精品解析：湖北省咸宁市崇阳县第二高级中学2023-2024学年高一下学期5月质量检测数学试题

崇阳县第二高级中学2024年5月质量检测 数学试卷 一、单选题 1. 已知复数z满足，虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，．若与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. 3 D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 B. 球直径是连接球面上两点并且经过球心的线段 C. 以直角三角形一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 D. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台 4. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. 四边形的周长为 D. 四边形的面积为 5. 已知角满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中给出下列结论，其中正确的结论为（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量） 7. 如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为的边旋转一周后所得如图的一开口容器（下表面密封），是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 二、多选题 9. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 是一个复数 B. 形如的数一定是虚数 C. 两个复数一定不能比较大小 D. 若，则 10. 将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移是个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数的一个对称中心是 C. 若，则 D. 函数的一个对称中心是 11. 已知的内角，，的对边为，，，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则一定是锐角三角形 B. 若，则一定是等边三角形 C. 若，则一定是等腰三角形 D. 若，则一定是等腰三角形 12. 假设，且．当时，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：分别为x轴，y轴正方向上的单位向量，若，则记为，那么下列说法中正确的是（ ） A. 设，则 B. 设，若//，则 C. 设，若，则 D. 设，若与的夹角为，则 三、填空题 13. 已知弧长为的弧所对圆周角为，则这条弧所在圆的半径为____________． 14. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好过的中点．当底面水平放置时，液面高为__________． 15. 在中，，O为三角形的外心，则为______． 16. 若为一个三角形的三边长，则称函数在区间A上为“三角形函数”．已知函数在区间上是“三角形函数”，请解决以下问题： （1）在区间上的值域为________； （2）实数m的取值范围为_____________． 四、解答题 17. 已知复数，其中为虚数单位． （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）若，设，试求的值． 18. 已知，锐角，，. （1）求的值； （2）求的值. 19. 已知，，. （1）求向量，的夹角； （2）求. 20. 如图，已知在直角梯形ABCD中，，，，，若将该图形中阴影部分绕AB所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积与体积. 21. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式，并求函数在上的值域； （2）求方程在区间内的所有实数根之和． 22. 已知的内角，A，B，C的对边为a，b，c，且． （1）求； （2）若的面积为为内角A的角平分线，交边于点D，求线段长的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 崇阳县第二高级中学2024年5月质量检测 数学试卷 一、单选题 1. 已知复数z满足，为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据模长公式结合复数的四则运算求解. 【详解】由题意可知：， 由，可得. 故选：B. 2. 已知向量，，．若与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可. 【详解】因为，，所以， 又且与垂直， 所以，解得. 故选：A 3. 下列说法正确的是（ ） A. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 B. 球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段 C. 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 D. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体的结构特征逐项分析判断. 【详解】对于A：虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形， 所以该四棱柱不一定是正方体，故A错误； 对于B：球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B正确； 对于C：以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥， 以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体， 故C错误； 对于D：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D错误； 故选：B. 4. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. 四边形的周长为 D. 四边形的面积为 【答案】D 【解析】 【分析】利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关. 【详解】如图可知， 四边形的周长为，四边形的面积为. 故选:D. 5. 已知角满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角恒等变换结合齐次式问题运算求解. 【详解】由题意可得：， 整理得，即， 则. 故选：C. 6. 八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中给出下列结论，其中正确的结论为（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量） 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，根据正八边形的性质可求出，对于B，利用向量的加法法则分析判断，对于C，根据向量的减法法则结合正八边形的性质分析判断，对于D，根据投影向量的定义分析判断. 【详解】对于A，因为，所以的夹角为，所以A错误， 对于B，由于四边形不是平行四边形，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以是等腰直角三角形， 所以，， 所以，所以C正确. 结合图形可知在上的投影向量与的方向相反，所以D错误. 故选：C 7. 如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为的边旋转一周后所得如图的一开口容器（下表面密封），是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出的最小值就是的长，求解即可． 【详解】解：依题意可得圆柱的底面半径，高 将圆柱的侧面（一半）展开后得矩形，其中，， 问题转化为在上找一点，使最短， 作关于的对称点，连接，令与交于点， 则得的最小值就是为． 故选：A 8. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用正余弦定理可确定边角关系，进而可判定三角形形状. 【详解】在中，由正弦定理得，而， ∴ ，即， 又∵、为的内角，∴， 又∵，∴， ∴由余弦定理得：，∴， ∴为等边三角形. 故选：B. 二、多选题 9. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 是一个复数 B. 形如的数一定是虚数 C. 