精品解析：贵州省黔西南州金成实验学校2023-2024学年高二下学期期末检测数学试题

贵州省黔西南州金成实验学校2023-2024学年高二下学期期末数学试卷 一､单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 样本数据16，21，18，28，14，20，22，24的第75百分位数为（ ） A. 16 B. 17 C. 23 D. 24 2. 随机变量的分布列为 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 若的展开式中的二项式系数和为A，各项系数和为B，则（　　） A. 33 B. 31 C. -33 D. -31 4. 若，则（ ）． A. 0 B. 35 C. 70 D. 5. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风叶”，则从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点，则这两个顶点取自同一片“风叶”的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 2021年3月全国两会上，“碳达峰”碳中和”备受关注.为应对气候变化，我国提出“二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和”等庄严的目标承诺.在今年的政府工作报告中，“做好碳达峰､碳中和工作”被列为2021年重点任务之一；“十四五”规划也将加快推动绿色低碳发展列入其中.我国自1981年开展全民义务植树以来，全国森林面积呈线性增长，第三次全国森林资源清查的时间为1984﹣1988年，每5年清查一次，历次清查数据如表： 第次 3 4 5 6 7 8 9 森林面积(亿平方米) 1.25 1.34 1.59 1.75 1.95 2.08 2.20 经计算得到线性回归直线为(参考数据：)，据此估算我国森林面积在第几次森林资源清查时首次超过3亿平方米（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 7. 下列四个命题中，正确的有（ ） ①两个变量间的相关系数越小，说明两变量间的线性相关程度越低； ②命题：“，”的否定：“，”； ③用相关指数来刻画回归效果，若越大，则说明模型的拟合效果越好； ④若，，，则. A. ①③④ B. ①④ C. ③④ D. ②③ 8. 托马斯·贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率"的问题中得到了一个公式：．这个定理在实际生活中有着重要的应用价值．假设某种疾病在所有人群中的感染率是，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为，即已知患病情况下，的可能性可以检查出阳性，正常人的可能性检查为正常．如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为0.01098，请你用这个公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分.） 9. 用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩满分为分，成绩都是整数中抽取一个样本量为的样本，其中男生成绩数据个，女生成绩数据个，再将个男生成绩样本数据分为组：，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图同一组的数据用该组的中间值代表则下列说法中正确的是（ ） A. 男生成绩样本数据的平均数为 B. 估计有的男生数学成绩在分以内 C. 在和内的两组男生成绩中，随机抽取两个进行调查，则调查对象来自不同分组的概率为 D. 若男生成绩样本数据的方差为，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为和，则总样本的方差为 10. （多选）若函数在上满足：对任意的，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（ ） A. B. C. D. 11. 对于函数，下列结论正确的（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若恒成立，则 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数，则曲线在处的切线方程为___________. 13. 宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其代表作有秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》.现有数学著作《数书九章》，《测圆海镜》，《益古演段》，《详解九章算法》，《杨辉算法》，《算学启蒙》，《四元玉鉴》，共七本，从中任取2本，至少含有一本杨辉的著作的概率是__________. 14. 随着《生物多样性公约》第十五次缔约方大会(COP15)重新确定于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办，“生物多样性”的目标､方法和全球通力合作，又成为国际范围的热点关注内容.昆明市市花为云南山茶花，又名滇山茶，原产云南，国家二级保护植物.为了监测滇山茶的生长情况，从不同林区随机抽取100株滇山茶测量胸径D(厘米)作为样本，通过数据分析得到，若将的植株建档重点监测，据此估算10000株滇山茶建档的约有______株.附∶若，则，. 四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 有个型号和形状完全相同的纳米芯片，已知其中有两件是次品，现对产品随机地逐一检测. （1）求检测过程中两件次品不相邻的概率； （2）设检测完后两件次品中间相隔正品的个数为，求的分布列和数学期望. 16. 地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望； （3）转化为百分制后，规定成绩在的为A等级，成绩在的为B等级，其它为C等级．以样本估计总体，用频率代替概率．从所有参加考试的同学中随机抽取3人，求获得等级的人数不少于2人的概率. 17. 已知函数，，. （1）求函数的单调区间； （2）若且恒成立，求的最小值. 18. 