专题1.1 全等三角形全章知识典例详解（必考点分类集训）-2024-2025学年八年级数学上册必考点分类集训系列（苏科版）

专题1.1 全等三角形全章知识典例详解 【苏科版】 知识点1 全等三角形的定义和性质 1．全等形的概念 定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形． 【提示】（1）全等形的形状相同，大小相等． （2）两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关． （3）判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合． 2．全等三角形的概念和表示方法 （1）全等三角形的概念： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （2）全等三角形的对应元素： ①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点；②对应边：全等三角形中，能够重合的边；③对应角：全等三角形中，能够重合的角． （3）全等三角形的表示方法： “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 3．全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'． 【拓展】由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等， 对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等． 但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等． 【典例1】（2024春•雁峰区期末）如图所示的是两个全等的五边形，AB＝8，AE＝5，DE＝11，HI＝12，IJ＝10，∠D＝90°，∠G＝115°，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，则图中标的e＝　 　，β＝　 　°． 【典例2】（2024春•泉港区期末）如图，四边形ABCD中，AB＝5、BC＝10、CD＝6、AD＝3．若四边形OPCE≌四边形ABCD，则PD＝　 　． 【典例3】（2023秋•宁明县期末）如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　． 【典例4】（2024春•高碑店市月考）沿图形中的虚线，分别把下面的图形划分为两个全等图形． 【典例5】（2023秋•姜堰区期末）如图，点B、E在CF上，且△ABC≌△DEF．若CF＝8，BE＝4，则CE的长为 　 　． 【典例6】（2024春•姑苏区校级月考）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交AD于点F，∠E＝115°，∠B＝28°，∠DAC＝50°，则∠DGF＝　 　°． 【典例7】（2024春•长安区期末）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G．若∠AED＝105°，∠CAD＝18°，∠B＝30°，则∠1的度数为（　　） A．67° B．63° C．57° D．53° 知识点2 全等三角形的判定 1．三角形全等的判定方法： 判定方法 解释 图形 边边边 (SSS) 三条边对应相等的两个三角形全等 边角边 (SAS) 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 角边角 (ASA) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 角角边 (AAS) 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 斜边、直角边 (HL) 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 注意： （1）全等的理解，对应边相等，对应角相等的三角形，叫做全等三角形． （2）全等的表示，若，则前后对应关系确定；若与全等，则前后对应关系不确定． （3）在全等三角形判定中，有两种不能判定判定三角形全等的方法：SSA和AAA． 2．合理选择全等三角形的判定方法： 【典例1】（2024春•重庆期末）根据下列已知条件，画出的△ABC不唯一的是（　　） A．AB＝2cm，BC＝3cm，AC＝4cm B．∠C＝60°，∠B＝45°，BC＝4cm C．∠C＝90°，AC＝3cm，AB＝5cm D．∠C＝30°，BC＝8cm，AB＝6cm 【典例2】（2023秋•鹤壁期末）打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（　　） A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去 【典例3】（2023秋•新昌县期末）如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面给出5个论断：①AB＝DE，②AC＝DF，③BE＝CF，④∠ACB＝∠DFE，⑤∠A＝∠D．选其中3个作为条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①②④ 【典例4】（2024春•遂川县期末）如图，在△ABC与△ADC中，已知AD＝AB． （1）在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使△ABC≌△ADC的条件有 　 　（填序号）， ①DC＝BC；②∠D＝∠B；③∠DAC＝∠BAC；④∠DCA＝∠BCA； （2）分别对（1）中添加条件的情况证明△ABC≌△ADC，并指出两个三角形全等的判定方法． 【典例5】（2024•新城区校级模拟）如图，点F在AB上，BC∥AD，AD＝AC，∠AED＝∠B．求证：△ABC≌△DEA． 【典例6】（2024•鼓楼区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，在BD上取两点E，F，使DF＝BE，连接AE，CF．若AE∥CF，试说明△ABE≌△CDF． 【典例7】（2024•前郭县校级模拟）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，E为AC上一点，EF⊥AB于点F，AE＝CB．求证：△AEF≌△CBD． 【典例8】（2023秋•乌兰察布期末）在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF＝AE，BC＝DA．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF． 【典例9】（2024春•南岗区校级月考）已知AC＝DB，BD⊥DC于点D，CA⊥AB于点A，BD、AC交于点E． （1）如图1，求证：AB＝DC； （2）如图2，延长BA、CD交于点F，请直接写出图2中的所有全等三角形． 知识点3 全等三角形的应用 1．全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． 2．作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． 3．全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 1．（2024春•鄄城县期末）如图，M是线段AB上的一点，ED是过点M的一条线段，连接AE、BD，过点B作BF∥AE交ED于点F，且EM＝FM． （1）求证：AE＝BF． （2）连接AC，若∠AEC＝90°，∠CAE＝∠DBF，CD＝4，求EM的长． 2．（2024秋•镇江期中）阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明． （1）请完成下题的证明过程：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD＝AC．证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE （2）如图2，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC． 3．（2024春•皇姑区期末）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线． （1）如图①，△ABC中，若AB＝4，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围； 同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝DA，连接BE． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①根据题意，补全图形； ②由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，其依据是 　 （用字母表示）； ③由三角形的三边关系可以求得AD的取值范围是 　 （直接填空）； （2）如图②，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，连接BE，CD，若AM为△ACD的中线，猜想AM与BE的数量关系并说明理由． 4．（2024春•秦都区校级月考）如图1，小朋友在荡秋千．如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上（BD⊥DE），转轴B到地面的距离BD＝2.5m．乐乐在荡秋千的过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m（AC⊥BD于点C），当他从A处摆动到A′处时，测得点A′到BD的距离A′F＝BC（A′F⊥BD于点F），已知秋千的绳长固定不变（即BA＝BA′），求FD的长度． 5．（2024春•漳州期末）如图，李红同学站在江边的B处，在江的对面（李红的正北方向）的A处有一电线杆，她想知道电线杆离她有多远，于是她向正东方向走了10米到达小树C处，接着再向前走了10米到达D处，然后她右转90°直行，当李红看到电线杆、树与自己现处的位置E在一条直线时，她总共走了50米． （1）根据题意，画出示意图； （2）根据你所画的示意图，求点A到点B的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 全等三角形全章知识典例详解 【苏科版】 知识点1 全等三角形的定义和性质 1．全等形的概念 定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形． 【提示】（1）全等形的形状相同，大小相等． （2）两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关． （3）判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合． 2．全等三角形的概念和表示方法 （1）全等三角形的概念： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （2）全等三角形的对应元素： ①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点；②对应边：全等三角形中，能够重合的边；③对应角：全等三角形中，能够重合的角． （3）全等三角形的表示方法： “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 3．全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'． 【拓展】由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等， 对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等． 但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等． 【典例1】（2024春•雁峰区期末）如图所示的是两个全等的五边形，AB＝8，AE＝5，DE＝11，HI＝12，IJ＝10，∠D＝90°，∠G＝115°，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，则图中标的e＝　 　，β＝　 　°． 【分析】根据全等形的对应边相等，对应角相等进行解答即可． 【解答】解：由题意可知，五边形ABCDE与五边形FGHIJ是全等的五边形， 所以∠β＝∠FGH＝115°， e＝DE＝11， 故答案为：11，115． 【典例2】（2024春•泉港区期末）如图，四边形ABCD中，AB＝5、BC＝10、CD＝6、AD＝3．若四边形OPCE≌四边形ABCD，则PD＝　 　． 【分析】根据全等图形的对应边相等推知：BC＝PC；结合图形得到：PD＝PC﹣CD． 【解答】解：∵四边形OPCE≌四边形ABCD，BC＝10， ∴BC＝PC＝10． ∵CD＝6， ∴PD＝PC﹣CD＝10﹣6＝4． 故答案为：4． 【典例3】（2023秋•宁明县期末）如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　． 【分析】仔细分析图中角度，可得出，∠1+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°，进而得出答案． 【解答】解：∵∠1和∠4所在的三角形全等， ∴∠1+∠4＝90°， ∵∠2和∠3所在的三角形全等， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠1+∠2+∠3十∠4＝180°． 故答案为：180°． 【典例4】（2024春•高碑店市月考）沿图形中的虚线，分别把下面的图形划分为两个全等图形． 【分析】根据全等图形的定义画出图形即可． 【解答】解：如图所示： 【典例5】（2023秋•姜堰区期末）如图，点B、E在CF上，且△ABC≌△DEF．若CF＝8，BE＝4，则CE的长为 　 　． 【分析】根据△ABC≌△DEF得到BC＝EF，从而得到BF＝EC，最后求得答案即可． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF， ∴BC﹣BE＝EF﹣BE， 即：BF＝EC， ∵CF＝8，BE＝4， ∴CE2， 故答案为：2． 【典例6】（2024春•姑苏区校级月考）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交AD于点F，∠E＝115°，∠B＝28°，∠DAC＝50°，则∠DGF＝　 　°． 【分析】根据“全等三角形对应角相等”和三角形内角和定理先求出∠AFC的度数，再根据“对顶角相等”和三角形内角和定理即可求得∠DGF的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠B＝∠D＝28°，∠ACB＝∠E＝115°， ∴∠ACG＝65°， ∵∠DAC＝50°， ∴∠AFC＝∠GFD＝65°， ∴∠DGF＝180°﹣∠D﹣∠DFG＝87°． 故答案为：87． 【典例7】（2024春•长安区期末）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G．若∠AED＝105°，∠CAD＝18°，∠B＝30°，则∠1的度数为（　　） A．67° B．63° C．57° D．53° 【分析】先根据全等三角形的性质得到∠B＝∠D＝30°，∠ACB＝∠AED＝105°，再利用三角形外角性质计算出∠CFA＝87°，则根据对顶角相等得到∠DFG＝87°，然后根据三角形内角和定理计算∠1的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠B＝∠D＝30°，∠ACB＝∠AED＝105°， ∵∠ACB＝∠CAD+∠CFA， ∴∠CFA＝105°﹣18°＝87°， ∴∠DFG＝∠CFA＝87°， ∵∠1+∠D+∠DFA＝180°， ∴∠1＝180°﹣87°﹣30°＝63°． 故选：B． 知识点2 全等三角形的判定 1．三角形全等的判定方法： 判定方法 解释 图形 边边边 (SSS) 三条边对应相等的两个三角形全等 边角边 (SAS) 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 角边角 (ASA) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 角角边 (AAS) 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 斜边、直角边 (HL) 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 注意： （1）全等的理解，对应边相等，对应角相等的三角形，叫做全等三角形． （2）全等的表示，若，则前后对应关系确定；若与全等，则前后对应关系不确定． （3）在全等三角形判定中，有两种不能判定判定三角形全等的方法：SSA和AAA． 2．合理选择全等三角形的判定方法： 【典例1】（2024春•重庆期末）根据下列已知条件，画出的△ABC不唯一的是（　　） A．AB＝2cm，BC＝3cm，AC＝4cm B．∠C＝60°，∠B＝45°，BC＝4cm C．∠C＝90°，AC＝3cm，AB＝5cm D．∠C＝30°，BC＝8cm，AB＝6cm 【分析】由于选项A中已知三角形的三边长，根据三边对应相等的两个三角形全等即可对选项A进行判断；由于对于选项B中已知三角形的两角及其夹边，根据两角及其夹边对应相等的两个三角形全等即可对选项B进行判断；由于选项C中已知直角三角形的一条直角边和斜边，根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等即可对选项C进行判断；由于选项D中已知三角形两边及其一边的对角，根据两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等即可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：对于选项A，已知三角形的三边长， 根据全等三角形的判定定理可知：三边对应相等的两个三角形全等， 因此已知选项A中的条件，画出的△ABC是唯一的， 故选项A不符合题意； 对于选项B，已知三角形的两角及其夹边， 根据全等三角形的判定定理可知：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等， 因此已知选项B中的条件，画出的△ABC是唯一的， 故选项B不符合题意； 对于选项C，已知直角三角形的一条直角边和斜边， 根据两个直角三角形全等的判定定理可知：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等， 因此已知选项C中的条件，画出的△ABC是唯一的， 故选项C不符合题意； 对于选项D，已知三角形两边及其一边的对角， 根据两个全等三角形的判定定理可知：两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等， 因此已知选项C中的条件，画出的△ABC是不唯一， 故选项D符合题意． 故选：D． 【典例2】（2023秋•鹤壁期末）打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（　　） A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去 【分析】可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案． 【解答】解：A、带①②去，符合ASA判定，选项符合题意； B、带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； C、带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； D、带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； 故选：A． 【典例3】（2023秋•新昌县期末）如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面给出5个论断：①AB＝DE，②AC＝DF，③BE＝CF，④∠ACB＝∠DFE，⑤∠A＝∠D．选其中3个作为条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①②④ 【分析】根据全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL依次对各选项分析即可判断． 【解答】解：③∵BE＝CF， ∴BC＝EF． A、①②③根据“SSS”可判断△ABC≌△DEF； B、②③④根据“SAS”可判断△ABC≌△DEF； C、③④⑤根据“AAS”可判断△ABC≌△DEF； D、①②④为两边与一边的对角对应相等，故不能判断△ABC≌△DEF； 故选：D． 【典例4】（2024春•遂川县期末）如图，在△ABC与△ADC中，已知AD＝AB． （1）在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使△ABC≌△ADC的条件有 　 　（填序号）， ①DC＝BC；②∠D＝∠B；③∠DAC＝∠BAC；④∠DCA＝∠BCA； （2）分别对（1）中添加条件的情况证明△ABC≌△ADC，并指出两个三角形全等的判定方法． 【分析】（1）由于AC为公共边，则根据全等三角形的判定方法分别对四个条件进行判断； （2）当添加BC＝DC，根据“SSS”可判断△ABC≌△ADC；当添加∠BAC＝∠DAC时，根据“SAS”可判断△ABC≌△ADC． 【解答】解：（1）∵AB＝AD，AC＝AC， ∴当添加BC＝DC时，△ABC≌△ADC（SSS）； 当添加∠B＝∠D时，不能判定△ABC≌△ADC； 当添加∠BAC＝∠DAC时，△ABC≌△ADC（SAS）； 当添加∠BCA＝∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC； 故答案为：①③． （2）当添加BC＝DC， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）； 当添加∠BAC＝∠DAC时， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SAS）． 【典例5】（2024•新城区校级模拟）如图，点F在AB上，BC∥AD，AD＝AC，∠AED＝∠B．求证：△ABC≌△DEA． 【分析】先根据平行线的性质得到∠C＝∠DAE，然后根据“AAS”可判断△ABC≌△DEA． 【解答】解：∵BC∥AD， ∴∠C＝∠DAE， 在△ABC和△DEA中， ， ∴△ABC≌△DEA（AAS）． 【典例6】（2024•鼓楼区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，在BD上取两点E，F，使DF＝BE，连接AE，CF．若AE∥CF，试说明△ABE≌△CDF． 【分析】根据平行线的性质求出∠ABE＝∠CDF，∠AEB＝∠CFD，由“ASA”可证△ABE≌△CDF． 【解答】证明：∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵AE∥CF， ∴∠AEB＝∠CFD， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（ASA）． 【典例7】（2024•前郭县校级模拟）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，E为AC上一点，EF⊥AB于点F，AE＝CB．求证：△AEF≌△CBD． 【分析】先证明∠A＝∠BCD，∠EFA＝∠BDC＝90°，根据AAS即可证明△AEF≌△CBD． 【解答】证明：在Rt△ABC中，∠B+∠A＝90°． ∵DC⊥AB， ∴∠B+∠BCD＝90°． ∴∠A＝∠BCD． ∵EF⊥AB， ∴∠EFA＝∠BDC＝90°． ∵AE＝CB， ∴△AEF≌△CBD（AAS）． 【典例8】（2023秋•乌兰察布期末）在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF＝AE，BC＝DA．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF． 【分析】根据全等三角形的判定定理HL证得Rt△ADC≌Rt△CBA，在该全等三角形的对应边相等：DC＝BA，然后再由HL来证得Rt△ABE≌Rt△CDF． 【解答】解：如图， 在Rt△ADC与Rt△CBA中， ， ∴Rt△ADC≌Rt△CBA（HL）， ∴DC＝BA． 又∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， 在Rt△ABE与Rt△CDF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）． 【典例9】（2024春•南岗区校级月考）已知AC＝DB，BD⊥DC于点D，CA⊥AB于点A，BD、AC交于点E． （1）如图1，求证：AB＝DC； （2）如图2，延长BA、CD交于点F，请直接写出图2中的所有全等三角形． 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论； （2）根据全等三角形的判定定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵BD⊥DC于点D，CA⊥AB于点A， ∴∠A＝∠D＝90°， 在Rt△ABC与Rt△DCB中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB， ∴AB＝DC； （2）解：由（1）知Rt△ABC≌Rt△DCB， ∴∠FBC＝∠FCB， ∴BF＝CF， ∵AB＝CD， ∴AF＝DF， 在△AFC与△DFB中， ， ∴△AFC≌△DFB， 在△ABE与△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE， 故图中的所有全等三角形有Rt△ABC≌Rt△DCB，△AFC≌△DFB，△ABE≌△DCE． 知识点3 全等三角形的应用 1．全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． 2．作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． 3．全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 1．（2024春•鄄城县期末）如图，M是线段AB上的一点，ED是过点M的一条线段，连接AE、BD，过点B作BF∥AE交ED于点F，且EM＝FM． （1）求证：AE＝BF． （2）连接AC，若∠AEC＝90°，∠CAE＝∠DBF，CD＝4，求EM的长． 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠EAM＝∠FBM，结合对顶角相等即可利用AAS证明△AME≌△BMF，根据全等三角形的性质即可得解； （2）结合（1）利用ASA证明△AEC≌△BFD，利用全等三角形的性质即可得解． 【解答】（1）证明：∵BF∥AE， ∴∠EAM＝∠FBM， 在△AME和△BMF中， ， ∴△AME≌△BMF（AAS）， ∴AE＝BF； （2）解：∵△AME≌△BMF， ∴AE＝BF，EM＝FM，∠BFM＝∠AEC＝90°， ∴∠AEC＝∠BFD＝90°， 在△AEC和△BFD中， ， ∴△AEC≌△BFD（ASA）， ∴EC＝FD， ∴EC﹣CF＝FD﹣CF， 即EF＝CD＝4， ∴EMEF＝2． 2．（2024秋•镇江期中）阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明． （1）请完成下题的证明过程：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD＝AC．证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE （2）如图2，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC． 【分析】（1）在AC上截取AE＝AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，得到∠B＝∠AED，再证明ED＝EC即可； （2）由等腰三角形的性质知AE＝FE，再证明△ADE≌△FCE即可解决本题． 【解答】证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE，如图1： ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC， 在△ABD和△AED中， ， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴∠B＝∠AED，BD＝DE，又∠B＝2∠C， ∴∠AED＝2∠C， 而∠AED＝∠C+∠EDC＝2∠C， ∴∠C＝∠EDC， ∴DE＝CE， ∴AB+BD＝AE+CE＝AC； （2）延长AE、BC交于F， ∵AB＝BF，BE平分∠ABF， ∴AE＝EF， 在△ADE和△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴AD＝CF， ∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD． 3．（2024春•皇姑区期末）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线． （1）如图①，△ABC中，若AB＝4，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围； 同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝DA，连接BE． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①根据题意，补全图形； ②由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，其依据是 　SAS　（用字母表示）； ③由三角形的三边关系可以求得AD的取值范围是 　1＜AD＜5　（直接填空）； （2）如图②，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，连接BE，CD，若AM为△ACD的中线，猜想AM与BE的数量关系并说明理由． 【分析】（1）①补全图形，如图①所示： ②根据三角形中线定义得CD＝BD，进而可依据“SAS”判定△ADC和△EDB全等，由此可得出答案； ③根据全等三角形性质得AC＝BE＝6，AE＝2AD，再根据三角形三边之间关系得BE﹣AB＜AE＜BE+AB，即6﹣4＜2AD＜6+4，由此可得出AD的取值范围； （2）延长AM到N，使AM＝MN，连接CN，则AN＝2AM，先证明△ADM和△NCM全等得AD＝CN，∠DAM＝∠N，则AD∥CN，进而得∠DAC+∠ACN＝180°，再由∠BAC+∠DAE＝180°得∠BAE+∠DAC＝180°，则∠ACN＝∠BAE，由此可依据“SAS”判定△ACN和△BAE全等，则AN＝BE，由此可得AM与BE的数量关系． 【解答】解：（1）①补全图形，如图①所示： ②∵AD是BC边上的中线， ∴CD＝BD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故答案为：SAS． ③∵△ADC≌△EDB， ∴AC＝BE， ∵AB＝4，AC＝6，DE＝DA， ∴BE＝AC＝6，AE＝2AD， 在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜BE+AB， ∴6﹣4＜2AD＜6+4， ∴1＜AD＜5， 即AD的取值范围是1＜AD＜5， 故答案为：1＜AD＜5． （2）猜想：BE＝2AM，理由如下： 延长AM到N，使AM＝MN，连接CN，如图②所示： 则AN＝2AM， ∵AM为△ACD的中线， ∴DM＝CM， 在△ADM和△NCM中， ， ∴△ADM≌△NCM（SAS）， ∴AD＝CN，∠DAM＝∠N， ∴AD∥CN， ∴∠DAC+∠ACN＝180°， ∵∠BAC+∠DAE＝180°， ∴∠BAE+∠DAC＝180°， ∴∠ACN＝∠BAE， ∵AD＝AE，AD＝CN， ∴CN＝AE， 在△ACN和△BAE中， ， ∴△ACN≌△BAE（SAS）， ∴AN＝BE， ∵AN＝2AM， ∴BE＝2AM． 4．（2024春•秦都区校级月考）如图1，小朋友在荡秋千．如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上（BD⊥DE），转轴B到地面的距离BD＝2.5m．乐乐在荡秋千的过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m（AC⊥BD于点C），当他从A处摆动到A′处时，测得点A′到BD的距离A′F＝BC（A′F⊥BD于点F），已知秋千的绳长固定不变（即BA＝BA′），求FD的长度． 【分析】证明△ACB≌△BFA′（HL），得到BF＝1.5m，即可得到答案． 【解答】解：∵AC⊥BD，A′F⊥BD， ∴∠ACB＝∠BFA′＝90°， ∴△ACB和△BFA′均为直角三角形． 在△ACB和△BFA′中， ∵BA＝BA′，A′F＝BC， ∴Rt△ACB≌Rt△BFA′（HL）， ∴BF＝AC＝1.5m， ∵BD＝2.5m， ∴FD＝BD﹣BF＝2.5﹣1.5＝1（m）， 即FD的长度是1m． 5．（2024春•漳州期末）如图，李红同学站在江边的B处，在江的对面（李红的正北方向）的A处有一电线杆，她想知道电线杆离她有多远，于是她向正东方向走了10米到达小树C处，接着再向前走了10米到达D处，然后她右转90°直行，当李红看到电线杆、树与自己现处的位置E在一条直线时，她总共走了50米． （1）根据题意，画出示意图； （2）根据你所画的示意图，求点A到点B的距离． 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）根据ASA证明△ABC≌△EDC得出AB＝DE即可得出结果． 【解答】解：（1）如图所示； （2）由题意可知，∠ABC＝∠EDC＝90°，BC＝CD＝10米，∠ACB＝∠ECD， 在△ABC与△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴AB＝DE， ∵她总共走了50米， ∴DE＝50﹣10﹣10＝30（米）， ∴AB＝30米， 即点A到点B的距离为30米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 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