重难点09 函数与同构法（5大题型+最新模拟）-备战2025年高考数学重难点专题突破（新高考专用）

函数与同构法 结合函数与导数的知识能够处理极值点偏移问题. 同构即结构形式相同．对于一个不等式，对其移项后通过各种手段将其变形，使其左右两边呈现结构形式完全一样的状态，接着就可以构造函数，结合函数单调性等来对式子进行处理了．这种题目，实际上是命题人将原先形式明显、规整的式子，打乱重排而形成的一类题目．我们需要对这个看似杂乱无章的式子进行整合变形，使其显现原型，进而借助函数的性质进行处理．当然有些等式也可借助同构的思想进行处理． 1.指对形式同时出现，可能需要利用指对同构来解决问题 2.当遇到幂函数乘以或常数乘以时我们可以用对数恒等式变换 ， 这时搭配、就能找到同构。这种同构就称为朗博同构。 常用的方法有：、、、、 3.为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的恒等变形的方法有：，. ①；. ②； . ③；. ④； . 有时也需要对两边同时加、乘某式等. 4.与为常见同构式：，； 与为常见同构式：，. 例1 已知是定义在上不恒为零的偶函数，且恒有，求的值． 【类题演练】已知，那么的值是___________． 例2（2022·新高考Ⅰ卷T7）设，则（    ） A． B． C． D． 【类题演练1】（2022·全国高考甲卷）已知，则（    ） A． B． C． D． 【类题演练2】（2024·河南·方城第一高级中学校联考模拟预测）已知，，，则，，之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【类题演练3】（2023·广东·统考二模）已知，，，则（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 例3（2024·河南·模拟预测）已知，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【类题演练1】已知函数，若，则的取值范围是 . 【类题演练2】设a，b都是正数，若（其中e 是自然对数的底数），则（ ） A.＞e； B.＞ea+1； C.＜e； D.＜ea+1. 【类题演练3】已知不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是___________. 例4 已知函数，． （1）讨论的单调区间； （2）当时，证明． 【类题演练】已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求证：在上恒成立； （3）求证：当时，． 例5 已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)已知函数有两个零点，求实数的取值范围． 【类题演练】已知函数. (1)若，判断在区间上是否存在极小值点，并说明理由； (2)已知，设函数.若在区间上存在零点，求实数的取值范围. 【类题演练2】已知函数，若函数在区间内存在零点，求实数的取值范围 1.（2020·全国新高考Ⅱ卷）若，则（    ） A． B． C． D． 2.已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3.设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是（ ）. 4.设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 5.（2024·江西宜春·三模）已知，，，其中为自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 6.（2024·辽宁·模拟预测）已知a，，若，，则b的可能值为（    ） A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．6 7.（23-24高二下·四川自贡·期中），均有成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8.（2024高三专题训练）已知，不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A． B． C．0 D．1 9.（2024·全国·模拟预测）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知定义域为R的函数，对任意的都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 11.已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为：_______． 12.已知函数（），若恒成立，则实数的取值范围是 . 13.已知函数（，a为常数）． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在内有极值，试比较与的大小，并证明你的结论． 14.已知． （1）若函数在上有1个零点，求实数的取值范围． （2）若关于的方程有两个不同的实数解，求的取值范围． 15．已知函数． （1）若，求函数的极值； （2）若函数有且仅有两个零点，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数与同构法 结合函数与导数的知识能够处理极值点偏移问题. 同构即结构形式相同．对于一个不等式，对其移项后通过各种手段将其变形，使其左右两边呈现结构形式完全一样的状态，接着就可以构造函数，结合函数单调性等来对式子进行处理了．这种题目，实际上是命题人将原先形式明显、规整的式子，打乱重排而形成的一类题目．我们需要对这个看似杂乱无章的式子进行整合变形，使其显现原型，进而借助函数的性质进行处理．当然有些等式也可借助同构的思想进行处理． 1.指对形式同时出现，可能需要利用指对同构来解决问题 2.当遇到幂函数乘以或常数乘以时我们可以用对数恒等式变换 ， 这时搭配、就能找到同构。这种同构就称为朗博同构。 常用的方法有：、、、、 3.为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的恒等变形的方法有：，. ①；. ②； . ③；. ④； . 有时也需要对两边同时加、乘某式等. 4.与为常见同构式：，； 与为常见同构式：，. 例1 已知是定义在上不恒为零的偶函数，且恒有，求的值． 【答案】1 【分析】 观察条件不难变形得到，两侧同构，进而构造函数解题． 【解析】 当且时，由题意可得， 构造函数，则．易知是周期为2的奇函数， 则且，故， 所以，即，故． 【类题演练】已知，那么的值是___________． 【答案】2 【分析】由题意，构造函数，则，又函数的图象关于中心对称，利用对称性即可求解. 【详解】解：由题意，， 设函数，则， 因为， 所以函数的图象关于中心对称， 所以． 故答案为：2. 例2（2022·新高考Ⅰ卷T7）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过观察，找到三个数的相关性：发现它们均与0.1有关，即 ， ， ，然后确定构造函数这个思路，分别构造指数型函数,分式函数,对数型函数，接着用作差法，通过指数不等式和对数不等式,以及求导和用单调性解决问题 【详解】 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 【类题演练1】（2022·全国高考甲卷）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 . 故选：A. 【类题演练2】（2024·河南·方城第一高级中学校联考模拟预测）已知，，，则，，之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析题意，利用对数函数性质和指数函数性质进行对比即可. 【详解】设，则，令，解得，当时，，函数单调递减.又，所以，又，综上可得. 故选：D. 【类题演练3】（2023·广东·统考二模）已知，，，则（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， ， 考虑构造函数，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 因为，所以，即， 所以， 所以，即， 又， 所以，故， 故选：B. 例3（2024·河南·模拟预测）已知，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，转化为恒成立，令，利用导数求得为单调递增函数，得到恒成立，进而转化为恒成立，构造函数，利用导数求得单调性和最小值，即可求解. 【详解】因为，所以整理不等式， 可得，转化为恒成立， 令，则， 因为，所以在上单调递增，所以恒成立， 又因为，所以， 所以对任意的恒成立，即恒成立， 构造函数，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，当时，，所以，即． 故选：B． 【类题演练1】已知函数，若，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由移项得： （说明：将变量移至一边的原则进行变形） 即，两边同时加（x－1）得 （说明：系数升指数、按左右结构相同的原则进行变形） 即 设，则，所以单增 所以，即 设，则，所以在单减，在单增， 所以，所以. 【类题演练2】设a，b都是正数，若（其中e 是自然对数的底数），则（ ） A.＞e； B.＞ea+1； C.＜e； D.＜ea+1. 【答案】B 【解析】由已知移项整理得， 为了实现“一边一个变量”，两边同时除以e得， 为了实现“两边结构相同”，对左边“降阶”得 故 设，即为 ∵a＞0，∴ ∵，∴，故， 当＞0，单增 ∴，即 ea+1＜，选B. 【类题演练3】已知不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】不等式可变形为. 因为且，所以. 令，则. 所以函数在上单调递增. 不等式等价于，所以. 因为，所以. 设，则. 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增. 所以，所以. 故正实数的取值范围是. 例4 已知函数，． （1）讨论的单调区间； （2）当时，证明． 【解析】解：（1）的定义域为， ， ①当时，，此时在上单调递减， ②当时，由可得，由，可得， 在上单调递减，在，上单调递增， ③当时，由可得，由，可得， 在上单调递增，在，上单调递减， 证明（2）设，则， 由（1）可得在上单调递增， （1）， 当时，， 当时，， 在上单调递减， 当时，， ， ， ． 【类题演练】已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求证：在上恒成立； （3）求证：当时，． 【解析】（1）解：函数的定义域为，， 令，即，△，解得或， 若，此时△，在恒成立， 所以在单调递增． 若，此时△，方程的两根为： ，且，， 所以在上单调递增， 在上单调递减， 在上单调递增． 若，此时△，方程的两根为： ，且，， 所以在上单调递增． 综上所述：若，在单调递增； 若，在，上单调递增， 在上单调递减． （2）证明：由（1）可知当时，函数在上单调递增， 所以（1），所以在上恒成立． （3），即， 令，则原不等式等价于， ，令，则，递减， 故，，递减， 又，故，原结论成立． 例5 已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)已知函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）解：函数的定义域为，. 当时，由可得，由可得， 此时函数的减区间为，增区间为； 当时，由可得，由可得， 此时，函数的增区间为，减区间为. 综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为； 当时，函数的增区间为，减区间为. （2）解：函数的定义域为， 因为函数在上有两个零点，即有两个不同的正实数根， 即有两个不同的正实数解， 即有两个不同的正实数解， 令，则，可得， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的值域为，所以，， 令，其中，则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 且当时，；当时，， 因为函数有两个不同的零点，则直线与函数的图象有两个交点，如下图所示： 由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是. 【类题演练】已知函数. (1)若，判断在区间上是否存在极小值点，并说明理由； (2)已知，设函数.若在区间上存在零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2) 【详解】（1）当时，则， 则. 令， 则，由单调递增，且， 得在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以当时，， 则在上单调递增，不存在极小值点. （2）令， 则.又， 所以， 令，即可转化为有解. 设， 则由可得， 则在上单调递减，在上单调递增. 又，所以有唯一的零点. 若在区间上存在零点， 则在有解,整理得, 设， 由，知在上单调递减，在上单调递增， 又当时，，则， 所以，得， 故实数的取值范围是. 【类题演练2】已知函数，若函数在区间内存在零点，求实数的取值范围 【解答】解：方法一：由可得， 设，，，则，令，在单调递减，在单调递增， 故（1）． ①当时，令，当时，单调递减，当时，单调递增， （1），此时在区间内无零点； ②当时，（1），此时在区间内有零点； ③当时，令，解得或1或，且， 此时在单减，，单增，单减，，单增， 当或时，，此时在区间内有两个零点； 综合①②③知在区间内有零点． 方法二：由题意可得 ，即， 因为当时等号成立， 所以，即， ，令，， 易知在单减，在上单增，所以（1）， 又趋近于0和正无穷时，趋近于正无穷， 所以． 