2021年某公司为了提升一项产品的竞争力和市场占有率，对该项产品进行了科技创新和市场开发，经过一段时间的运营后，统计得到x，y之间的五组数据如下表： x 1 2 3 4 5 y 9 11 14 26 20 其中，x（单位：百万元）是科技创新和市场开发的总投入，y（单位：百万元）是科技创新和市场开发后的收益. （1）求相关系数r的大小（精确到0.01），并判断科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x的线性相关程度； （2）该公司对该产品的满意程度进行了调研，在调研100名男女消费者中，得到的数据如下表： 满意 不满意 总计 男 45 10 55 女 25 20 45 总计 70 30 100 是否有99%的把握认为消费者满意程度与性别有关？ （3）对（2）中调研的45名女消费者，按照其满意程度进行分层抽样，从中抽出9名女消费者到公司进行现场考察，再从这9名女消费者中随机抽取4人进行深度调研，设这4人中选择“满意”的人数为X，求X的分布列及数学期望. 参考公式：①； ②，其中. 临界值表： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 参考数据：. 19. ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18. 假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个. （1）求小张能全部回答正确的概率； （2）求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率； （3）在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省黔西南州金成实验学校2023-2024学年高二下学期期末数学试卷 一､单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 样本数据16，21，18，28，14，20，22，24的第75百分位数为（ ） A. 16 B. 17 C. 23 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数计算规则计算可得. 【详解】将样本数据从小到大排列为：14，16，18，20，21，22，24，28， 又，所以第百分位数为. 故选：C 2. 随机变量的分布列为 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分布列性质和数学期望公式可求得的值，由方差的公式可计算得到结果. 【详解】由分布列性质知：，解得：； ，； . 故选：A. 3. 若的展开式中的二项式系数和为A，各项系数和为B，则（　　） A. 33 B. 31 C. -33 D. -31 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式系数和的性质求得，令，求得各项系数和为，即可求解. 【详解】由的展开式中的二项式系数和为，可得， 令，可得各项系数和为， 所以. 故选：A. 4. 若，则（ ）． A. 0 B. 35 C. 70 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先变形，再利用二项式展开式的通项求出即得解. 【详解】由题得， 则展开式的通项为， 令得，, 令得，, 所以0. 故选：A 5. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风叶”，则从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点，则这两个顶点取自同一片“风叶”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算得到基本事件总数和满足题意的基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果. 【详解】从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点的基本事件有：个， 其中这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有：个， 所求概率. 故选：A. 6. 2021年3月全国两会上，“碳达峰”碳中和”备受关注.为应对气候变化，我国提出“二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和”等庄严的目标承诺.在今年的政府工作报告中，“做好碳达峰､碳中和工作”被列为2021年重点任务之一；“十四五”规划也将加快推动绿色低碳发展列入其中.我国自1981年开展全民义务植树以来，全国森林面积呈线性增长，第三次全国森林资源清查的时间为1984﹣1988年，每5年清查一次，历次清查数据如表： 第次 3 4 5 6 7 8 9 森林面积(亿平方米) 1.25 1.34 1.59 1.75 1.95 2.08 2.20 经计算得到线性回归直线为(参考数据：)，据此估算我国森林面积在第几次森林资源清查时首次超过3亿平方米（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】先根据回归方程过样本中心点求得，再解不等式，即得结果. 【详解】解：由题意可知，， ， 又因为， 则， 故， 令，得，又为整数， 所以，为整数， 即估算我国森林面积在第14次森林资源清查时首次超过3亿平方米. 故选：C. 7. 下列四个命题中，正确的有（ ） ①两个变量间的相关系数越小，说明两变量间的线性相关程度越低； ②命题：“，”的否定：“，”； ③用相关指数来刻画回归效果，若越大，则说明模型的拟合效果越好； ④若，，，则. A. ①③④ B. ①④ C. ③④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据线性相关系数与线性相关性强弱的关系可以判断①；利用求存在量词命题的否定规则可判断②；根据相关指数与模型的拟合效果的关系可以判断③；借助中间量“0”和“1”即可判断④. 【详解】对于①，根据线性相关系数，越大两个变量的线性相关性越强，不正确； 对于②，命题：“，”的否定是：“，”，不正确； 对于③，根据相关指数的计算公式及与残差平方和的关系，越大，残差平方和越小，模拟效果越好，正确； 对于④，；；，故，正确. 正确命题的判断：③④. 故选：C. 8. 托马斯·贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率"的问题中得到了一个公式：．这个定理在实际生活中有着重要的应用价值．假设某种疾病在所有人群中的感染率是，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为，即已知患病情况下，的可能性可以检查出阳性，正常人的可能性检查为正常．如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为0.01098，请你用这个公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】记一个人得病为事件A，检测结果为阳性为事件B，得，从而计算求出得到答案. 【详解】记一个人得病为事件A，检测结果为阳性为事件B， 则，，， 所以， 所以在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为， 故选：C． 二､多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分.） 9. 用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩满分为分，成绩都是整数中抽取一个样本量为的样本，其中男生成绩数据个，女生成绩数据个，再将个男生成绩样本数据分为组：，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图同一组的数据用该组的中间值代表则下列说法中正确的是（ ） A. 男生成绩样本数据的平均数为 B. 估计有的男生数学成绩在分以内 C. 在和内的两组男生成绩中，随机抽取两个进行调查，则调查对象来自不同分组的概率为 D. 若男生成绩样本数据的方差为，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为和，则总样本的方差为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用频率分布直方图及相关数字特征的计算公式可判断AB，根据古典概型概率公式可判断C，利用按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系进行求解判断D. 【详解】对于选项A，根据频率分布直方图有，男生成绩样本数据的平均数，故A正确； 对于选项B，根据频率分布直方图有，男生数学成绩在分以内的人数的频率为，所以估计有的男生数学成绩在分以内，故B错误； 对于选项C，根据频率分布直方图有，在和内的男生人数分别为6人、2人，随机抽取两个进行调查，则调查对象来自不同分组的概率为，故C正确； 对于选项D，设女生成绩样本数据的平均数为，则总样本的平均数， 所以总样本的方差为，故D错误. 故选：AC. 10. （多选）若函数在上满足：对任意的，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先通过分析，得到若在上单调递增，则函数为“理想函数”，然后依次判断四个选项能否满足题意. 【详解】不妨设，则由题意可得，即，由单调性定义可知，函数在上单调递增，即若在上单调递增，则称函数为“理想函数”． A选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义； B选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义； C选项中，该函数在上单调递减，不符合“理想函数”的定义； D选项中．该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义． 故选：ABD． 11. 对于函数，下列结论正确的（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得，得到的单调区间，可判定A正确；根据的单调性，结合当时，，当时，，画出的图象，可判定B错误；根据的单调性，得到，结合，可判定C正确；转化为在恒成立，令，求得，得到函数的单调性与，可判定D正确. 【详解】由函数，可得， 令，解得， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，所以A正确； 当时，，当时，， 则函数的图象，如图所示， 所以函数有且仅有一个零点，所以B错误； 由函数的图象，可得， 因为，所以，所以C正确； 若在恒成立，则在恒成立， 令，可得， 当时，；当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以，所以D正确. 故选：ACD. 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数，则曲线在处的切线方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程. 【详解】，，又， 在处的切线方程为，即. 故答案为：. 13. 宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其代表作有秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》.现有数学著作《数书九章》，《测圆海镜》，《益古演段》，《详解九章算法》，《杨辉算法》，《算学启蒙》，《四元玉鉴》，共七本，从中任取2本，至少含有一本杨辉的著作的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】求一本也不含杨辉的著作的概率，再用1减它即可. 【详解】所求概率 故答案为： 14. 随着《生物多样性公约》第十五次缔约方大会(COP15)重新确定于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办，“生物多样性”的目标､方法和全球通力合作，又成为国际范围的热点关注内容.昆明市市花为云南山茶花，又名滇山茶，原产云南，国家二级保护植物.为了监测滇山茶的生长情况，从不同林区随机抽取100株滇山茶测量胸径D(厘米)作为样本，通过数据分析得到，若将的植株建档重点监测，据此估算10000株滇山茶建档的约有______株.附∶若，则，. 【答案】228 【解析】 【分析】由题设知，结合正态分布的对称性求，进而可求10000株滇山茶建档的株数. 【详解】由题意知：，而， ∴， ∴10000株滇山茶建档的约有228株. 故答案为：228. 四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 有个型号和形状完全相同的纳米芯片，已知其中有两件是次品，现对产品随机地逐一检测. （1）求检测过程中两件次品不相邻的概率； （2）设检测完后两件次品中间相隔正品的个数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用插空法求出符合条件的事件数，再由古典概型计算可得； （2）依题意的可能取值为、、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望. 【小问1详解】 记检测过程中两件次品不相邻为事件， 依题意即将个芯片排列，其中两件次品不相邻的概率， 所以. 【小问2详解】 依题意的可能取值为、、、， 所以，，， ， 所以的分布列为： 所以. 16. 地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望； （3）转化为百分制后，规定成绩在的为A等级，成绩在的为B等级，其它为C等级．以样本估计总体，用频率代替概率．从所有参加考试的同学中随机抽取3人，求获得等级的人数不少于2人的概率. 【答案】（1）； （2）分布列见解析，数学期望为； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据频率和为列方程计算求解；（2）由分层抽样判断得抽取的成绩在的三组人数为，根据超几何分布计算取对应的概率，从而写出分布列并计算期望；（3）根据频率分布直方图判断出成绩为A,B,C等级的频率分别为，可判断出从所有参加考试的同学中随机抽取3人，获得B等级的人数服从二项分布，利用二项分布计算获得B等级的人数不少于2人的概率. 【小问1详解】 由频率和为可得， 解得. 【小问2详解】 由频率分布直方图可得，成绩在的三组人数比为， 根据分层抽样抽取的成绩在的三组人数为， 所以的可能取值为. ，， ， 所以的分布列为 【小问3详解】 由题意，成绩为A,B,C等级的频率分别为， 设从所有参加考试的同学中随机抽取3人，获得B等级的人数为， 则服从二项分布， 所以获得B等级的人数不少于2人的概率为 17. 已知函数，，. （1）求函数的单调区间； （2）若且恒成立，求的最小值. 【答案】（1）当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）. 【解析】 【分析】（1）求导后，利用导数与函数单调性的关系，对与分类讨论即可得； （2）结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解. 【小问1详解】 （）， 当时，由于，所以恒成立，从而在上递增； 当时，，；，， 从而在上递增，在递减； 综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 令，要使恒成立， 只要使恒成立，也只要使. ， 由于，，所以恒成立， 当时，，当时，， 所以，解得：， 所以的最小值为. 18. 2021年某公司为了提升一项产品的竞争力和市场占有率，对该项产品进行了科技创新和市场开发，经过一段时间的运营后，统计得到x，y之间的五组数据如下表： x 1 2 3 4 5 y 9 11 14 26 20 其中，x（单位：百万元）是科技创新和市场开发的总投入，y（单位：百万元）是科技创新和市场开发后的收益. （1）求相关系数r的大小（精确到0.01），并判断科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x的线性相关程度； （2）该公司对该产品的满意程度进行了调研，在调研100名男女消费者中，得到的数据如下表： 满意 不满意 总计 男 45 10 55 女 25 20 45 总计 70 30 100 是否有99%的把握认为消费者满意程度与性别有关？ （3）对（2）中调研的45名女消费者，按照其满意程度进行分层抽样，从中抽出9名女消费者到公司进行现场考察，再从这9名女消费者中随机抽取4人进行深度调研，设这4人中选择“满意”的人数为X，求X的分布列及数学期望. 参考公式：①； ②，其中. 临界值表： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 参考数据：. 【答案】（1）0.84，科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x具有较强的相关性. （2）有 （3）X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 数学期望为 【解析】 【分析】（1）求出，，，可得及答案； （2）计算出，与临界值比较可得答案； （3）求处X的可能取值及对应概率，可得分布列和期望. 【小问1详解】 由题意可得，， ， ， ∴. ∴“科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x具有较强的相关性. 【小问2详解】 由题意： 满意 不满意 总计 男 45 10 55 女 25 20 45 总计 70 30 100 ∴， ∴有99%的把握认为消费者满意程度与性别有关. 【小问3详解】 易知9人中满意的有5人，不满意的有4人 由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，4， ； ； ； ； ， ∴X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P . 19. ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18. 假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个. （1）求小张能全部回答正确的概率； （2）求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率； （3）在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差. 【答案】（1）； （2）0.9； （3）小张答对题数的期望为8.1，方差为0.09，ChatGPT答对题数的期望为8.1，方差为0.81. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式，即可求得答案； （2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”， 事件表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”，确定相应概率，根据全概率公式，即可求得答案； （3）根据期望以及方差的计算公式，即可求得答案； 【小问1详解】 设小张答对的题数为，则. 【小问2详解】 设事件表示“输入的问题没有语法错误”， 事件表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”， 由题意知，，， 则， ； 【小问3详解】 设小张答对的题数为，则的可能取值是， 且，， 设ChatGPT答对的题数为，则服从二项分布， 则，， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $