精品解析：广东省湛江市博雅学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

2023-2024学年度第一学期期末考试 九年级数学试卷 （考试时间120分钟，满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程通过配方后所得的方程是（      ） A. B. C. D. 3. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 4. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 5. 圆心在原点O，半径为5的⊙O，点P（4，﹣3）与⊙O的位置关系是（　　） A. 在⊙O内 B. 在⊙O上 C. 在⊙O外 D. 不能确定 6. 下列说法正确的是（ ） A. “清明时节雨纷纷”必然事件 B. 为了了解某小区居民新冠疫苗注射情况，可以采用全面调查方式进行 C. 一组数据2，5，4，5，6，7众数、中位数和平均数都是4.5 D. 甲、乙两组队员身高数据的方差分别为，，那么甲组队员身高比较整齐 7. 若点、、都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 8. 已知ABC与DEF是位似图形，且ABC与DEF的周长比为，则ABC与DEF的相似比是（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，若，则（ ）． A. B. C. D. 10. 函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0． 其中正确的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 12. 已知点和关于原点对称，则的值为_____． 13. 已知，则代数式的值为______． 14. 从－1，0，，π，中随机任取一数，取到无理数的概率是______ 15. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，过点作轴于点，点是一次函数的图象与轴的交点，则的面积是_______． 16. 如图，在中，，点为上一点，以为圆心，长为半径的圆与相切于点，交于另一点，点为优弧上一动点，则图中阴影部分面积的最大值为 _____． 三、解答题一（本大题有4小题，17、18小题各4分，19、20题各6分，共20分） 17. 计算：． 18. 解方程：. 19. A，B两个不透明的盒子里分别装有三张卡片，其中A盒里三张卡片上分别标有数字1，2，3，B盒里三张卡片上分别标有数字4，5，6，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀． （1）从A盒里班抽取一张卡、抽到的卡片上标有数字为奇数的概率是_______； （2）从A盒，B盒里各随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片上标有的数字之和大于7的概率． 20. 如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，5），B（﹣4，1），和C（﹣1，3）． （1）作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点A、B、C的对称点A1、B1、C1的坐标． （2）作出将△ABC绕着点B顺时针旋转90°的△A2B2C2． 四、解答题（二）（本大题共3小题，21题8分，22、23题各10分，共28分） 21 某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元. （1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率； （2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元. 22. 图1所示的是一款非常畅销的简约落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意调节，图2所示的是其侧面示意图，其中OD为镜面，EF为放置物品的收纳架，AB，AC为等长的支架，BC为水平地面，已知，． （1）求支架顶点A到地面BC的距离． （2）如图3，将镜面顺时针旋转15°，求此时收纳镜顶部端点O到地面BC的距离． （结果都精确到1cm，参考数据：，） 23. 如图，直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与双曲线y＝(x＞0)相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC=2，tan∠BAO=． （1）求一次函数系数a的值； （2）求双曲线的解析式； （3）若点Q为双曲线上点P右侧一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q，C，H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC． （1）求∠ADB度数； （2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由； （3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O的半径． 25. 如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当时，求t的值； （3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第一学期期末考试 九年级数学试卷 （考试时间120分钟，满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的判断能力，解题的关键是掌握中心对称的定义，根据中心对称的定义，把一个图形绕着某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称．结合题目中的图形逐个判断即可解答． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称，不符合题意； C、是中心对称，符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称，不符合题意； 故选：C． 2. 将一元二次方程通过配方后所得的方程是（      ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】移项后，两边同时加上一次项系数一半的平方即可. 【详解】解：x2-2x-2=0 移项得，x2-2x=2 两边加1得，x2-2x+1=1+2 ∴（x-1）2=3， 故选C． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟悉掌握配方法的步骤是解决本题的关键． 3. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据主视图就是从正面看到的图形即可解答． 【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层右边一个小正方形，第三层右边一个小正方形， 故答案为A． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握主视图、俯视图、左视图的概念是解答本题的关键． 4. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，解题的关键是掌握，对称轴为直线，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 故选：A． 5. 圆心在原点O，半径为5的⊙O，点P（4，﹣3）与⊙O的位置关系是（　　） A. 在⊙O内 B. 在⊙O上 C. 在⊙O外 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点的坐标求出的长度，再比较与圆的半径，判断点与圆的位置关系. 【详解】解：∵OP＝， ∴d＝r＝5， ∴根据点到圆心距离等于半径，则点P在圆上． 故选：B． 【点睛】本题结合勾股定理考查点与圆的位置关系，熟练掌握判断方法是解答关键. 6. 下列说法正确的是（ ） A. “清明时节雨纷纷”是必然事件 B. 为了了解某小区居民新冠疫苗注射情况，可以采用全面调查方式进行 C. 一组数据2，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数都是4.5 D. 甲、乙两组队员身高数据的方差分别为，，那么甲组队员身高比较整齐 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了事件的分类，调查方式的选择，众数、中位数、平均数等统计量，方差的意义，根据相关知识，逐项进行判断即可. 【详解】A. “清明时节雨纷纷”是随机事件，选项错误，不符合题意； B. 为了了解某小区居民新冠疫苗注射情况，可以采用全面调查方式进行，选项正确，符合题意 C. 一组数据2，5，4，5，6，7的众数是5，中位数是5，平均数是，故选项错误，不符合题意； D. 甲、乙两组队员身高数据的方差分别为，，那么乙队员身高比较整齐，故选项错误，不符合题意； 故选：B 7. 若点、、都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数解析式可知每个象限中，随的增大而减小，由此即可求解，掌握反比例函数的性质增减性是解题的关键． 【详解】解：根据题意，反比例函数的图象经过第一、三象限，每个象限中， 随的增大而减小， ∵， ∴，即，   故选：B ． 8. 已知ABC与DEF是位似图形，且ABC与DEF的周长比为，则ABC与DEF的相似比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据周长比等于相似比直接可以得到答案． 【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，且△ABC与△DEF位似比为 ， ∴△ABC与△DEF的相似比等于周长之比，即等于． 故选C． 【点睛】此题重点考查学生对位似图形的理解，掌握周长比等于相似比是解题的关键． 9. 在中，，若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理可判断A，根据锐角三角函数的定义可判断B、C、D． 【详解】解：A.BC=，故不正确； B. ∵sinA=，tanB=，∴，故不正确； C. ，正确； D. ∵tanA=，cosB=，∴，故不正确； 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在Rt△ABC中，若∠C=90°，则∠A的正弦等于∠A的对边比斜边， ∠A的余弦等于∠A的邻边比斜边，∠A的正切等于∠A的对边比邻边． 10. 函数y=x2+bx+c与y=x图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0． 其中正确的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点， ∴b2﹣4c＜0；故①错误． 当x=1时，y=1+b+c=1，故②错误． ∵当x=3时，y=9+3b+c=3， ∴3b+c+6=0．故③正确． ∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值， ∴x2+bx+c＜x， ∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确． 综上所述，正确的结论有③④两个， 故选B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 【答案】k＞1. 【解析】 【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，∴△=（-2）2-4×1×k=4-4k＜0，解得k＞1. 考点：一元二次方程根的判别式. 12. 已知点和关于原点对称，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称点的特点，有理数的乘方运算，根据点关于原点对称，则横坐标、纵坐标均为相反数，即点关于原点对称的点，可求出的值，代入后，根据有理数的乘方运算即可求解，掌握关于原点对称点的特点是解题的管家． 【详解】解：根据题意得，， ∴， 故答案为：1 ． 13. 已知，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据所求代数式，将已知中的变形得到，整体代入即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值，根据所求代数式的特征，恒等变形为已知等式的形式，整体代入求解是解决问题的关键． 