1.（2020·全国新高考Ⅱ卷）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果. 【详解】由得：， 令， 为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数， ， ，，，则A正确，B错误； 与的大小不确定，故CD无法确定. 故选：A. 2.已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用指数的运算与幂函数的性质判断得，再构造函数，利用导数判断得，从而得解. 【详解】因为，，所以，则， 因为，， 令，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，则，所以，则． 故选：A. 3.设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是（ ）. 【答案】 【解析】变形为，构造函数，等价转化为，即，只需，答案为. 4.设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质将不等式等价为恒成立，构造函数，，利用导数求解函数单调性进而得最值即可求解. 【详解】因为，不等式成立，即，进而转化为恒成立， 构造函数，可得， 当，，单调递增，则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，即恒成立， 设，可得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当，函数取得最大值，最大值为， 所以，即实数m的取值范围是．故选：B． 5.（2024·江西宜春·三模）已知，，，其中为自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将化成统一形式，构造函数，研究单调性进而比较大小即可. 【详解】由题意得，，； 设，则， 当时，，所以单调递增，又， 所以，即，所以. 故选：A. 6.（2024·辽宁·模拟预测）已知a，，若，，则b的可能值为（    ） A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．6 【答案】B 【分析】构造函数，求导确定其单调性，结合可得答案. 【详解】由得，设，则， 又， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减． 因为，所以． 结合选项可知B正确，ACD错误. 故选：B. 7.（23-24高二下·四川自贡·期中），均有成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先不等式转化为，再构造函数，转化为函数在区间上恒成立，利用参变分离，转化为最值问题，求的取值范围. 【详解】不妨设， 由，得， 即，两边同时除以，得， 令，即，所以函数在区间上单调递减， ，即恒成立， 所以，上恒成立，函数在区间上单调递减， 所以的最大值为1， 所以. 故选：B 8.（2024高三专题训练）已知，不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【解析】 设，显然是增函数， 不等式变形为，即，所以．所以，令，则， 当时，，单调递增，时，，递减， 所以， 不等式恒成立，则．即的最小值是． 9.（2024·全国·模拟预测）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式变形为，构造函数，证明函数的单调性，比较与的大小，从而结合函数值的大小可求出的范围. 【详解】当时，可化为， 令，则，所以在上单调递减． 令，则，所以在上单调递增， 所以，因此当时，． 所以，即．则不等式可化为， 所以在上恒成立，因此，即实数的取值范围为． 故选：A． 10（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知定义域为R的函数，对任意的都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，由题意可得出在R上单调递增，所以不等式可变形为得，由单调性解不等式即可得出答案. 【详解】令，则， 则在R上单调递增，， 由可得，即， 得，， 故选：B． 11.已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为：_______． 【答案】 【解析】，∴， 构造函数，显然在上单调递增， 故等价于，即任意的实数恒成立，． 令，则， 故在上单调递减，在上单调递增，，得． 12.已知函数（），若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】∵ ∴ 两边加上得 设，则其单增 ∴，即 令，则 ∵的定义域是 ∴当时，，单增；当时，，单减 ∴当时，取得极大值即为最大值，且 ∴，∴即为所求. 13.已知函数（，a为常数）． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在内有极值，试比较与的大小，并证明你的结论． 解析（1）当时，函数在上单调递增． 当时，函数在，上单调递增，在，上单调递减．（过程略） （2）要使在内有极值，由（1）知且，即，解得．要比较与的大小，同取自然底数的对数，即比较与的大小，再转化为比较与的大小，构造函数，则． 设，则，从而在上单调递减，此时，故在恒成立，则在上单调递减． 综上，当时，； 当时，； 当时，． 14.已知． （1）若函数在上有1个零点，求实数的取值范围． （2）若关于的方程有两个不同的实数解，求的取值范围． 【解答】解：（1），，， 所以， 当时，，所以在，单调递增， 又因为，所以在，上无零点； 当时，，使得， 所以在，单调递减，在单调递增， 又因为，， 所以若，即时，在，上无零点， 若，即时，在，上有一个零点， 当时，，在，上单调递减，在，上无零点， 综上当时，在，上有一个零点； （2）由， 即，即， 则有， 令，，则， ，所以函数在上递增， 所以，则有，即，， 因为关于的方程有两个不同的实数解， 则方程，有两个不同的实数解， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上递减，在上递增， 所以（1）， 当时，，当时，， 所以． 15．已知函数． （1）若，求函数的极值； （2）若函数有且仅有两个零点，求的取值范围． 【解答】解析：（1）当时，，，， 显然在单调递增，且， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 在处取得极小值，无极大值． （2）函数有两个零点，即有两个解，即有两个解， 设，则，单调递增， 有两个解，即有两个解． 令，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减． ，，当时， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$