2.2&2.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式及其解法（2知识点+5题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第一册）

2.2&2.3.1 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式及其解法 课程标准 学习目标 （1）会结合一元二次函数的图象, 判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数, 了解函数的零点与方程根的关系； （2）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程, 了解一元二次不等式的现实意义。能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集 （3）借助一元二次函数的图象, 了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。 （1）掌握二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的关系; （2）掌握一元二次方程根分布问题； （3）会解不含参和含参一元二次不等式.（难点) 知识点01 从函数观点看一元二次方程 一元二次方程，对应的二次函数， 设判别式， （1）当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，，对应二次函数的图象与轴有两个交点，； （2）当时，一元二次方程有两个相等的实数根，对应二次函数的图象与轴有唯一的交点； （3）当时，一元二次方程没有实数根，对应二次函数的图象与轴没有交点。 判别式 二次函数   的图象 一元二次方程 的根 有两个相异实数根 有两个相等实数根 没有实数根 知识点02 一元二次不等式 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： (以下均以为例) 判别式 二次函数   的图象 一元二次方程 的根 有两个相异实数根 有两个相等实数根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 【即学即练1】填表 方程 方程根的情况 二次函数图像 解不等式 【题型一：二次函数与一元二次方程的关系】 例1．已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(n>m)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两个实数根，则α，β，m，n的大小关系是（    ） A．α<m<n<β B．m<α<n<β C．m<α<β<n D．α<m<β<n 变式1-1．二次函数y＝x2－kx－1(k∈R)的图象与x轴交点的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．无法确定 变式1-2．若二次函数的图象与两条坐标轴有三个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 变式1-3．已知函数的图象都在x轴的上方，求实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 二次函数与轴交点的横坐标即是一元二次方程的实数根； 2 二次函数与轴的交点个数，看判别式；若，则有两个交点；若，则有一个交点；若，则没有交点. 【题型二：二次函数零点分布问题】 例2．关于的方程满足下列条件，求的取值范围. (1)有两个正根； (2)一个根大于1，一个根小于1； (3)一个根在内，另一个根在内； 变式2-1．如果关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根，那么的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2-2．若关于的方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 一元二次方程根的分布问题，结合二次函数图象，主要看开口方向、对称轴、判别式和一些特殊点的位置，具体如下： ① 两根与的大小比较(以为例) 分布情况 两根都小于， 即 两根都大于， 即 一根小于，一根大于，即 大致图像 得出的结论 ② 两根分别在区间外 大致图像 得出的结论 ③ 根在区间上的分布(以为例) 分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内 一根内， 另一根在内 大致图像 得出的结论 【题型三：解不含参数的一元二次不等式】 例3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式3-1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 变式3-2．已知命题p：集合，命题q：集合，则p是q的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 变式3-3．已知不等式的解集为，不等式的解集为，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【方法技巧与总结】 1 求解不含参的一元二次不等式，主要结合二次函数图象进行分析； 2 若一元二次方程存在两个实数根，则一元二次不等式可以采取口诀：大于取两边，小于取中间； 3 分式不等式等价于求解不等式； 不等式等价于求解不等式且. 【题型四：解含参数的一元二次不等式】 例4．解下列关于的不等式： (1)；(2)． 变式4-1．若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 变式4-3．若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 求含参的不等式，要注意不等式是否为一元二次不等式；若是，则还要往往从的正负、的实数根的大小，判别式等角度进行分类讨论！ 2 分类讨论要注意做到不重不漏. 【题型五：由一元二次不等式的解确定参数】 例5．已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 变式5-1．若关于x的不等式的解集为，则（    ）． A．， B．， C．， D．， 变式5-2．已知关于的不等式的解集为，则下列选项不正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 变式5-3．