两个复数一定不能比较大小 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的概念逐项分析即得. 【详解】由复数定义可知A命题正确； 形如的数，当时，它不是虚数，故B命题错误； 若两个复数全实数，则可以比较大小，故C命题错误； 两个虚数不能比较大小，故D命题错误． 故选：BCD． 10. 将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移是个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数的一个对称中心是 C. 若，则 D. 函数的一个对称中心是 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A、B选项，根据正弦函数的性质即可判定；对于C、D选项，利用三角函数图像变换求解析式，再利用其性质判定选项即可. 【详解】因为，故A正确； 正弦函数的对称中心为，故B错误； 根据三角函数的图象变换可得：， 令，故其对称轴为，若，由对称性可得，显然成立，故C正确； 令，故其对称中心为， 显然无论k取何值，故D错误. 故选：AC 11. 已知的内角，，的对边为，，，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则一定是锐角三角形 B. 若，则一定是等边三角形 C. 若，则一定是等腰三角形 D. 若，则一定是等腰三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】利用余弦定理即可判断A；利用正弦定理化边为角即可判断B；利用正弦定理化边为角结合二倍角的正弦公式即可判断C；利用正弦定理化边为角结合两角和的正弦公式及三角形内角和定理即可判断D. 【详解】对于A，若，则， 则为锐角，但是、两角无法判断其是否为锐角， 如当，，时， ，，为钝角三角形，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，且，所以， 所以为等边三角形，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以，所以或， 所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，因为，所以， 即，则， 又因，所以或（舍去）， 所以为等腰三角形，故D正确. 故选：BD. 12. 假设，且．当时，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：分别为x轴，y轴正方向上的单位向量，若，则记为，那么下列说法中正确的是（ ） A. 设，则 B. 设，若//，则 C. 设，若，则 D. 设，若与的夹角为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意结合平面向量的相关运算逐项分析判断. 【详解】由题意可得：， 对于A：若，则， 可得， 所以，故A正确； 对于B：∵，则， 若//，则有： 当或时，则或，可得成立； 当且时，则存在唯一实数，使得， 则，可得，整理得； 综上所述：若//，则，故B正确； 对于C：∵，则， 可得， 若，则，故C错误； 对于D：∵， 由选项A可得：， 由选项C可得：， 若与夹角为，则， 即，解得， ∵，则，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 13. 已知弧长为的弧所对圆周角为，则这条弧所在圆的半径为____________． 【答案】1 【解析】 【分析】由弧度制公式求解即可得出答案. 【详解】已知弧长为的弧所对圆周角为， 则所对的圆心角为， ，， 故答案为：1. 14. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好过的中点．当底面水平放置时，液面高为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解作答. 【详解】设的面积为a，底面ABC水平放置时，液面高为h， 侧面水平放置时，水的体积为 当底面ABC水平放置时，水的体积为，于是，解得， 所以当底面水平放置时，液面高为12. 故答案为：12 15. 在中，，O为三角形的外心，则为______． 【答案】8 【解析】 【分析】作出图形，利用余弦定理求出角的余弦值，利用同角三角函数的关系求出，再利用正弦定理得到外接圆的半径，再次利用余弦定理求出与的夹角即可求解. 【详解】如图，连接， 在中，由余弦定理可得， ，则， 在中，由正弦定理可得，，则， 所以，在中，由余弦定理可得， ， 所以， 故答案为：. 16. 若为一个三角形的三边长，则称函数在区间A上为“三角形函数”．已知函数在区间上是“三角形函数”，请解决以下问题： （1）在区间上的值域为________； （2）实数m的取值范围为_____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据三角函数的性质求出函数在区间上的值域；再根据三角函数的定义列式可求出结果. 【详解】因为函数， 令，由可得， 则函数可化为，且， 当时，即时，函数取最小值， 当时，即时，函数取最大值， 所以函数在区间上的值域为； 因为函数在区间上是“三角形函数”， 所以，解得， 故答案为：；. 四、解答题 17. 已知复数，其中为虚数单位． （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）若，设，试求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义求解即可； （2）由，则，再通过复数的乘除法计算即可. 【小问1详解】 由题意可得：，且， 解得， 所以的值为； 【小问2详解】 若m＝2，则， 所以， 所以，， 所以. 18. 已知，为锐角，，. （1）求的值； （2）求值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）已知和的值，可求和的值，诱导公式化简后求值； （2），展开后代入已知数据即可求值. 【小问1详解】 ，为锐角，，∴， ，∴，则， 则 【小问2详解】 19. 已知，，. （1）求向量，的夹角； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 利用平面向量数量积的分配律求出,然后代入夹角公式求解即可; 结合中的值,利用平面向量数量积的性质：进行运算，求出的值,然后再开方即可. 【详解】∵,∴， ∵，,∴, 解得,由平面向量数量积的夹角公式得, ∴, ∵∴. （2）因为， 所以 ∴. 【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其夹角公式;考查运算求解能力;属于中档题、常考题型. 20. 如图，已知在直角梯形ABCD中，，，，，若将该图形中阴影部分绕AB所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积与体积. 【答案】，. 【解析】 【分析】首先得到的旋转体是圆台挖去一个半球，利用圆台和球的表面积和体积公式即可. 【详解】由题意知，所求旋转体的表面积由圆台下底面、侧面和一半球面组成. 在直角梯形ABCD中，过D点作DE⊥BC，垂足为E， 在Rt△DEC中，， 所以，，， ∴. 因为圆台的体积， 半球的体积，所以所求几何体的体积为. 21. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式，并求函数在上的值域； （2）求方程在区间内的所有实数根之和． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）由图得，并求解出周期为，从而得，由点在的图象上，可得，从而求解得，即可得；由求得，即可求得函数的值域； （2）作出函数与的图象，可得两个函数在有4个交点，从而得有四个实数根，再利用三角函数的对称性计算得实数根之和. 【小问1详解】 由图可知，， ∴，∴， 又点在的图象上，∴， ∴，，即，， ∵，∴，∴． 当时，，所以，所以． 故函数在上的值域为：． 【小问2详解】 如图，作出函数与的图象， 由图得在上的图象与直线有4个交点， 则方程在上有4个实数根， 设这4个实数根分别为，且， 由，，得，， 所以可知关于直线对称，∴， 关于直线对称，∴， ∴． 22. 已知的内角，A，B，C的对边为a，b，c，且． （1）求； （2）若的面积为为内角A的角平分线，交边于点D，求线段长的最大值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边以及余弦定理求解； （2）根据面积公式求得，再根据等面积得，从而有，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理，得，即， 故. 【小问2详解】 由（1）知， 因为的面积为，所以，解得， 又因为， 所以． 于是, 那么． 所以（当且仅当时等号成立） 故的最大值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $