精品解析：2023年广东省广州市荔湾区广雅中学中考一模数学试题

2023年广东省广州市荔湾区广雅中学中考数学一模试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 2022年11月20日第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔拉开帷幕，这是历史上首次在中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．世界杯是一场足球盛宴，以下是4只参赛队伍的图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. a+2a=3a2 B. （a2）3=a5 C. a3·a4=a12 D. （-3a）2= 9a2 3. 在平面直角坐标系中，第四象限内有一点M，点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，则点M的坐标是（ ） A. （5，4） B. （4，5） C. （4，﹣5） D. （5，﹣4） 4. 已知点，，都在反比例函数图象上，那么、与的大小关系是（　　） A B. C. D. 5. 不等式组 解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 某工厂生产空气净化器，实际平均每天比原计划多生产100台空气净化器，实际生产1200台空气净化器的时间与原计划生产900台空气净化器所需时间相同．若设原计划每天生产台空气净化器，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，，点B是的中点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线顶点坐标是（　　） A B. C. D. 9. 一次函数中，若kb<0，且y随x的增大而减小，则其图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线（a＞0）与y轴交于点B，直线y＝x经过抛物线顶点D，过点B作BA∥x轴，与抛物线交于点C，与直线y＝x交于点A，若点C恰为线段AB中点，则线段OA长度为（ ） A B. 3 C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 因式分解：__________． 12. 已知，，计算的值为_________． 13. 函数y＝中，自变量x的取值范围是_____． 14. 如图，小明用长为3m的竹竿CD作测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为____m． 15. 如图，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，6），将线段AB绕点B顺时针旋转90°后得到A'B，若反比例函数y＝的图象经过A′B的中点D，则k的值为____． 三、解答题（每题8分，共24分） 16. 计算：． 17. 解方程：． 18. 先化简：，然后x从0、1、2三个数中选一个你认为合适的数代入求值． 四、解答题（每题9分，共27分） 19. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，． （1）求的长； （2）若，求的度数． 20. 为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛．该班每位同学从A．“北斗卫星”；B．“5G时代”；C．“东风快递”；D．“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成以下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）九（1）班共有________名学生； （2）补全折线统计图； （3）D所对应扇形圆心角的大小为________； （4）小明和小丽从A、B、C、D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率． 21. 某快递公司为了提高工作效率，计划购买、两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天多搬运20吨，并且3台型机器人和2台型机器人每天共搬运货物460吨． （1）求每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？ （2）每台型机器人售价3万元，每台型机器人售价2万元，该公司计划采购、两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，请根据以上要求，求出、两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低﹖最低费用是多少？ 五、解答题（每题12分，共24分） 22. 如图，已知是等边三角形，以为直径作，交边于点D，交边于点F，作于点E． （1）求证：是的切线； （2）若的边长为2，求的长度． 23. 如图，二次函数经过点 ，，，点D是抛物线的顶点，过D作x轴垂线交直线于E． （1）求此二次函数解析式及点D坐标 （2）连接，求三角形的面积 （3）当时，x的取值范围是___________ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023年广东省广州市荔湾区广雅中学中考数学一模试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 2022年11月20日第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔拉开帷幕，这是历史上首次在中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．世界杯是一场足球盛宴，以下是4只参赛队伍的图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：C． 【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，解题的关键是掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 下列运算正确的是（ ） A. a+2a=3a2 B. （a2）3=a5 C. a3·a4=a12 D. （-3a）2= 9a2 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方运算法则进行计算，然后作出判断． 【详解】解：A．根据合并同类项，，故此选项不符合题意； B．根据幂的乘方公式，，故此选项不符合题意； C．根据同底数幂的乘法公式，，故此选项不符合题意； D．根据积的乘方公式，正确，故此选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查幂的相关运算，掌握幂的运算公式并能灵活运用是解题关键． 3. 在平面直角坐标系中，第四象限内有一点M，点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，则点M的坐标是（ ） A. （5，4） B. （4，5） C. （4，﹣5） D. （5，﹣4） 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，得到点M的横纵坐标可能的值，进而根据所在象限可得点M的具体坐标． 【详解】解：设点M的坐标是（x，y）． ∵点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4， ∴|y|=5，|x|=4， ∴y=±5，x=±4． 又∵点M在第四象限内， ∴x=4，y=-5， ∴点M的坐标为（4，-5）， 故选C． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值是解题的关键． 4. 已知点，，都在反比例函数的图象上，那么、与的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大即可判断． 【详解】解：∵， ∴图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大， ∴，， ∴， 故选：A 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，对于，图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大是解题的关键． 5. 不等式组 解集在数轴上表示正确的是（　　） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 由解得，， 故此不等式组的解集为， 把此不等式组的解集在数轴上表示为： 故选：A． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示一元一次不等式组的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键． 6. 某工厂生产空气净化器，实际平均每天比原计划多生产100台空气净化器，实际生产1200台空气净化器的时间与原计划生产900台空气净化器所需时间相同．若设原计划每天生产台空气净化器，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设原计划每天生产台空气净化器，则实际平均每天生产台空气净化器，根据实际生产1200台空气净化器的时间与原计划生产900台空气净化器所需时间相同，据此列方程即可． 【详解】解：设原计划每天生产台空气净化器，则实际平均每天生产台空气净化器， 由题意得，． 故选：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 7. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，，点B是的中点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB＝∠AOC，再根据圆周角定理解答． 【详解】连接OB， ∵点B是的中点， ∴∠AOB＝∠AOC＝60°， 由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝30°， 故选：A． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 8. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为．根据抛物线的解析式直接写出顶点坐标即可． 【详解】解：∵是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知， 抛物线的顶点坐标是． 故选：D． 9. 一次函数中，若kb<0，且y随x的增大而减小，则其图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由y随着x的增大而减小，利用一次函数的性质可得出k＜0，结合kb＜0可得出b＞0，再利用一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限． 【详解】解：∵y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∵kb＜0， ∴b＞0， ∴一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限； 故选：A 【点睛】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限”是解题的关键． 10. 如图，抛物线（a＞0）与y轴交于点B，直线y＝x经过抛物线顶点D，过点B作BA∥x轴，与抛物线交于点C，与直线y＝x交于点A，若点C恰为线段AB中点，则线段OA长度为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据抛物线顶点为，直线y＝x经过抛物线顶点D，求出A、B、C三点的坐标，再根据点A在直线y＝x上建立关于a的方程，求出a值，最后求得OA长度． 【详解】抛物线顶点为，直线y＝x经过抛物线顶点D， ， 又点C恰为线段AB中点 ，； 又点A在直线y＝x上， ， 解得：或（舍去）； ， ． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数、正比例函数的性质，解决本题的关键是熟练应用各性质． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因数，再运用平方差公式分解因式即可； 【详解】解：， 故答案为：； 【点睛】本题考查了因式分解，掌握平方差公式是解题关键． 12. 已知，，计算的值为_________． 【答案】7 【解析】 【分析】将代数式化简，然后直接将，代入即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了提取公因式法，化简求值，化简是解题关键． 13. 函数y＝中，自变量x取值范围是_____． 【答案】x≥2． 【解析】 【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以2x﹣4≥0，可求x的范围． 【详解】解：2x﹣4≥0 解得x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题考查自变量有意义的条件，因函数表达式是二次根式，实质也是考查二次根式有意义的条件. 14. 如图，小明用长为3m的竹竿CD作测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为____m． 【答案】9 【解析】 【分析】根据△OCD和△OAB相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：由题意得，CDAB， ∴△OCD∽△OAB， ∴， 即， 解得AB=9． 故答案为9． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，是基础题，熟记相似三角形对应边成比例是解题的关键． 15. 如图，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，6），将线段AB绕点B顺时针旋转90°后得到A'B，若反比例函数y＝的图象经过A′B的中点D，则k的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】作于点，根据全等三角形求得点的坐标，利用中点坐标公式求得点的坐标即可求解． 【详解】解：作于点，如下图： 由题意可得，，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 又∵A′B的中点D ∴ ∵反比例函数y＝的图象经过A′B的中点D ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变换-旋转，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 三、解答题（每题8分，共24分） 16. 计算：． 【答案】. 【解析】 【分析】直接利用零指数幂的性质、负指数幂的性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式 【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】用配方法解方程即可． 【详解】解： 或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程；根据系数特点选择恰当的方法是解题的关键． 18. 先化简：，然后x从0、1、2三个数中选一个你认为合适的数代入求值． 【答案】，3 【解析】 【分析】先把除法转化为乘法，再利用分式的性质和运算法则进行化简，再根据分式有意义的条件确定x的取值范围，再代入值计算即可． 【详解】解：， ， ∵，，且， ∴，，且， ∴， 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练运用运算法则是解题的关键． 四、解答题（每题9分，共27分） 19. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，． （1）求的长； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形性质，角的运算和勾股定理，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据旋转的性质即可得到，再根据勾股定理即可解题； （2）根据旋转的性质即可得到，从而到，结合，可得到，从而得到的度数． 【小问1详解】 由旋转的性质可知：，， ； 【小问2详解】 解：由旋转的性质可知：，， ， ， ， ， ． 20. 为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛．该班每位同学从A．“北斗卫星”；B．“5G时代”；C．“东风快递”；D．“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成以下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）九（1）班共有________名学生； （2）补全折线统计图； （3）D所对应扇形圆心角的大小为________； （4）小明和小丽从A、B、C、D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率． 【答案】（1）50；（2）见解析；（3）108°；（4） 【解析】 【分析】（1）用B组频数除以所占百分比即可求解； （2）用50减去A、B、C组频数，求出D组频数，即可补全折线统计图； （3）用360°乘以D组所占百分比即可求解； （4）列表得出所有等可能结果，根据概率公式即可求解． 【详解】（1）20÷40%=50（人）， 故答案为：50； （2）50-10-20-5=15（人）， 补全折线统计图如图： ； （3）， 故答案为：； （4）列表如下： 小明 小丽 A B C D A B C D 由列表可知，一共有16种等可能结果，他们选择相同主题的结果有4种， 所以P（相同主题）． 【点睛】本题考查了折线统计图与扇形统计图，求概率等知识，理解两幅统计图提供的公共信息是解题第（1）（2）（3）步关键，列表得出所有等可能的结果是解题第（4）步关键． 21. 某快递公司为了提高工作效率，计划购买、两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天多搬运20吨，并且3台型机器人和2台型机器人每天共搬运货物460吨． （1）求每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？ （2）每台型机器人售价3万元，每台型机器人售价2万元，该公司计划采购、两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，请根据以上要求，求出、两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低﹖最低费用是多少？ 【答案】（1）每台A型机器人每天分别微运货物100吨，每台B型机器人每天分别微运货物80吨；（2）购买10台A型机器人，10台B型机器人时，所需费用最低，最低费用为50万元． 【解析】 【分析】（1）设每台A型机器人每天分别搬运货物x吨，每台B型机器人每天分别搬运货物y吨，根据“每台型机器人比每台型机器人每天多搬运20吨，并且3台型机器人和2台型机器人每天共搬运货物460吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m台A型机器人，则购买（20-m）台B型机器人，根据这些机器人每天搬运的货物不低于1800吨，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设该公司计划采购、两种型号的机器人所需费用为w万元，根据总价=单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】解：（1）设每台A型机器人每天分别搬运货物x吨，每台B型机器人每天分别搬运货物y吨，根据题意得： ， 解得：． 答：每台A型机器人每天分别搬运货物100吨，每台B型机器人每天分别搬运货物80吨． （2）设购买m台A型机器人，则购买（20-m）台B型机器人，根据题意得： 100m+80（20-m）≥1800， 解得：m≥10． 设该公司计划采购、两种型号的机器人所需费用为w万元，则w=3m+2（20-m）=m+40， ∵k=1＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m=10时，w有最小值，且最小值为w=10+40=50（万元）， 此时20-m=10． 所以，购买10台A型机器人，10台B型机器人时，所需费用最低，最低费用为50万元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式以及一次函数的应用，读懂题意，找到关键描述语句，找准等量关系，正确列出二元一次方程组及一元一次不等式是解题的关键． 五、解答题（每题12分，共24分） 22. 如图，已知等边三角形，以为直径作，交边于点D，交边于点F，作于点E． （1）求证：是的切线； （2）若的边长为2，求的长度． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是切线的判定、等边三角形的性质、含的直角三角形的性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． （1）连接，根据等边三角形的性质求出，根据切线的判定定理证明即可； （2）连接，根据等边三角形的性质求出，根据直角三角形的性质求出，结合图形计算即可． 【小问1详解】 解：证明：如图所示，连接， ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴于点D． ∵点D在上， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵为直径， ∴． ∴． ∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． ∴． 23. 如图，二次函数经过点 ，，，点D是抛物线顶点，过D作x轴垂线交直线于E． （1）求此二次函数解析式及点D坐标 （2）连接，求三角形的面积 （3）当时，x的取值范围是___________ 【答案】（1）， （2）6 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解二次函数解析式，然后将解析式转化成顶点式即可求出点D的坐标； （2）首先求出的解析式，然后求出点E的坐标，最后根据三角形面积公式求解即可； （3）根据图象可得时，即为x轴上方的图象，然后根据二次函数与x轴的交点坐标求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数经过点 ，，， ∴，解得 ∴二次函数解析式为， ∴， ∴顶点D的坐标为； 【小问2详解】 ∵，， ∴设的解析式为， ∴，解得， ∴的解析式为， ∵过D做x轴垂线交直线于E， ∴当时，， ∴， ∴ ∴三角形的面积； 【小问3详解】 由图象可得，当时，即为x轴上方的图象， ∵二次函数经过点 ，， ∴x的取值范围是或． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$