2.3.2一元二次不等式的应用（2知识点+5题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第一册）

2.3.2 一元二次不等式的应用 课程标准 学习目标 （1）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程, 了解一元二次不等式的现实意义。能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集 （2）借助一元二次函数的图象, 了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。 （1）掌握一元二次不等式恒成立问题; （2）掌握一元二次不等式有解问题； （3）掌握一元二次不等式的实际应用. 知识点01 一元二次不等式 1 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： (以下均以为例) 判别式 二次函数   的图象 一元二次方程 的根 有两个相异实数根 有两个相等实数根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 2 利用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤是 （1）理解题意，分享清楚量与量之间的关系； （2）建立相应的不等关系，把实际问题抽象为一元二次不等式问题； （3）解这个一元二次不等式得到实际问题的解. 知识点02 恒成立问题和存在性问题 1 恒成立问题 ① 恒成立，则； ② 恒成立，则； ③ 恒成立，则； ④ 恒成立，则. 存在性问题 ① 使得成立，则； ② 使得成立，则； ③ ，使得恒成立，则； ④ 使得 恒成立，则。 【即学即练2】若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【题型一：一元二次不等式的实际生活中的应用】 例1．一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（单位：辆）与创造的价值（单位：元）之间有如下的关系：.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产 （填写区间范围）辆摩托车？ 变式1-1．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米售价480元，为了减少木材消耗，决定按征收木材税，这样，每年的木材消耗量减少万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1-3．通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．年，该种玻璃售价为 欧元/平方米，销售量为万平方米． (1)据市场调查，售价每提高欧元/平方米，销售量将减少万平方米；要使销售收入不低于万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米? (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入 万欧元作为技术创新费用，投入万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到多少时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和?并求出此时的售价． 【方法技巧与总结】 理解题意是关键，通过题意得到不等式，在求解不等式时要注意变量在实际问题中的取值范围. 【题型二：一元二次不等式在几何中的应用】 例2．为建设美丽中国，增强民众幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区计划建设一块长为、宽为的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪（如图所示）．如果花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为（    ）    A． B． C． D． 变式2-1．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为 ．    变式2-3．某学校为创建高品质特色高中，准备对校园内现有一处墙角进行规划.如图，墙角线OA和OB互相垂直，学校欲建一条直线型走廊AB，其中AB的两个端点分别在这两墙角线上.    (1)若欲建一条长为10米的走廊，当长度为多少时，的面积最大？ (2)为了使围成区域更加美观并合理利用土地，准备在围成区域内建造一个矩形花围，要求点在上，点在上，且过点，其中米，米，要使围成区域的面积大于18平方米，则的长应在什么范围内？ 【方法技巧与总结】 根据图形的特征得到不等式是关键，有时要用到平面几何的知识点（如全等、相似等），同时几何图形的几何量用变量表示，要注意其取值范围（比如线段肯定是非负数等）. 【题型三：一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 例3．不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 变式3-1．命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 变式3-2．对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 变式3-3．“关于的不等式对上恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 处理不等式恒成立问题要先注意它是否为一元二次不等式，即是否可能； 2 一元二次不等式的解集是等价于， 一元二次不等式的解集是等价于. 【题型四：一元二次不等式在某区间上恒成立问题】 例4．已知函数满足：①；②． (1)求的解析式； (2)若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围． 变式4-1．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4-2．