已知函数的最小值为0，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（    ） A．9 B．8 C．6 D．4 变式5-4．已知，关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)解关于的不等式． 变式5-5．设函数． (1)若不等式的解集，求的值； (2)若， ①，求的最小值； ②若在R上恒成立，求实数a的取值范围． 【方法技巧与总结】 1 理解一元二次方程与一元二次不等式、二次函数之间的关系。 一、单选题 1．函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 2.已知是方程的两根，且，，实数的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 3.已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C．或 D． 5.已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7.已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 8.若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 10.已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．关于的不等式的解集可以是 B．关于的不等式的解集可以是或 C．函数的图象与轴有一个交点时，可能大于 D．“关于的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“” 11.若关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的解集为 D．的最小值为 三、填空题 12．已知不等式的解集是，则 ． 13.关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 14.已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论 ①； ②； ③； ④. 正确的有 .（填上所有正确的序号）. 四、解答题 15．已知不等式. (1)若不等式的解集是或，求的值； (2)若不等式的解集是，求的取值范围. 16.若，求不等式解集. 17.已知关于的不等式的解集为或. (1)求，的值； (2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 18.已知. (1)当时，求满足的值的集合； (2)求满足的值的集合； (3)当时，恒成立，求满足条件的的取值范围. 19．已知函数． (1)不等式的解集为，求的取值范围； (2)若函数的两个零点在区间内，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2&2.3.1 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式及其解法 课程标准 学习目标 （1）会结合一元二次函数的图象, 判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数, 了解函数的零点与方程根的关系； （2）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程, 了解一元二次不等式的现实意义。能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集 （3）借助一元二次函数的图象, 了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。 （1）掌握二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的关系; （2）掌握一元二次方程根分布问题； （3）会解不含参和含参一元二次不等式.（难点) 知识点01 从函数观点看一元二次方程 一元二次方程，对应的二次函数， 设判别式， （1）当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，，对应二次函数的图象与轴有两个交点，； （2）当时，一元二次方程有两个相等的实数根，对应二次函数的图象与轴有唯一的交点； （3）当时，一元二次方程没有实数根，对应二次函数的图象与轴没有交点。 判别式 二次函数   的图象 一元二次方程 的根 有两个相异实数根 有两个相等实数根 没有实数根 知识点02 一元二次不等式 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： (以下均以为例) 判别式 二次函数   的图象 一元二次方程 的根 有两个相异实数根 有两个相等实数根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 【即学即练1】填表 方程 方程根的情况 二次函数图像 解不等式 解析 方程 方程根的情况 二次函数图像 解不等式 或 无解 【题型一：二次函数与一元二次方程的关系】 例1．已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(n>m)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两个实数根，则α，β，m，n的大小关系是（    ） A．α<m<n<β B．m<α<n<β C．m<α<β<n D．α<m<β<n 【答案】C 【分析】根据方程与函数的关系，结合函数图像以及平移变换，可得答案. 【详解】∵α，β为方程y＝0的两个实数根， ∴α，β为函数y＝(x－m)(x－n)＋2 023的图像与x轴交点的横坐标， 令y1＝(x－m)(x－n)， ∴m，n为函数y1＝(x－m)(x－n)的图像与x轴交点的横坐标，    易知函数y＝(x－m)(x－n)＋2 023的图像可由y1＝(x－m)(x－n)的图像向上平移2 023个单位长度得到， ∴m<α<β<n. 故选：C. 变式1-1．二次函数y＝x2－kx－1(k∈R)的图象与x轴交点的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】C 【详解】由于判别式，故其图象与轴交点的个数是个. 故选C. 变式1-2．若二次函数的图象与两条坐标轴有三个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】由题意可得二次函数的图象与轴有两个不同的交点，且不过，解不等式组即可求解. 【详解】因为二次函数的图象与轴一定有一个交点， 所以若二次函数的图象与两条坐标轴有三个不同的交点， 可得二次函数的图象与轴有两个不同的交点，且不过， 可得 即 ，解得， 所以实数的取值范围是且， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是根据二次函数图象的特点得出二次函数图象与轴有两个不同的交点，且不过. 变式1-3．已知函数的图象都在x轴的上方，求实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论函数的平方项系数是否为零，根据常数函数、一次函数、二次函数的图象性质即可求出k的取值范围. 【详解】因为的图象都在轴上方， ①当时，或， 当时，函数为一次函数，不满足条件； 当时，函数满足条件； 故； ②当时，函数为二次函数， 则，解得； 综上，，即实数k的取值范围为. 故选：B. 【方法技巧与总结】 1 二次函数与轴交点的横坐标即是一元二次方程的实数根； 2 二次函数与轴的交点个数，看判别式；若，则有两个交点；若，则有一个交点；若，则没有交点. 【题型二：二次函数零点分布问题】 例2．关于的方程满足下列条件，求的取值范围. (1)有两个正根； (2)一个根大于1，一个根小于1； (3)一个根在内，另一个根在内； 【答案】(1)； (2) (3). 【分析】（1）根据韦达定理和根的判别式得到不等式，求出； （2）令，设的两个根为，，故只需，求出答案； （3）根据方程一个根在内，另一个根在内，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）令，设的两个根为. 由题得，解得. （2）令，设的两个根为. 若方程的一个根大于1，一个根小于1， 由于，开口向上， 故只需，解得. （3）令，设的两个根为. 若方程一个根在内，另一个根在内， 结合开口向上， 则，解得. 变式2-1．如果关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根，那么的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程有两个不同的正实根，则两根之和大于零，两根之积大于零及，列出不等式组，解出即可. 【详解】因为关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根， 则有， 故选：A 变式2-2．若关于的方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，依题意可得，解得即可. 【详解】令，因为方程在区间上有两个不相等的实数解， 所以，即，解得， 所以的取值范围是． 故选：A． 【方法技巧与总结】 一元二次方程根的分布问题，结合二次函数图象，主要看开口方向、对称轴、判别式和一些特殊点的位置，具体如下： ① 两根与的大小比较(以为例) 分布情况 两根都小于， 即 两根都大于， 即 一根小于，一根大于，即 大致图像 得出的结论 ② 两根分别在区间外 大致图像 得出的结论 ③ 根在区间上的分布(以为例) 分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内 一根内， 另一根在内 大致图像 得出的结论 【题型三：解不含参数的一元二次不等式】 例3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求解一元二次不等式和分式不等式，由充分性、必要性的定义分析即得解 【详解】由， 解得， 由且， 解得， 故 ，充分性不成立； ，必要性成立 故是成立的必要不充分条件 故选：B. 变式3-1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用解一元二次不等式及求指数函数值域将集合进行化简后再判断交集. 【详解】依题意，，，故，故选C． 变式3-2．已知命题p：集合，命题q：集合，则p是q的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】解出集合、，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】或，或， 是的真子集， 因此，是的必要不充分条件. 故选：B 变式3-3．已知不等式的解集为，不等式的解集为，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】解不等式，根据集合的包含关系求解即可. 【详解】由解得，所以， 由解得，所以， 所以集合是集合的真子集， 所以是的必要不充分条件， 故选：C 【方法技巧与总结】 1 求解不含参的一元二次不等式，主要结合二次函数图象进行分析； 2 若一元二次方程存在两个实数根，则一元二次不等式可以采取口诀：大于取两边，小于取中间； 3 分式不等式等价于求解不等式； 不等式等价于求解不等式且. 【题型四：解含参数的一元二次不等式】 例4．解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）将原不等式等价转换为即可求解； （2）由一元二次不等式与一元二次方程根的关系，只需对进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）原不等式等价于，即，． ∵，∴原不等式的解集为． （2）∵的两根为，． ①当即时，，即； ②当即时，，即或； ③当即时，，即或． 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 变式4-1．若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断出，进而解不等式，得到解集. 【详解】因为，所以， 故的解集为. 故选：C 变式4-2．设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对参数进行分类讨论得到一元二次不等式的解集后求解即可. 【详解】对于，当时，变为， 此时解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，此时解集为空集， 当时，解得， 综上讨论，并未在任何情况出现， 故不可能是原不等式解集，故B正确. 故选：B 变式4-3．若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出每一个不等式，然后由不等式组整数解只有，列出关于的不等式组，从而可求出的取值范围. 