， ， 又， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，求出两个三角形全等是解题的关键． 【变式5】（2023秋•和县期末）定义：两个顶角相等且顶角顶点重合的等腰三角形组合称为“相似等腰组”．如图1，等腰和等腰即为“相似等腰组”． （1）如图2，将上述“相似等腰组”中的绕看点逆时针旋转一定角度，判断和是否全等； （2）如图3，等腰和等腰是“相似等腰组”，且，和相交于点，判断和的位置及大小关系． 【分析】（1）利用“相似等腰组”的定义和全等三角形的判定定理解答即可； （2）利用“相似等腰组”的定义和全等三角形的判定定理和直角三角形的性质解答即可． 【解答】解：（1）和全等，理由： 等腰和等腰为“相似等腰组”， ，，， ， 在与中， ， ； （2）和的位置及大小关系为：，，理由： 等腰和等腰为“相似等腰组”， ， ， 在与中， ， ，， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． 经典题型汇编 题型一、相似三角形的判定与性质综合 1．（23-24九年级上·河北保定·期末）若的每条边长增加各自的得，则的度数与其对应角的度数相比（　　） A．增加了 B．减少了 C．增加了 D．没有改变 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据两个三角形三边对应成比例，得出，再根据相似三角形对应角相等解答即可． 【详解】解：∵的每条边长增加各自的得， ∴与的三边对应成比例， ∴， ∴． 故选：D． 2．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，则的面积与的面积之比为 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质以及判定，先证明，再求出的值，根据两个相似三角形面积之比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在正方形中，为边的中点，点在边上，且，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，则的长是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由正方形的性质可得，证明，结合，即可得证； （2）由正方形的性质结合勾股定理得出，再由相似三角形的性质计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵为边的中点， ∴， ∴， 由（1）可得：， ∴，即， ∴． 题型二、利用相似三角形的性质求解 4．（23-24九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如果两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，直接根据相似三角形的性质即可得出答案，熟练掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解此题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴这两个三角形的周长之比为， 故选：D． 5．（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，长度如图标注，则的长为 ． 【答案】6 【分析】题目主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的对应边成比例求解即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴即， 解得：， 故答案为：6． 6．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，D，E 分别是 的 ，边上的点，，已知 ，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质可得，由，可得，即，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 题型三、证明三角形的对应线段成比例 7．（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，则下列式子中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得出，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴，故A，B，C正确,D错误 故选：D． 8．（20-21九年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝ ． 【答案】4． 【分析】根据相似三角形性的性质得到对应边成比例，列式求出AD的长． 【详解】∵△ABC∽△ACD，∴， ∵AB＝9，AC＝6，∴，解得：AD＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 9．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，边长为1的小正方形组成了网格，点A、B均是格点，请你仅用无刻度的直尺画出满足下列条件的点P，并在图中标出点P．        (1)图①中，点P为的中点； (2)图②中，点P在线段上且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接图中，与的交点即为点P； （2）连接图中，与的交点即为点P； 【详解】（1）解：如图，点P即为所求；    （2）解：如图，点P即为所求；      【点睛】本题主要考查作图，矩形的性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握画图的技巧是解题的关键． 题型四、相似三角形——动点问题 10．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，在锐角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为，点E运动的速度为，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为（    ）    A．s或3s B．3s C．s D．s或3s 【答案】D 【分析】本题考查了三角形相似的判定及性质，根据对应角不同进行分类讨论：①当时，②当时，即可求解；能根据由于没有明确相似的对应顶点，而进行分类讨论是解题关键． 【详解】解：设经过后，以点A，D，E为顶点的三角形与相似， ，， 由图得：， ①当时， ， ， ， 解得：； ②当时， ， ， ， 解得：； 经过或后，以点A，D，E为顶点的三角形与相似． 故选：D． 11．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在钝角中，，，点D从A点出发沿以的速度向B点移动，点E从C点出发沿以的速度向A点移动，如果两点同时移动，经过 秒时，与相似． 【答案】3或 【分析】解答时，分和两种情况解答即可．本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设经过，与相似． ∵，，点D从A点出发沿以的速度向B点移动，点E从C点出发沿以的速度向A点移动， ∴，，， 当时，则即， 解得； 当时，则即， 解得； 故答案为：3或． 12．（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、． (1)当动点运动时间 秒时，与相似． (2)在运动过程中，当时，为何值？请说明理由． 【答案】(1)或 (2)当时，秒．理由见解析． 【分析】（1）本题考查了三角形相似的判定和性质，判断何时与相似是解决问题的关键．已知是直角三角形，要与其相似，图中已有一个公共角，所以只需的另外两个角有一个角是直角，那么与相似．由此对应两种情况：或，需分情况讨论分析．然后两个三角形相似，对应边成比例即可求出运动时间． （2）本题考查了三角形相似的判定和性质，构造辅助线，找到三角形相似是解决问题的关键．当时，过点作于，证明，然后利用相似三角形对应边成比例即可求出时间． 【详解】（1）解：设经过运动时间为t秒时，与相似． 则，，，； 1）当，即时， ； ，即， ． ２）当，即时， ， ，即， ． 和都符合， 当动点运动秒或秒时，与相似． 故答案为：或． （2）如图，过点E作于F， 设经过运动时间为t秒时，， 则，，，； ，即， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， （秒）． 题型五、相似三角形应用举例 13．（2024·江西新余·模拟预测）如图①是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图②所示，此时液面 ． 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据两三角形相似列出比例式进而求解即可． 【详解】依题意，两高脚杯中的液体部分两三角形相似，则， 解得． 故答案为：3． 14．（2024·广东深圳·三模）如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔O的距离为（    ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，会用相似三角形对应边成比例． 【详解】解：设像到小孔O的距离为 由题意得, ∴，, ∴ ∴， 解得, 故选C． 15．（2024·陕西西安·模拟预测）周末，小英与小淇同学逛公园时注意到一棵树，她们打算利用所学知识测量树高，为此找来了平面镜、直木棍、皮尺等工具．如图，小英先将平面镜（厚度不计）平放在水平地面的点D处，小淇站在点B处，通过平面镜从点A观察到树的顶端点M，随后小英在点D处竖直放置一根木棍，小淇从点A观察到术棍顶端点C与树的底端点N在同一直线上．已知，图中所有点均在同一平面内，求树的高．（光的反射角等于入射角） 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．根据，可得，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：根据题意可知， ， ． 代入数据，得①，②， 解得， ∴树的高为． 题型六、相似三角形的综合问题 16．（22-23九年级上·四川成都·期中）如图，与是位似图形，相似比为1：3，已知，则AD的长为（    ） A．4 B．6 C．9 D．15 【答案】B 【详解】∵与是位似图形，相似比为1：3， ∴，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，平行线分线段成比例等知识，掌握位似图形的性质是解答本题的关键． 17．（2021九年级·全国·专题练习）如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝2，则AB的长为 ． 【答案】 【分析】如图，连接BD．由△ADG∽△GCF，设CF＝BF＝a，CG＝DG＝b，可得＝，推出，可得b＝a，在Rt△GCF中，利用勾股定理求出b，即可解决问题； 【详解】如图，连接BD． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝∠DCB＝90°，AC＝BD＝2， ∵CG＝DG，CF＝FB， ∴GF＝BD＝， ∵AG⊥FG， ∴∠AGF＝90°， ∴∠DAG+∠AGD＝90°，∠AGD+∠CGF＝90°， ∴∠DAG＝∠CGF， ∴△ADG∽△GCF， 设CF＝BF＝a，CG＝DG＝b， ∴＝， ∴， ∴b2＝2a2， ∵a＞0．b＞0， ∴b＝a， 在Rt△GCF中，3a2＝3， ∴a＝1， ∴AB＝2b＝2． 故答案为2． 【点睛】本题考查三角形中位线定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 18．（21-22九年级上·四川成都·阶段练习）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG． （1）求证：四边形EFDG是菱形； （2）求证EG2＝GF•AF； （3）若AG＝3，EG＝，求BE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF； （2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系； （3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD-GH求解即可． 【详解】（1）证明：∵GE∥DF， ∴∠EGF=∠DFG． ∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF， ∴∠DGF=∠DFG． ∴GD=DF． ∴DG=GE=DF=EF． ∴四边形EFDG为菱形． （2）证明：如图1所示：连接DE，交AF于点O． ∵四边形EFDG为菱形， ∴GF⊥DE，， ∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA， ∴△DOF∽△ADF． ∴，即DF2=FO•AF． ∵， ∴； （3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H． ∵， ∴，整理得：FG2+3FG-10=0． 解得：FG=2，FG=-5（舍去）． ∵ ∴ ∵GH⊥DC，AD⊥DC， ∴GH∥AD． ∴△FGH∽△FAD． ∴，即， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键． 试题练习 一、单选题 1．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比是（    ） A．2：3 B．3：2 C．2：5 D．5：2 【答案】C 【分析】先根据位似的性质得到与的位似比为，再利用比例性质得到，然后利用相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：与是位似图形，点为位似中心， 且 又 故选：C． 【点睛】本题考查了位似变换，解题关键是掌握位似变换的相关性质，运用比例解题． 2．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，与是位似图形，位似中心为，，下列结论正确的有（    ） ①与的相似比为；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查位似图形的性质、相似多边形的性质，根据位似图形的性质、相似多边形的性质判断即可；掌握位似图形的性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形，位似中心为， ∴ ∴与的相似比为，，故①正确，②错误； ∴，，故③正确，④错误． 故正确的个数是个， 故选：B． 3．（23-24九年级上·河北张家口·阶段练习）如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用相似三角形的判定定理(两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似)即可判断． 【详解】解：中，是正方形的对角线， ∴，且，， 即， 要使， 则， 观察图形，只有是正方形的对角线，即， 且，， 即， ∴点符合题意， 故选：A． 4．（22-23九年级上·四川宜宾·期末）数学实践课上，小明在测量教学楼高度时，先测出教学楼落在地面上的影长为米（如图），然后在处树立一根高米的标杆，测得标杆的影长为4米，则楼高为（   ） A．10米 B．12米 C．15米 D．25米 【答案】C 【分析】根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解． 【详解】∵， 即， ∴楼高米， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，找出相似三角形是解决问题的关键． 5．（23-24九年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，，点，分别在边，上，且，若以，，为顶点的三角形与相似，则的长度为（       ） A．3 B． C．或4 D．4或 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的动点问题，主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识．先利用勾股定理计算出，再讨论：当时，则可证明，当时，则可证明，然后分别利用相似比求出对应的的长． 【详解】解：如图， ，，， ， 当时， ，， ， ，即， 解得， 当时， ，， ， ，即， 解得， 综上所述，的长为4或． 故选：D． 6．（2024·陕西西安·模拟预测）一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时），相关数据（单位：）如图所示，从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：连接，如图所示： 由题意得，，， ∴， ， ， ， 点，之间的距离减少了， 故选：D． 7．（2024·重庆·三模）如图，在平面直角坐标系中，，其中点A的坐标为，点C的坐标为，则与的面积比是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的性质，先求出，，由得到相似比为：，即可得到答案. 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴相似比为：， ∴与的面积比是， 故选：A 8．（23-24九年级上·山东聊城·开学考试）如图，已知点D为中边的中点，，直线交于点G，交的延长线于点F，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 由，可得，推出，又有的值，再由，得出，代入即可求解的长． 【详解】解：∵， ∴，， ，， 即， 又， ． 故选：D． 9．（19-20九年级上·广东广州·期末）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则线段CD的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】直接利用A，B点坐标得出AB的长，再利用位似图形的性质得出CD的长． 【详解】解：∵A（6，6），B（8，2）， ∴AB＝＝2， ∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD， ∴线段CD的长为：×2＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了位似图形，解题的关键是熟悉位似图形的性质． 10．（2024·陕西渭南·二模）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F．若四边形的面积为6，则的面积为（    ） A．12 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键． 连接，根据三角形重心的性质可知：在上，由三角形中线平分三角形的面积可知：，证明和，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答． 【详解】解：如图，连接． 点是的重心，点是边的中点， 在上，， ， ， ， ， ， ， ， 设的面积为，则的面积为，的面积为， 四边形的面积为6， ， ， 的面积为9， 的面积是18． 故选：B 二、填空题 11．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，若点，，，，，，，，都是方格纸中的格点，为使，则点应是，，，四点中的 点．    【答案】 【分析】相似三角形两个角对应相等，且对应边成比例，据此解答． 【详解】解：由图知，点应位于线段的中垂线上， 所以要使， 所以只能是点， 其他点均不符合题意， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定，要注意联系实际图形进行判定． 12．（23-24九年级上·广西贵港·期中）已知与相似且对应中线的比为，的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据对应中线的比是，可得这两个三角形的相似比是，由于相似三角形的周长比等于相似比，由此可求出结果． 【详解】解：∵与相似且对应中线的比为， ∴的周长为的周长， ∴的周长， ∴的周长， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·山东聊城·开学考试）如图，在中，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明是解决问题的关键，根据已知条件证明，由相似三角形的性质可得，代入数据求得的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ，即， 解得（负值舍去） 故答案为：． 14．（23-24九年级上·四川乐山·期中）如图，在中，点D是的中点，点G为的重心，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．根据三角形的重心的性质解答即可． 【详解】 解：点G为的重心， 故答案为：1． 15．（20-21九年级上·北京通州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得，进而可得△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解． 【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示： ∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA， ∴△BOC∽△AOB， ∵点， ∴OA=10， ∵， ∴， ∴AB=2OB， ∴BC=2OC， ∴在Rt△BOC中， ，即， ∴， ∴BC=4， ∴点B的坐标为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 16．（23-24九年级上·山东聊城·开学考试）如图所示，已知D，E分别是的，边上的点，，且，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解相似三角形面积的比等于相似比的平方．由题可知：，相似比为，由，得，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 17．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在钝角三角形中，，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是 ．    【答案】3秒或秒 【分析】本题考查相似三角形性质．根据题意分情况讨论列式求解即可求出本题答案． 【详解】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与相似， 则， ①当D与B对应时，有． ∴， ∴， ∴； ②当D与C对应时，有． ∴， ∴， ∴． 故答案为：3秒或秒． 18．（2021九年级·山东青岛·专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝3：5，点E是对角线AC上一动点（不与点A，C重合），将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点A，B的对应点A1，B1分别落在直线AD与BC上，当△A1CE为直角三角形时，AN：DN的值为 ．      【答案】 或． 【分析】设AB=3x，BC=5x，则CD=AB=3x，AD=BC=5x，分两种情况：①当∠CA1E=90°时，△A1CE为直角三角形，易证∠DCA1=∠EA1N，由折叠的性质得出AN=A1N，AE=A1E， ∠EAN=∠EA1N，推出∠DCA1=∠DAC，证明△CDA1~△ADC即可得出结果； ②当∠A1CE=90°时，△A1CE为直角三角形，易证∠CA1D=∠ACD，证明△A1DC~△CDA，得出即可得出结果． 【详解】∵AB：BC＝3：5， 设AB＝3x，BC＝5x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝3x，AD＝BC＝5x， 分两种情况： ①当∠CA1E＝90°时，△A1CE为直角三角形，如图1所示：          ∵∠DCA1＋∠DA1C＝∠DA1C＋∠EA1N＝90°， ∴∠DCA1＝∠EA1N， 由折叠的性质得：AN＝A1N，AE＝A1E，∠EAN＝∠EA1N， ∴∠DCA1＝∠DAC， ∵∠CDA1＝∠ADC＝90°， ∴△CDA1∽△ADC， ∴，即， ∴DA1x， ∴ANx， DNx， ∴AN：DN； ②当∠A1CE＝90°时，△A1CE为直角三角形，如图2所示：      ∵∠A1CD＋∠CA1D＝∠A1CD＋∠ACD＝90°， ∴∠CA1D＝∠ACD， ∵∠A1DC＝∠CDA＝90°， ∴△A1DC∽△CDA， ∴，即， ∴A1Dx， 由折叠的性质得：AN＝A1N， ∴DN(A1A﹣2A1D)x+5x﹣2x， AN＝AD﹣DN＝5xx， ∴AN：DN， 综上所述，AN：DN的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查矩形的性质、相似三角形。灵活应用等角转换找相似三角形是关键．分类讨论思想是难点． 三、解答题 19．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O． (1)求证：； (2)若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，判定两三角形相似是解题关键， （1）证出，结合对顶角相等即可证明结论； （2）根据相似三角形性质证出即可证出结论． 【详解】（1）证明：在四边形中，， ， 恰好平分， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， ， ． 20．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画格点三角形： (1)在图1中画，使得，且相似比为； (2)在图2中画，使得，且面积比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作相似三角形， （1）根据相似比得出各边均扩大2倍，通过计算求出扩大后三角形三边长再连接各点即可； （2）由面积的比得两三角形相似比为，画出所有对应边为原来倍的三角形即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． ； （2）解：如图：即为所求． ． 21．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，平分的外角，与的延长线交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定．证明是解题的关键． （1）由角平分线定义得到，由平行线的性质推出，得到，即可证明； （2）由，推出，得到，即可求出的长． 【详解】（1）证明：平分的外角， ， ∵， ， ， ； （2）解：∵， ， ， ，，， ， ． 22．（23-24九年级上·山东聊城·开学考试）已知：如图在中，，高，它的内接矩形（点E在边上，点H、G在边上，点F在边上），与边之比为，求的长． 【答案】 【分析】设矩形的长，则宽，易证四边形是矩形，则，根据矩形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设矩形的长，则宽， 四边形是矩形， ，， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ，， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 23．（23-24九年级上·山东泰安·开学考试）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，他的影长是2米． (1)图中与是否相似？为什么？ (2)求信号发射塔的高度． 【答案】(1)相似，理由见解析 (2)19.8米 【分析】本题考查了相似三角形应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． （1）根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似； （2）利用相似三角形的性质求得相应线段的长即可． 【详解】（1），， ， ， （2）， ， 即， （米）， 信号发射塔的高度为19.8米． 24．（22-23九年级上·辽宁大连·期末）如图，直线分别于x轴，y轴相交于点A、B，将绕点A顺时针旋转，使落在上，得到，将沿射线平移，当点D到达x轴时运动停止．设平移的距离为m．平移后的图形在x轴下方部分的面积是S． (1)点A的坐标__________，点B的坐标为_______ (2)求S关于m的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）分别将，代入函数求解即可； （2）分两种情况，当点在轴上方或点在轴下方，根据相似三角形的性质，求解即可． 【详解】（1）分别将，代入函数可得 ， 即，， 故答案为：，； （2）解：当点在轴上方时， 由旋转的性质可得，，，，， ∴，， 由平移的性质可得，， 过点作，如下图： 则， ∴， ∴，即，解得， 则； 当点在轴下方时，，， ∴ 又∵ ∴， ∴，即， 解得， 点D到达x轴时，，此时， 即， ， ， ∴， 综上，． 【点睛】此题考查了一次函数与坐标的交点问题，旋转的性质，平移的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握并灵活运行相关性质进行求解． 25．（22-23九年级上·四川成都·期末）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和点，与y轴，x轴分别交于C，D两点， (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点E为反比例函数（x>0）上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，垂足为点F，当时，求点E坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据点点求得k确定反比例函数解析式，然后再根据、利用待定系数法求得一次函数解析式即可； （2）设点，则点，由点可得、，再根据相似三角形的性质列方程求得t即可解答． 【详解】（1）解：∵反比例函数过点 ∴且 将，带入直线 得：， 故一次函数为：． （2）解：设点，则点，点 则， 当时 即：，解得：，（舍去） ∴点． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的结合、相似三角形的性质等知识点，根据相似三角形的性质列出参数方程成为解答本题的关键． 26．（2024·吉林长春·三模）如图，在中，，，，点为中点，动点P从点A出发，沿边以每秒5个单位长度的速度向终点运动，连结，将线段绕点逆时针旋转得线段，连结．设点运动的时间为秒． (1)用含的代数式表示点到的距离为________； (2)当点落在内部（不包括边界）时，求的取值范围； (3)当与的一边平行时，求线段的长度； (4)当经过点E与的一个顶点的直线平分面积时，直接写出的值． 【答案】(1)3t (2) (3)或6 (4)或或 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质； （1）先作辅助线，根据两个三角形相似可得到结果； （2）当点在边界上时，求出结果，即可得到取值范围； （3）可分为两种情况，，根据题意画出图形，根据相似三角形的性质即可求解． （4）分为三种情况，分别是经过三条中线，分别画出图形，结合图形，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：过点作与一点，如图所示： ∵在中，，，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点从点出发，沿边以每秒个单位长度的速度向终点运动， ∴， 即； （2）解：当点在上时，过点作于点，如图所示： 此时均为等腰直角三角形， 即，， ∴, ∴，即， ∴； 当点在上时，如图所示： 此时，即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； ∴当点落在内部（不包括边界）时，的取值范围； （3）解：可分为两种情况： 当时，过点P，E分别作垂线，如图所示： 此时四边形是矩形， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，过点作，如图所示： ， 点是中点， 点也是的中点， ； 当与的一边平行时，线段的长度为或； （4）解：当经过点与的一个顶点的直线平分面积时，此时点在的中线上，可分为三种情况： 当点在上时，如图所示： 此时， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，即， ∴， ∴，解得， ∴， ∴， 即； 当点在中线上时，如图所示：连接，则， 过点作于点，过点作于点，交于点， 在中， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ ∴ ∴ 如图所示，当经过中线时， 同理可得 ∴ ∴即 解得： ∴ ∴ ∴ 综上所述的值为：或或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$