若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式4-3．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 恒成立问题 ① 恒成立，则； ② 恒成立，则； ③ 恒成立，则； ④ 恒成立，则. 2 处理一元二次不等式在某区间恒成立问题，往往有两个思路：一是利用二次函数的图象与性质；二是利用分离参数法，转化为最值问题，受限所学知识，目前常用基本不等式求解. 【题型五：一元二次不等式在某区间上有解问题】 例5．若命题“，”为假命题，则实数可取的最小整数值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 变式5-1．设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（    ） A． B．或 C． D． 变式5-2．若关于x的不等式在上有解，则实数m的最小值为（    ） A．9 B．5 C．6 D． 变式5-3．若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 变式5-4．已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时， （i）解关于x的不等式； （i）若存在 ，使得，求实数a的取值范围. 【方法技巧与总结】 1 存在性问题 ① 使得成立，则； ② 使得成立，则； ③ ，使得恒成立，则； ④ 使得 恒成立，则。 2 处理一元二次不等式在某区间有解问题，往往有两个思路：一是利用二次函数的图象与性质；二是利用分离参数法，转化为最值问题，受限所学知识，目前常用基本不等式求解. 一、单选题 1．设命题p：，（其中m为常数），则“命题p为真命题”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出万本.根据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就减少本.设每本杂志的定价为元，要使得提价后的销售总收入不低于万元，则应满足（    ） A． B． C． D． 3.若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4.若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5.某市有块三角形荒地，如图所示，（单位：米），现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地，其中点分别在线段上，若要求绿地的面积不少于7500平方米，则的长度（单位：米）范围是（    ）      A． B． C． D． 6.已知命题，，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 7.已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 二、多选题 9．“ ” 成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 10.已知关于 x 的不等式在上有解，则实数a的取值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 11.若对任意恒成立，其中，是整数，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．甲厂以千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元．若要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，则的取值范围是 ． 13.已知在上恒成立，则实数的取值范围是 ． 14.已知对任意恒成立，则 ． 四、解答题 15．近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元． (1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ (2)该公司几年后年平均利润最大，最大是多少？ 16.如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，使点，分别在，的延长线上，且对角线过点，已知米，米． (1)若要使矩形的面积不大于平方米，则的长应在什么范围内？ (2)当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值． 17.已知函数． (1)若，解关于的不等式； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 18.2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 19．已知命题：“”是真命题 (1)求实数m的取值集合B； (2)设关于x的不等式的解集为A，若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3.2 一元二次不等式的应用 课程标准 学习目标 （1）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程, 了解一元二次不等式的现实意义。能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集 （2）借助一元二次函数的图象, 了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。 （1）掌握一元二次不等式恒成立问题; （2）掌握一元二次不等式有解问题； （3）掌握一元二次不等式的实际应用. 知识点01 一元二次不等式 1 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： (以下均以为例) 判别式 二次函数   的图象 一元二次方程 的根 有两个相异实数根 有两个相等实数根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 2 利用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤是 （1）理解题意，分享清楚量与量之间的关系； （2）建立相应的不等关系，把实际问题抽象为一元二次不等式问题； （3）解这个一元二次不等式得到实际问题的解. 知识点02 恒成立问题和存在性问题 1 恒成立问题 ① 恒成立，则； ② 恒成立，则； ③ 恒成立，则； ④ 恒成立，则. 存在性问题 ① 使得成立，则； ② 使得成立，则； ③ ，使得恒成立，则； ④ 使得 恒成立，则。 【即学即练2】若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论，结合一元二次不等式解集的性质进行求解即可. 【详解】由题意可知恒成立， 当时，恒成立， 当时需满足，即，求得， 所以实数的取值范围是 故选：C 【题型一：一元二次不等式的实际生活中的应用】 例1．一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（单位：辆）与创造的价值（单位：元）之间有如下的关系：.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产 （填写区间范围）辆摩托车？ 【答案】51~59 【分析】依据题意列出不等关系，解不等式再根据实际意义即可求出需生产51~59辆摩托车. 【详解】根据题意可知， 转化为不等式，即可得， 解得； 所以应该生产51~59辆摩托车. 故答案为：51~59 变式1-1．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 变式1-2．某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米售价480元，为了减少木材消耗，决定按征收木材税，这样，每年的木材消耗量减少万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，列出不等式，即可求解. 【详解】由题意，每年消耗木材为万立方米，所以每年税金为， 要保证税金收入每年不少于万元，可得且， 解得，即实数的取值范围为. 故选：C. 变式1-3．通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．年，该种玻璃售价为 欧元/平方米，销售量为万平方米． (1)据市场调查，售价每提高欧元/平方米，销售量将减少万平方米；要使销售收入不低于万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米? (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入 万欧元作为技术创新费用，投入万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到多少时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和?并求出此时的售价． 【答案】(1)40 (2)102万平方米，30欧元/平方米 【分析】（1）设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米，根据条件建立不等关系，即可解决问题； （2）根据条件建立不等关系， 整理得到，再利用基本不等式即可解决问题. 【详解】（1）设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米， 由题知，即，解得， 所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米. （2）由题意得，整理得， 两边同除以得， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，故该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到102万平方米时，才可能使 年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和，此时的售价为欧元/平方米. 【方法技巧与总结】 理解题意是关键，通过题意得到不等式，在求解不等式时要注意变量在实际问题中的取值范围. 【题型二：一元二次不等式在几何中的应用】 例2．为建设美丽中国，增强民众幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区计划建设一块长为、宽为的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪（如图所示）．如果花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设花卉带的宽度为 ，由题设有且求范围，即可得答案. 【详解】设花卉带的宽度为 ，则， 所以，即，可得， 又，故，而，则可能取值为2. 故选：B 变式2-1．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形相似列出方程，将矩形的另一边用表示，再根据矩形的面积不小于300m2列出不等式，即可求出结果. 【详解】设矩形的另一边长为m，则由三角形相似知，， 所以，因为，所以， 即，解得. 故选:C 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，关键是建立数学模型，解一元二次不等式，属于基础题. 变式2-2．如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为 ．    【答案】1 【分析】设花卉带的宽度为米，根据题设有求解集，即可确定最小值. 【详解】设花卉带的宽度为米，则，即， 所以，故， 所以花卉带的宽度至少应为1米. 故答案为：1 变式2-3．某学校为创建高品质特色高中，准备对校园内现有一处墙角进行规划.如图，墙角线OA和OB互相垂直，学校欲建一条直线型走廊AB，其中AB的两个端点分别在这两墙角线上.    (1)若欲建一条长为10米的走廊，当长度为多少时，的面积最大？ (2)为了使围成区域更加美观并合理利用土地，准备在围成区域内建造一个矩形花围，要求点在上，点在上，且过点，其中米，米，要使围成区域的面积大于18平方米，则的长应在什么范围内？ 【答案】(1)长度为米 (2)的长的范围是（单位：米） 【分析】（1）设长度为米，求出，可得的面积的表达式，然后由基本不等式求解即可； （2）设的长为米，由，得，求得，得的面积的表达式，由题意列不等式，求解即可． 【详解】（1）由题意，设长度为米，， ∵，∴， ∴的面积为， 由基本不等式， 当且仅当，即时等号成立， ∴当长度为米时, 的面积最大，最大值为平方米. （2）设的长为米，则为米，其中， ∵为矩形，， ∴，∴，则， 故，整理得， 又，则或， 故的长的范围是（单位：米）． 【方法技巧与总结】 根据图形的特征得到不等式是关键，有时要用到平面几何的知识点（如全等、相似等），同时几何图形的几何量用变量表示，要注意其取值范围（比如线段肯定是非负数等）. 【题型三：一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 例3．不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，结合二次函数的性质分析讨论即可得解. 【详解】当，即时，恒成立， 当时，因为对恒成立， 所以，解得， 综上，， 即实数a的取值范围为. 故选：C 变式3-1．命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据命题为假命题，则否命题为真命题，根据否命题列出不等式，求解即可． 【详解】因为“”是假命题， 所以“”是真命题，则，解得， 故选：C． 变式3-2．对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】由题意首先考虑为零的情况，再考虑的情况，需满足，解不等式组即可得答案. 【详解】当时，明显成立， 当时，则，即，解得， 综上： 故选：B. 变式3-3．“关于的不等式对上恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据题意可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围，再根据必要不充分条件求解. 【详解】当时，则有，解得，不合题意； 当时，则，解得. 综上所述，关于的不等式对上恒成立”的充要条件为， 所以一个必要不充分条件是. 故选：A. 【方法技巧与总结】 1 处理不等式恒成立问题要先注意它是否为一元二次不等式，即是否可能； 2 一元二次不等式的解集是等价于， 一元二次不等式的解集是等价于. 【题型四：一元二次不等式在某区间上恒成立问题】 例4．已知函数满足：①；②． (1)求的解析式； (2)若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由代入函数解析式再作差得到的取范围，结合求出的值，从而求出，即可得解； （2）依题意可得在上恒成立，令，则，解得即可. 【详解】（1）依题意可得， ②①得，则， 又，所以， 代入①得， 所以． （2）因为在上恒成立， 整理得在上恒成立， 记，则，解得． 变式4-1．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，分离参数再利用基本不等式求出最小值即得. 【详解】不等式对任意恒成立，则，成立， 而，当且仅当，即时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 故选：B 变式4-2．若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法1：利用绝对值不等式性质转化求解； 方法2：将不等式两边平行，利用不等式恒成立求解． 【详解】解析：方法1：不等式化为， 使成立， 则，故选：A. 方法2：将两边平方整理得，对恒成立， 则有， 解得，故选：A． 变式4-3．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】注意到原题条件等价于当时，恒成立，当时，恒成立，故当时，，从而得，由此结合基本不等式即可求解. 【详解】设，， 因为，所以当时，； 当时，； 时，； 由不等式恒成立，得或， 即当时，恒成立， 当时，恒成立， 所以当时，， 则，即， 则当时，，当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 故选：C． 【方法技巧与总结】 1 恒成立问题 ① 恒成立，则； ② 恒成立，则； ③ 恒成立，则； ④ 恒成立，则. 2 处理一元二次不等式在某区间恒成立问题，往往有两个思路：一是利用二次函数的图象与性质；二是利用分离参数法，转化为最值问题，受限所学知识，目前常用基本不等式求解. 【题型五：一元二次不等式在某区间上有解问题】 例5．若命题“，”为假命题，则实数可取的最小整数值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，把命题转化为命题“，”为真命题，分离参数转化为在上有解，构造函数求解最小值即可. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题，即在上有解， 即在上有解，记，，则， 因为在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，所以实数可取的最小整数值是. 故选：A 变式5-1．设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的判别式求解“关于的不等式有解”的充要条件，再分析必要不充分条件即可. 【详解】有解，即对于方程的，则；可知D选项为一个必要不充分条件. 故选:D. 变式5-2．若关于x的不等式在上有解，则实数m的最小值为（    ） A．9 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】先通过分离参数得到，然后利用基本不等式求解出的最小值，则的最小值可求. 【详解】因为在上有解，所以在上有解， 所以， 又因为，当且仅当即时取等号， 所以，所以，即的最小值为， 故选：B. 变式5-3．若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用分离参变量思想，再用换元法转化到对钩函数求最小值，即可得到取值范围. 【详解】由， 因为，所以，令， 由， 构造函数， 即，当且仅当时取等号， 所以 故答案为：. 变式5-4．已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时， （i）解关于x的不等式； （i）若存在 ，使得，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）答案见解析； （i i） 【分析】（1）根据题意，转化为得到和是方程的两个实数根据，列出方程组，即可求解； （2）（i）由，求得，把不等式，转化为，分类讨论，即可求得不等式的解集； （i i）由（i）中不等式的解集，结合存在，使得，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，因为不等式的解集为， 可得和是方程的两个实数根据， 则，解得. （2）解：（i）由函数， 因为，可得，即， 所以， 由不等式，即， 当时，即时，解得或； 当时，即时，即为 解得； 当时，即时，解得或， 综上可得，当时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （i i）由（i）知，当时，不等式解集为， 若存在，使得，则满足，解得； 当时，不等式的解集为， 此时不存在，使得； 当时，不等式的解集为， 此时不存在，使得， 综上可得，实数的取值范围为. 【方法技巧与总结】 1 存在性问题 ① 使得成立，则； ② 使得成立，则； ③ ，使得恒成立，则； ④ 使得 恒成立，则。 2 处理一元二次不等式在某区间有解问题，往往有两个思路：一是利用二次函数的图象与性质；二是利用分离参数法，转化为最值问题，受限所学知识，目前常用基本不等式求解. 一、单选题 1．设命题p：，（其中m为常数），则“命题p为真命题”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由全称量词命题为真命题，求出的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由命题p为真命题，得，解得，显然， 所以“命题p为真命题”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2.某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出万本.根据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就减少本.设每本杂志的定价为元，要使得提价后的销售总收入不低于万元，则应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本，根据销售的总收入不低于万元，列出不等式求解即可. 【详解】设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本， 因为销售的总收入不低于万元， 列不等式为：， 即，即， 故选：A. 3.若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数的图象及根的分布计算即可. 【详解】易知恒成立，即有两个不等实数根， 又，即二次函数有两个异号零点， 所以要满足不等式在区间上有解， 所以只需， 解得，所以实数m的取值范围是． 故选A． 4.若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用参变分离可知在上恒成立，由基本不等式求右边代数式的最大值，即可确定的取值范围. 【详解】由题设，，又，则恒成立， 由，当且仅当时等号成立， ∴. 故选：A 5.某市有块三角形荒地，如图所示，（单位：米），现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地，其中点分别在线段上，若要求绿地的面积不少于7500平方米，则的长度（单位：米）范围是（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设米，表示出绿地面积，根据不等式求的长度范围. 【详解】中，，为等腰直角三角形， 设米，则米，米， 依题意有，解得. 即的长度（单位：米）范围是. 故选：B. 6.已知命题，，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得在上恒成立，根据函数的单调性求出其最大值可得，结合充分、必要条件的定义和选项即可求解. 【详解】因为，，所以在上恒成立， 只需在上的最大值小于， 因为在上单调递减，故在上的最大值为1， 所以. A：既不是充分条件，也不是必要条件，故A错误； B：因为所以是的一个必要不充分条件，故B正确； C：是的充要条件，故C错误； D：因为，所以是的充分不必要条件，故D错误. 故选：B. 7.已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，分析可得原题意等价于对一切，恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算. 【详解】∵，，则， ∴， 又∵，且， 可得， 令，则原题意等价于对一切，恒成立， ∵的开口向下，对称轴， 则当时，取到最大值， 故实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】结论点睛： 对，恒成立，等价于； 对，恒成立，等价于. 8.已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设，，由一次函数以及不等式分析得时，，变形后代入，然后利用基本不等式求解. 【详解】设（），（）， 因为，所以当时，； 当时，； 当时，； 由不等式恒成立，得：或， 即当时，恒成立， 当时，恒成立， 所以当时，，则，即， 则当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 二、多选题 9．“ ” 成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】先把已知化简为,再结合充分条件的定义得出条件即可. 【详解】因为所以恒成立， 因为，当取等号，所以， 因为，所以是的充分条件. 因为，所以是的充分条件， 又都不能推出，所以CD错误， 故选：AB. 10.已知关于 x 的不等式在上有解，则实数a的取值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】AB 【分析】由，，可得：，求出函数的最大值即可. 【详解】由，， 可得：，设， 当时，， 当且仅当时取等，所以，故AB正确，CD错误. 故选：AB. 11.若对任意恒成立，其中，是整数，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对分类讨论，当时，由可得，由一次函数的图象知不存在；当时，由，利用数形结合的思想可得出的整数解. 【详解】当时，由可得对任意恒成立， 即对任意恒成立，此时不存在； 当时，由对任意恒成立， 可设，，作出的图象如下， 由题意可知，再由，是整数可得或或 所以的可能取值为或或 故选：BCD 三、填空题 12．甲厂以千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元．若要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意列出一元二次不等式，，解出解集，结合，从而得到的取值范围； 【详解】根据题意，， 即，解得或． ∵， ∴，即的取值范围是． 故答案为：. 13.已知在上恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】用求二次函数的性质列不等式来解题. 【详解】解析：设．其图象是开口向下的抛物线， 根据题意得解得． 故答案为：. 14.已知对任意恒成立，则 ． 【答案】/ 【详解】由，可得，从而，再由，，对任意恒成立，利用判别式法求解，得解. 令，解得，故，即， 则，所以对任意恒成立， 所以即解得， 同理对任意恒成立可得， 综上得， 则 故答案为： 四、解答题 15．近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元． (1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ (2)该公司几年后年平均利润最大，最大是多少？ 【答案】(1)第年 (2)第年最大，为万元 【分析】（1）先求得利润的表达式，由此列不等式来求得正确答案. （2）先求得平均利润的表达式，然后利用基本不等式求得正确答案. 【详解】（1）设利润为，则， 由整理得， 解得，由于， 所以，所以第年首次盈利. （2）首先， 由（1）得平均利润万元， 当且仅当万元时等号成立， 第7年，平均利润最大，为12万元. 16.如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，使点，分别在，的延长线上，且对角线过点，已知米，米． (1)若要使矩形的面积不大于平方米，则的长应在什么范围内？ (2)当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值． 【答案】(1) (2)，面积最小为平方米 【分析】（1）根据已知条件列不等式，从而求得的范围. （2）先求得花坛面积的表达式，然后利用基本不等式求得最小值. 【详解】（1）设的长为米，则米， 因为，所以， 所以矩形的面积， 因为矩形的面积不大于平方米， 所以，而，所以整理得， 解得，所以的长的取值范围是. （2）矩形花坛的面积， 当且仅当，即时，矩形花坛的面积最小为平方米． 17.已知函数． (1)若，解关于的不等式； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用因式分解法求解含参一元二次不等式即可. （2）利用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可. 【详解】（1）易得 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为． （2）若在上有解， 则在上有解， 故，即在上有解， 由，得， 进而知，令，则， 设， 当且仅当时取等号，所以． 18.2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 【答案】(1)100 (2)存在， 【分析】（1）由条件“调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资”建立不等关系可求解； （2）根据条件①②建立不等关系，假设存在实数转化为恒成立问题，由基本不等式及一次函数求最值可得结果. 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为 万元, 则 , 整理得 , 解得 , 因为 且 , 所以 , 故 , 所以要使这 名研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资, 调整后的研发人员的人数最少为 100 人. （2）由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资， 得 , 整理得 ; 由条件②技术人员年人均工资不减少, 得 , 解得 假设存在这样的实数 , 使得技术人员在已知范围内调整后, 满足以上两个条件, 即 恒成立， 因为 , 当且仅当 , 即 时等号成立, 所以 , 又因为 , 当 时, 取得最大值 11 , 所以 所以 , 即 , 即存在这样的 满足条件, 其范围为 . 19．已知命题：“”是真命题 (1)求实数m的取值集合B； (2)设关于x的不等式的解集为A，若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全称命题为真列不等式求解即可得数m的取值集合； （2）分类讨论解含有参数的一元二次不等式，结合充分必要条件即可得实数a的取值范围． 【详解】（1）∵“”是真命题， ∴， ∴当时，， ∵函数的图像开口向上，且对称轴为直线， ∴当时，的最大值为， ∴当时，． ∴实数m的取值集合． （2）∵， ∴不等式等价于． ①当，即时，， 又“”是“”的充分不必要条件， ∴是的真子集，即包含于， ∴，∴； ②当，即时，，符合题意； ③当，即时，， 又“”是“”的充分不必要条件， ∴是的真子集，即包含于， ∴，∴； 综上，实数a的取值范围为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$