14. 从－1，0，，π，中随机任取一数，取到无理数的概率是______ 【答案】 【解析】 【详解】∵中π和 是无理数， ∴P(取到无理数)=2÷5=， 故答案是： 15. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，过点作轴于点，点是一次函数的图象与轴的交点，则的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据题意，设，根据即可求解． 【详解】解：∵反比例函数与一次函数交于点， ∴设， 如图所示，过点作轴，且轴，则， ∴， 故答案为： ． 16. 如图，在中，，点为上一点，以为圆心，长为半径的圆与相切于点，交于另一点，点为优弧上一动点，则图中阴影部分面积的最大值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形的性质，切线的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算，理解等底时，高越大，面积越大，掌握扇形面积的计算方法是解题的关键． 如图所示，连接，根据切线的性质，可求出，根据可求出的值，因为弓形的面积是定值，当的面积最大时，阴影部分的面积最大，如图，过点作，反向延长交于点，连接，当点重合时，的面积最大，即最大值为的面积，根据圆的基础知识可得是等边三角形，可求出，， 根据可求出弓形的面积，由此即可求解阴影部分的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵切于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∵弓形的面积是定值， ∴当的面积最大时，阴影部分的面积最大， 如图，过点作，反向延长交于点，连接，当点重合时，的面积最大，即最大值为的面积， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴图中阴影部分面积的最大值为：， 故答案为：． 三、解答题一（本大题有4小题，17、18小题各4分，19、20题各6分，共20分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握锐角三角函数的计算，绝对值的性质，二次根式的加减运算，负整数指数幂的运算是解题的关键． 【详解】解： ． 18. 解方程：. 【答案】x1=-7，x2=5 【解析】 【分析】根据十字相乘法进行求解，即可得到答案. 【详解】根据十字相乘法将变形得到，解得x1=-7，x2=5. 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握十字相乘法. 19. A，B两个不透明的盒子里分别装有三张卡片，其中A盒里三张卡片上分别标有数字1，2，3，B盒里三张卡片上分别标有数字4，5，6，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀． （1）从A盒里班抽取一张卡、抽到的卡片上标有数字为奇数的概率是_______； （2）从A盒，B盒里各随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片上标有的数字之和大于7的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据简单的概率公式进行计算即可； （2）用列表法列出所有等可能的情况，即可得出概率． 【详解】解：（1）A盒里有三张卡片上，有两张是奇数， ∴抽到的卡片上标有数字为奇数的概率是， 故答案为：； （2）根据题意可列表格如下： B A 4 5 6 1 2 3 总共有9种结果，每种结果出现可能性相同，其中两张卡片数字之和大于7的有三种：， （两张卡片数字之和大于7）． 【点睛】本题考查了概率的计算和用列表法或树状图法求概率，掌握计算方法是解题关键． 20. 如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，5），B（﹣4，1），和C（﹣1，3）． （1）作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点A、B、C的对称点A1、B1、C1的坐标． （2）作出将△ABC绕着点B顺时针旋转90°的△A2B2C2． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据作中心对称图形的方法与步骤，先找到三个顶点的对称点，再连接即可；根据关于原点中心对称的点的坐标的特征解答. （2）根据旋转的特征与性质先将两条边旋转找到对应线段，再连接. 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．A1（2，﹣5），B1（4，﹣1），C1（1，﹣3）． （2）如图，△A2B2C2即为所求． 【点睛】本题考查了作中心对称图形的方法与步骤，旋转图形的作法等，熟练掌握作图的方法是解答关键. 四、解答题（二）（本大题共3小题，21题8分，22、23题各10分，共28分） 21. 某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元. （1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率； （2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元. 【答案】10%；3327.5万元 【解析】 【分析】（1）一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2014年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2014年的基础上再增长x，就是2015年的教育经费数额，即可列出方程求解． （2）利用2015年的经费×（1+增长率）即可． 【详解】解：（1）设增长率为x，根据题意2014年为2500（1+x）万元，2015年为． 则， 解得（不合题意舍去）． 答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%． （2）3025×（1+10%）=3327.5（万元）． 