【详解】解集为， 当时， 的解集为， 因为关于x的不等式组的整数解只有， 所以，即， 当时，的解集为空集，不满足题意， 当时，的解集为，不满足题意， 综上，的取值范围. 故选：D 【方法技巧与总结】 1 求含参的不等式，要注意不等式是否为一元二次不等式；若是，则还要往往从的正负、的实数根的大小，判别式等角度进行分类讨论！ 2 分类讨论要注意做到不重不漏. 【题型五：由一元二次不等式的解确定参数】 例5．已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式与对应方程的关系，由韦达定理得到的关系，再根据一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】关于的一元二次不等式的解集为， 则，且是一元二次方程的两根， 于是，解得， 则不等式化为，即，解得， 所以不等式的解集是． 故选：A 变式5-1．若关于x的不等式的解集为，则（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由题意可得，且的两个根为和1，从而列方程组可求出的值. 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以，且的两个根为和1， 所以，解得，， 故选：B 变式5-2．已知关于的不等式的解集为，则下列选项不正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】C 【分析】由题意可知，和3是方程的两根，且，故A正确；再结合韦达定理可得,代入选项和，解不等式即可判断;当时，有，从而判断选项 【详解】由题意可知和3是方程的两根,且 ， , , , , ，即选项正确； 不等式等价于, ，即选项正确； 不等式的解集为 , 当时，有，即选项错误； ∵不等式等价于，即 , 或,即选项正确. 故选：C. 变式5-3．已知函数的最小值为0，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（    ） A．9 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】先由的最小值为0，得到，再由的解集为，得到的根为，从而利用韦达定理即可求解. 【详解】因为开口向上，最小值为， ， 则， 的解集为，所以是的两个不等实根， 即是的两个不等实根， 所以，则， . 故选：D. 变式5-4．已知，关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)分类讨论，答案见解析. 【分析】（1）根据一元二次方程与不等式的关系，利用韦达定理，即可求解； （2）根据（1）的结果，不等式为，分解因式后，讨论的取值，解不等式. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 所以与是方程的两个实数根， 由根与系数的关系，得， 解得：，； （2）由（1）知不等式为， 即， ①当时，易得不等式的解集为， ②当时，不等式可化为，不等式的解集为或． ③当时，不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为． 变式5-5．设函数． (1)若不等式的解集，求的值； (2)若， ①，求的最小值； ②若在R上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)①9；② 【分析】（1）利用不等式的解集结合一元二次方程根和系数的关系求解即可； （2）①利用基本不等式中“1”的应用求解即可；②把转化为在R上恒成立，利用判别式求解即可. 【详解】（1）若不等式的解集， 则， 所以. 解得. （2）若，即，. ①，则， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为9， ②在R上恒成立， 即在R上恒成立， 故， 解得： 故a的取值范围为 【方法技巧与总结】 1 理解一元二次方程与一元二次不等式、二次函数之间的关系。 一、单选题 1．函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 【答案】A 【分析】确定方程的解的个数即可得． 【详解】，，方程无实根， ∴函数函数y＝－x2＋x－1图象与x轴无交点，交点个数为0． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象与轴的交点问题，由方程的解的个数确定交点个数是基本方法． 2.已知是方程的两根，且，，实数的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化为函数图象与直线交点、函数图象与轴交点的问题可得答案. 【详解】函数的图象为开口向上的抛物线， 如图，由已知可得与轴交点的横坐标为 ， 在抛物线的对称轴的左侧，在抛物线的对称轴的右侧， 可化为， 可得是函数的图象与直线的两个交点的横坐标， 由可得函数在抛物线的对称轴的左侧，在抛物线的对称轴的右侧， 结合图象可得. 故选：A.    3.已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分别解出两个不等式的解集，即可求解. 【详解】因为，解得或， 即，解得或， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 4.关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的分布以及判别式、韦达定理得关系求解. 【详解】当方程没有根时，，即， 解得； 当方程有根，且根都不为负根时，， 解得， 综上，， 即关于x的方程没有一个负根时，， 所以关于x的方程至少有一个负根的充要条件是， 故选:B. 5.已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据二次函数零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】设，由题意可得，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 6.关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知及一元二次不等式的性质可得，讨论a结合原不等式整数解的个数求的范围， 【详解】由恰有2个整数解，即恰有2个整数解， 所以，解得或， ①当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为1和2， 则，即，解得； ②当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为，， 则，即，解得， 综上所述，实数的取值范围为或. 