故根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元． 22. 图1所示的是一款非常畅销的简约落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意调节，图2所示的是其侧面示意图，其中OD为镜面，EF为放置物品的收纳架，AB，AC为等长的支架，BC为水平地面，已知，． （1）求支架顶点A到地面BC的距离． （2）如图3，将镜面顺时针旋转15°，求此时收纳镜顶部端点O到地面BC的距离． （结果都精确到1cm，参考数据：，） 【答案】（1）约为113cm （2）约为151cm 【解析】 【分析】（1）过点A作于I．根据线段的和差关系求出AB的长度，再根据直角三角形的边角关系即可求出AI的长度； （2）过点O作于G．过点A作于H．根据等边对等角，三角形内角和定理，角的和差关系求出∠OAC，根据矩形的判定定理和性质，平行线的性质，角的和差关系求出HG的长度和∠OAH，根据直角三角形的边角关系求出OH的长度，再根据线段的和差关系即可求出OG的长度． 【小问1详解】 解：如下图所示，过点A作于I， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 答：支架顶点A到地面BC的距离约为113cm． 【小问2详解】 解：如下图所示，过点O作于G．过点A作于H， ∵AB=AC，∠ABC=75°， ∴∠ACB=∠ABC=75°， ∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=30°， ∵镜面顺时针旋转15°，即∠DAB=15°， ∴， ∵AI⊥BC，OG⊥BC，AH⊥OG， ∴四边形AIGH是矩形， ∴，， ∴∠HAC=∠ACB=75°， ∴∠OAH=∠OAC-∠HAC=60°， ∴， ∴， 答：此时收纳镜顶部端点O到地面BC的距离约为151cm． 【点睛】本题考查线段的和差关系、解直角三角形的实际应用、等边对等角、三角形内角和定理、角的和差关系、矩形的判定定理和性质、平行线的性质，综合应用这些知识点是解题关键． 23. 如图，直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与双曲线y＝(x＞0)相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC=2，tan∠BAO=． （1）求一次函数系数a的值； （2）求双曲线的解析式； （3）若点Q为双曲线上点P右侧一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q，C，H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标． 【答案】（1）a=； （2）y=； （3）Q（4，1）或Q（1+，2-2） 【解析】 【分析】（1）根据一次函数和三角函数的性质，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，根据一次函数和双曲线函数图像的性质分析，即可得到答案； （3）设Q（a，b），根据双曲线的性质，得b=，根据相似三角形的性质，通过列分式方程并求解，即可得到答案． 【小问1详解】 ∵直线y=ax+1 ∴当x=0时，y=1， ∴B（0，1）， ∴BO=1， ∵tan∠BAO=， ∴AO=2， ∴A（-2，0）， 将A（-2，0）代入一次函数解析式得-2a+1=0， ∴a=； 【小问2详解】 ∵直线y=x+1与与双曲线y＝(x＞0)相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC=2， 将y=2代入y=x+1，得x=2， ∴P（2，2） 将P（2，2）代入y=，得k=4， ∴双曲线的解析式为y=； 【小问3详解】 如图： 设Q（a，b）， ∵Q（a，b）在y=上， ∴b=， 当△CHQ∽△AOB时，可得， 即， ∴a-2=2b， ∴a-2=， ∴a=4或a=-2（舍去）， 经检验，a=4是原方程a-2=的解 ∴Q（4，1）； 当△QHC∽△AOB时，可得， 即， ∴2a-4=， 解得：a=1+或a=1-（舍）， 经检验，a=1+是原方程2a-4=的解 ∴Q（1+，2-2）， 综上所述，Q（4，1）或Q（1+，2-2）． 【点睛】本题考查了一次函数、双曲线、三角函数、分式方程、相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握双曲线、三角函数、相似三角形的性质，从而完成求解． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC． （1）求∠ADB的度数； （2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由； （3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O的半径． 【答案】（1）45°；（2）EA2+CF2＝EF2，理由见解析；（3）6 【解析】 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角及等腰三角形的性质和互余关系可得答案； （2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2=EF2．如图2，设∠ABE=α，∠CBF=β，先证明α+β=45°，再过B作BN⊥BE，使BN=BE，连接NC，判定△AEB≌△CNB（SAS）、△BFE≌△BFN（SAS），然后在Rt△NFC中，由勾股定理得：CF2+CN2=NF2，将相关线段代入即可得出结论； （3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2=EF2，变形推得S△ABC=S矩形BGKH，S△BGM=S四边形COMH，S△BMH=S四边形AGMO，结合已知条件S四边形AGMO：S四边形CHMO=8：9，设BG=9k，BH=8k，则CH=3+k，求得AE的长，用含k的式子表示出CF和EF，将它们代入EA2+CF2=EF2，解得k的值，则可求得答案． 【详解】解：（1）如图1， ∵AC为直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ACB+∠BAC＝90°， ∵AB＝BC， ∴∠ACB＝∠BAC＝45°， ∴∠ADB＝∠ACB＝45°； （2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下： 如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β， ∵AD∥BF， ∴∠EBF＝∠ADB＝45°， 又∠ABC＝90°， ∴α+β＝45°， 过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC， ∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN， ∴△AEB≌△CNB（SAS）， ∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°， ∴∠FCN＝90°． ∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF， ∴△BFE≌△BFN（SAS）， ∴EF＝FN， ∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2， ∴EA2+CF2＝EF2； （3）如图3，延长GE，HF交于K， 由（2）知EA2+CF2＝EF2， ∴EA2+CF2＝EF2， ∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK， ∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH＝S△EFK+S五边形BGEFH， 即S△ABC＝S矩形BGKH， ∴S△ABC＝S矩形BGKH， ∴S△GBH＝S△ABO＝S△CBO， ∴S△BGM＝S四边形COMH，S△BMH＝S四边形AGMO， ∵S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9， ∴S△BMH：S△BGM＝8：9， ∵BM平分∠GBH， ∴BG：BH＝9：8， 设BG＝9k，BH＝8k， ∴CH＝3+k， ∵AG＝3， ∴AE＝3， ∴CF＝（k+3），EF＝（8k﹣3）， ∵EA2+CF2＝EF2， ∴， 整理得：7k2﹣6k﹣1＝0， 解得：k1＝﹣（舍去），k2＝1． ∴AB＝12， ∴AO＝AB＝6， ∴⊙O的半径为6． 【点睛】本题属于圆的综合题，考查了圆的相关性质及定理、全等三角形的判定与性质、多边形的面积公式、勾股定理及解一元二次方程等知识点，熟练运用相关性质及定理是解题的关键． 25. 如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当时，求t的值； （3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值． 【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）t的值为；（3）当△PDM是等腰三角形时，t＝1或t＝﹣1． 【解析】 【分析】（1）求直线y=-x+4与x轴交点B，与y轴交点C，用待定系数法即求得抛物线解析式． （2）根据点B、C坐标求得∠OBC=45°，又PE⊥x轴于点E，得到△PEB是等腰直角三角形，由t求得BE=PE=t，即可用t表示各线段，得到点M的横坐标，进而用m表示点M纵坐标，求得MP的长．根据MP∥CN可证，故有，把用t表示的MP、NC代入即得到关于t的方程，求解即得到t的值． （3）因为不确定等腰△PDM的底和腰，故需分3种情况讨论：①若MD=MP，则∠MDP=∠MPD=45°，故有∠DMP=90°，不合题意；②若DM=DP，则∠DMP=∠MPD=45°，进而得AE=ME，把含t的式子代入并解方程即可；③若MP=DP，则∠PMD=∠PDM，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF进而得CF=CD．用t表示M的坐标，求直线AM解析式，求得AM与y轴交点F的坐标，即能用t表示CF的长．把直线AM与直线BC解析式联立方程组，解得x的值即为点D横坐标．过D作y轴垂线段DG，得等腰直角△CDG，用DG即点D横坐标，进而可用t表示CD的长．把含t的式子代入CF=CD，解方程即得到t的值． 【详解】（1）直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4 ∴C（0，4） 当y＝﹣x+4＝0时，解得：x＝4 ∴B（4，0） ∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点 ∴ 解得： ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4 （2）∵B（4，0），C（0，4），∠BOC＝90° ∴OB＝OC ∴∠OBC＝∠OCB＝45° ∵ME⊥x轴于点E，PB＝t ∴∠BEP＝90° ∴Rt△BEP中， ∴， ∴ ∵点M在抛物线上 ∴， ∴ ， ∵PN⊥y轴于点N ∴∠PNO＝∠NOE＝∠PEO＝90° ∴四边形ONPE是矩形 ∴ON＝PE＝t ∴NC＝OC﹣ON＝4﹣t ∵MP∥CN ∴△MPQ∽△NCQ ∴ ∴ 解得：（点P不与点C重合，故舍去） ∴t值为 （3）∵∠PEB＝90°，BE＝PE ∴∠BPE＝∠PBE＝45° ∴∠MPD＝∠BPE＝45° ①若MD＝MP，则∠MDP＝∠MPD＝45° ∴∠DMP＝90°，即DM∥x轴，与题意矛盾 ②若DM＝DP，则∠DMP＝∠MPD＝45° ∵∠AEM＝90° ∴AE＝ME ∵y＝﹣x2+3x+4＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝4 ∴A（﹣1，0） ∵由（2）得，xM＝4﹣t，ME＝yM＝﹣t2+5t ∴AE＝4﹣t﹣（﹣1）＝5﹣t ∴5﹣t＝﹣t2+5t 解得：t1＝1，t2＝5（0＜t＜4，舍去） ③若MP＝DP，则∠PMD＝∠PDM 如图，记AM与y轴交点为F，过点D作DG⊥y轴于点G ∴∠CFD＝∠PMD＝∠PDM＝∠CDF ∴CF＝CD ∵A（﹣1，0），M（4﹣t，﹣t2+5t），设直线AM解析式为y＝ax+m ∴ 解得： ， ∴直线AM： ∴F（0，t） ∴CF＝OC﹣OF＝4﹣t ∵tx+t＝﹣x+4，解得：， ∴， ∵∠CGD＝90°，∠DCG＝45° ∴， ∴ 解得： 综上所述，当△PDM是等腰三角形时，t＝1或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为列方程的依据． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$