故选：B. 7.已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得且方程的解为，利用韦达定理将用表示，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】因为关于x的一元二次不等式的解集为， 所以且方程的解为， 所以，所以， 则不等式，即为不等式， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 8.若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因式分解得到，对分类讨论，求出不等式的解，再根据条件，即可求出结果. 【详解】由，得到， 当时，不等式的解为，又不等式的解集中恰有4个正整数解，所以， 当时，不等式的解为，不满足题意， 当时，不等式的解为，最多含1个正整数解，不满足题意， 故选：A. 二、多选题 9．已知函数，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】令，解得，根据包含关系结合充分、必要条件分析判断. 【详解】令，整理得，解得， 可知：、、均为的真子集，符合题意，故ABC正确； 且，不合题意，故D错误； 故选：ABC. 10.已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．关于的不等式的解集可以是 B．关于的不等式的解集可以是或 C．函数的图象与轴有一个交点时，可能大于 D．“关于的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“” 【答案】ABC 【分析】ABC选项，可举出反例；D选项，由韦达定理得到，故D错误. 【详解】A选项，当时，，解集为，A正确； B选项，当时，，解得或，B正确； C选项，当时，函数的图象与轴有一个交点， 此时，C正确； D选项，由题意可得两根之积小于0，即，解得， 故“关于的方程有一个正根和一个负根”的充要条件不是，D错误 故选：ABC 11.若关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的解集为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】题意说明的两根为,代入法1得的值，从而可逐项判断. 【详解】根据题意，关于的不等式的解集为， 所以的两根为， 则，解得， 所以，即A错误，B正确； 且为，解得或， 所以的解集为，C正确； ， 所以的最大值为，D错误. 故选：BC 三、填空题 12．已知不等式的解集是，则 ． 【答案】 【分析】根据已知可得，为方程的两个根，根据韦达定理求出a，b，从而得解. 【详解】因为不等式的解集是， 可知，是方程的两个实根，且， 由韦达定理得，解得，， 所以． 故答案为：. 13.关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数图像特征，满足，即得a的取值范围. 【详解】设，开口向上， 由题意知， 即，解得， 所以． 故答案为：． 14.已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论 ①； ②； ③； ④. 正确的有 .（填上所有正确的序号）. 【答案】①②④ 【分析】根据一元二次不等式的解集结合韦达定理判断①④；根据二次函数的性质应用数形结合判断②③. 【详解】，即， ∵的解集是，则的两根为，且， ∴，则， ①、④正确； ，即， ∵的两根为，则与的交点的横坐标为， 且的零点为，如图所示： 则，②正确； 则，③错误； 故答案为：①②④. 四、解答题 15．已知不等式. (1)若不等式的解集是或，求的值； (2)若不等式的解集是，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由一元二次不等式的性质可知方程的两根为，再由韦达定理可解. （2）由二次函数的性质可得关于的不等式组，解出即可. 【详解】（1）由题意可知方程的两个根分别为， 由韦达定理可知，解得，经检验满足题设. （2）若不等式的解集是，即恒成立，则满足，解得. 16.若，求不等式解集. 【答案】答案见解析 【分析】先因式分解，然后对进行分类讨论，从而求得不等式的解集. 【详解】当时，所以原不等式化为， 当时，即时，解原不等式可得或； 当时，即时，原不等式即为，解得； 当时，即时，解得或 综上所述，当时，解原不等式解集为：； 当时，原不等式解集为； 当时，解得. 17.已知关于的不等式的解集为或. (1)求，的值； (2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，利用韦达定理可列出方程组，即得； （2）利用基本不等式求得的最小值，根据恒成立可得，即得. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 所以1和是方程的两个实数根，且， 所以，解得， 即，. （2）由（1）知，于是有， 故， 当且仅当，结合，即时，等号成立， 依题意有，即， 得，即， 所以的取值范围为. 18.已知. (1)当时，求满足的值的集合； (2)求满足的值的集合； (3)当时，恒成立，求满足条件的的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）直接利用一元二次不等式的解法计算即可； （2）带着参数分类讨论解不等式即可； （3）变换主元，利用一次函数的单调性计算不等式即可. 【详解】（1）当时，， 则； （2）易知， 若，则， 若，则或， 若，则，此时， 若，此时， 若，则，此时， 综上所述：时，解集为， 时解集为， 时解集为， 时解集为，时解集为； （3）由题意可知对任意恒成立， 所以，解之得. 19．已知函数． (1)不等式的解集为，求的取值范围； (2)若函数的两个零点在区间内，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得恒成立，分、两种情况讨论； （2）分、两种情况讨论，结合二次方程根的分布得到方程组，解得即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以恒成立， 当，即时，则，解得，显然不符合题意； 当时，则需满足，解得， 即的取值范围为 （2）若函数的两个零点在区间内， 显然， 当，则需满足，即，解得， 当，则需满足，即，解得， 综上可得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$