重难点14 立体几何中的截面与交线问题（5大题型+最新模拟）-备战2025年高考数学重难点专题突破（新高考专用）

立体几何中的截面与交线问题 结合空间中的线面平行、线面垂直以及面面平行、面面垂直的性质以及判定定理，能够处理与截面相关的问题. 一、截面问题的理论依据 (1)确定平面的条件 ①不在同一平面的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面 (2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线 (3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 (4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 (5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行 二、作截面的具体步骤 （1）找截点：方式1：延长截面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截面顶点 方式2：过一截面顶点作另外截面顶点连线的平行线，交几何体的棱于截面顶点. （2）连截线：连接同一平面内的两个顶点，成截面交线 （3）围截面：将各截面交线首尾相连，围成截面 三、作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二个确定的点; （3）若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个相邻平面的交线与截面的交点； （4）同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （5）平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 （6）若已知点在体内，则可通过辅助平面找出面上的交点，再找出棱上的交点. 判断截面的形状 例1．（2024·全国·模拟预测）已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【类题演练1】（2024·安徽安庆·三模）在正方体中，点分别为棱的中点，过点三点作该正方体的截面，则（    ） A．该截面多边形是四边形 B．该截面多边形与棱的交点是棱的一个三等分点 C．平面 D．平面平面 【类题演练2】.已知在正方体中，，，分别是，，的中点，则过这三点的截面图的形状是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 求截面的周长 例2 如图，正方体的棱长为4，E是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是（           ）. A． B． C． D． 【类题演练1】（23-24高三上·河北廊坊·期末）如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 求截面的面积 例3 已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，SC的中点为E，过点E做与SC垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【类题演练】（2023·江西赣州·模拟预测）在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱，E是BC的中点，F是棱上的点，且，过作平面，使得平面平面AEF，则平面截直四棱柱，所得截面图形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 与截面有关的最值问题 例4 （2024·广西·模拟预测）在三棱锥中，平面，，，，点为棱上一点，过点作三棱锥的截面，使截面平行于直线和，当该截面面积取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【类题演练】（2024·重庆渝中·模拟预测）在三棱锥中，，且平面，过点作截面分别交于点，且二面角的平面角为，则所得截面的面积最小值为（    ） A． B． C． D．1 交线长度问题 例5 （2024·山东枣庄·一模）在侧棱长为2的正三棱锥中，点为线段上一点，且，则以为球心，为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线长的和为（   ） A． B． C． D． 【类题演练1】（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（    ） A．的长度为 B．的长度为 C．的长度为 D．的长度为 【类题演练2】（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 1.在正方体中，棱长为3，E为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（    ） A． B． C． D． 2.已知球O是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点E是线段BC的中点，过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·江西·开学考试）已知一正方体木块的棱长为4，点在棱上，且.现过三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知正方体的棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 5（多选）已知棱长为2的正方体的中心为，用过点的平面去截正方体，则（    ） A．所得的截面可以是五边形 B．所得的截面可以是六边形 C．该截面的面积可以为 D．所得的截面可以是菱形 6．（多选）（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在正方体中，分别为棱的中点，点是面的中心，则下列结论正确的是（    ） A．四点共面 B．平面被正方体截得的截面是等腰梯形 C．平面 D．平面平面 7．（2024·广东广州·三模）在正四棱柱中，，，E，F分别为，的中点，点M是侧面上一动点（含边界），则下列结论正确的是（    ） A．∥平面 B．若，则点M的轨迹为抛物线的一部分 C．以为直径的球面与正四棱柱各棱共有16个公共点 D．以为直径的球面与正四棱柱各侧面的交线总长度为 8．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（    ） A．当P在平面上运动时，三棱锥的体积为定值 B．当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 C．若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足时，长度的最小值是 D．使直线AP与平面ABCD所成的角为的点P的轨迹长度为 9．（2024·福建漳州·一模）在直三棱柱中，，，过作该直三棱柱外接球的截面，所得截面的面积的最小值为 ． 10．（22-23高一下·山西晋中·期中）如图，在长方体中，，，为的中点，过的平面分别与棱，交于点E，F，且，则截面四边形的面积为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 立体几何中的截面与交线问题 结合空间中的线面平行、线面垂直以及面面平行、面面垂直的性质以及判定定理，能够处理与截面相关的问题. 一、截面问题的理论依据 (1)确定平面的条件 ①不在同一平面的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面 (2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线 (3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 (4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 (5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行 二、作截面的具体步骤 （1）找截点：方式1：延长截面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截面顶点 方式2：过一截面顶点作另外截面顶点连线的平行线，交几何体的棱于截面顶点. （2）连截线：连接同一平面内的两个顶点，成截面交线 （3）围截面：将各截面交线首尾相连，围成截面 三、作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二个确定的点; （3）若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个相邻平面的交线与截面的交点； （4）同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （5）平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 （6）若已知点在体内，则可通过辅助平面找出面上的交点，再找出棱上的交点. 判断截面的形状 例1．（2024·全国·模拟预测）已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】如图，由题意，根据空间线面的位置关系、基本事实以及面面平行的性质定理可得，进而，结合相似三角形的性质即可求解． 【详解】如图，设，分别延长交于点，此时， 连接交于，连接， 设平面与平面的交线为，则， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，设，则， 此时，故，连接， 所以五边形为所求截面图形， 故选：C．    【类题演练1】（2024·安徽安庆·三模）在正方体中，点分别为棱的中点，过点三点作该正方体的截面，则（    ） A．该截面多边形是四边形 B．该截面多边形与棱的交点是棱的一个三等分点 C．平面 D．平面平面 【答案】B 【分析】将线段向两边延长，分别与棱的延长线，棱的延长线交于，连分别与棱交于，可判断A；利用相似比可得，可判断B；证明平面即可判断C；通过证明平面，可判断D. 【解析】对于A，将线段向两边延长，分别与棱的延长线，棱的延长线交于， 连分别与棱交于，得到截面多边形是五边形，A错误； 对于B，易知和全等且都是等腰直角三角形，所以， 所以，即，点是棱的一个三等分点，B正确； 对于C，因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证， 因为平面，所以平面， 因为平面与平面相交，所以与平面不垂直，C错误； 对于D，易知，所以， 又，所以平面， 结合C结论，所以平面与平面不平行，D错误. 故选：B． 【类题演练2】.已知在正方体中，，，分别是，，的中点，则过这三点的截面图的形状是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】利用平行画出截面，进而判断出正确答案. 【详解】分别取、、的中点、、，连接、、， 在正方体中，，，分别是，，的中点， ，，， 六边形是过，，这三点的截面图， 过这三点的截面图的形状是六边形． 故选：D 求截面的周长 例2 如图，正方体的棱长为4，E是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是（           ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作的平行线即可延展平面，则可得到截面，再求周长即可. 【详解】取中点，连接，, 中点为，E是侧棱的中点， ,, 又在直角三角形中, , 正方体中， 四边形为平行四边形, , 即为正方体的截面. 在直角三角形中, 同理,则截面周长为, 故选：C. 【类题演练1】（23-24高三上·河北廊坊·期末）如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先过点作于点，结合已知得，由棱台体积公式得，由勾股定理得，再求出的长，最终根据相似三角形对应边成比例即可得解. 【解析】如图所示， 过点作于点，因为， 所以， 则四棱台的高为，则四棱台的体积为， 解得，所以侧棱长为. 如图所示： 过于点，于点，连接， 由对称性可知， 所以， 而， 所以， 所以，同理， 分别在棱上取点，使得， 易得， 所以截面多边形的周长为. 故选：D. 求截面的面积 例3 已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，SC的中点为E，过点E做与SC垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意垂直关系可得平面截正四棱锥所得的截面面为四边形，结合根据相似求长度，进而根据面积公式即可求解. 【详解】连接， 由题意可得：，即为等边三角形， 且E为SC的中点，可得， 故平面， 连接，设，连接， 可得平面， 且平面，则， ，平面，所以平面， 平面，则， 在直线取一点，连接，使得， 在中，， 因为，可得， 故， 同理在棱取一点，使得，连接，则， 故平面截正四棱锥所得的截面面为四边形， 因为，则//， 由，可得， 所以四边形的面积. 故选：A. 【类题演练】（2023·江西赣州·模拟预测）在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱，E是BC的中点，F是棱上的点，且，过作平面，使得平面平面AEF，则平面截直四棱柱，所得截面图形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据四棱柱的几何性质以及面面平行的判定定理求解. 【解析】   如图，取的中点M，在上取一点H，使得，连接，如上图， 则，平面， 平面AEF，平面平面； 即过点平行于平面AEF的平面截四棱柱的图形是三角形， 其中， ， 故选：A. 与截面有关的最值问题 例4 （2024·广西·模拟预测）在三棱锥中，平面，，，，点为棱上一点，过点作三棱锥的截面，使截面平行于直线和，当该截面面积取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过作平行线作出题中的截面，并结合线面平行以及线面垂直说明其为矩形，利用三角形相似表示出矩形的两边长，并求得其面积表达式，结合二次函数性质确定截面面积取得最大值时参数的值，解直角三角形即可求得答案. 【解析】根据题意，在平面内，过点作，交于点； 在平面内，过点作，交于点； 在平面内，过点作，交于点，连接，如图所示，    因为，则，设其相似比为，即， 则； 又因为，，， 由余弦定理得，，则， 即. 又平面，，平面，所以，. 又，则，. 因为，则，则， 因为，所以，即， 同理可得，即， 因为，，则， 故四边形为平行四边形；而平面，平面， 故平面，同理平面， 即四边形为截面图形； 又平面，平面，则， 又，所以. 故平行四边形为矩形，则， 所以当时，有最大值，则， 在中，. 故选：C. 【点睛】思路点睛：先作平行线作出题中的截面，再证明四边形为符合题意的截面图形，结合线面平行以及线面垂直说明四边形为矩形，利用三角形相似表示出矩形的两边长，并求得其面积表达式，利用二次函数求出最值得解. 【类题演练】（2024·重庆渝中·模拟预测）在三棱锥中，，且平面，过点作截面分别交于点，且二面角的平面角为，则所得截面的面积最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由二面角的定义可得，从而，设，由三角形的面积相等和基本不等式得到，再由三角形的面积公式即可求解. 【解析】过作，垂足为，连接，则由三垂线定理可得， ∴即为二面角的平面角， ∴，，所以， 设，则， 在三角形中，， 又，所以， 所以，时等号成立， 所以三角形的面积为， 故截面PEF面积的最小值为. 故选：B. 交线长度问题 例5 （2024·山东枣庄·一模）在侧棱长为2的正三棱锥中，点为线段上一点，且，则以为球心，为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线长的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助线面垂直的判定定理与性质定理可得、、两两垂直，即以为球心，为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线分别为三段半径为，圆心角为的弧，借助弧长公式计算即可得. 【详解】取中点，连接、，则有，， 又，、平面，故平面， 又平面，故，又， ，、平面，故平面， 又、平面，故，， 由正三棱锥的性质可得、、两两垂直， 故，即以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为： ，即与该三棱锥三个侧面交线长的和为. 故选：C.    【类题演练1】（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（    ） A．的长度为 B．的长度为 C．的长度为 D．的长度为 【答案】A 【分析】做出截面，确定线段，，由平行线分线段成比例，相似三角形的性质以及勾股定理即可得解. 【详解】如图所示， 连接并延长交的延长线于，连接并延长交于点， 交的延长线于点，连接，交于点，连接， 则即为，即为， 由，得，所以，， 由，得，则， 所以，故C，D项错误； 由，得， 又易知，得，所以， 所以，故A项正确，B项错， 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于利用平面的性质作出截面，从而得到为，为，由此得解. 【类题演练2】（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】在上取点，使得，在上取点，使得，则、，根据线面、面面平行的判定定理可证明平面平面，则点M的轨迹为线段，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】由题意知，，在上取点，使得， 则且，所以四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 所以平面. 在上取点，使得， 有，所以，则， 又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，则点M的轨迹为线段. 在中，，由余弦定理， 得， 即点M的轨迹长度为. 故选：B 1.在正方体中，棱长为3，E为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意运用基本事实作出截面，根据截面的几何特征求其面积即可. 【详解】延长交于点，连接交于点，如图， 在正方体中，面面， 面面，面面 ，又 四边形是梯形，且为平面截正方体的截面. 又，在等腰梯形中，过作， . 故选：C. 2.已知球O是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点E是线段BC的中点，过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，是在底面的射影，求出底面外接圆的半径和几何体外接球的半径，当截面垂直于时截面面积最小，求出截面圆的半径即得解. 【详解】如图：    是在底面的射影，由正弦定理得，的外接圆半径. 由勾股定理得棱锥的高设球的半径为， 则，解得， 所以，即与重合， 所以当过点E作球O的截面垂直于时，截面面积最小， 此时截面半径为，截面面积为.故选：A. 3．（23-24高三下·江西·开学考试）已知一正方体木块的棱长为4，点在棱上，且.现过三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，在上取一点，使得，连接，则四边形为平行四边形，即平行四边形为所求的截面，利用余弦定理和同角的三角函数关系和三角形的面积公式求出，即可求解. 【详解】 如图，在上取一点，使得，连接， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以与相交于且为的中点， 又在上，所以与相交于，且O平分，， 所以四点四点共面且四边形为平行四边形， 所以过三点的截面是平行四边形， ， ， ， 故截面面积为. 故选：A. 4．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知正方体的棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，由，证得，再由平面，证得，从而得到平面，同理证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到平面截正方体的截面为，进而求得截面的面积，得到答案. 【详解】如图所示， 取的中点，分别连接， 在正方形中，因为分别为的中点，可得， 所以，， 因为，所以，所以，即， 又因为分别为的中点，所以， 因为平面，平面，所以，所以， 又因为且平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证：， 又因为且平面，所以平面， 即平面截正方体的截面为， 由正方体的棱长为， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以截面的面积为. 故选：D. 5（多选）已知棱长为2的正方体的中心为，用过点的平面去截正方体，则（    ） A．所得的截面可以是五边形 B．所得的截面可以是六边形 C．该截面的面积可以为 D．所得的截面可以是菱形 【答案】BCD 【分析】结合平面的性质，分类讨论作出截面判断A、B，求解正六边形的面积判断C，根据平行四边形的边长相等判断D. 【详解】一个平面去截正方体，考虑从正方体的上底面开始截入， 不妨设上底面与截面的交线为线段，截取有两种情况， 第一种情况是两点分别在两对边上或两相邻边上，如图，    直线与相交于点，直线与相交于点， 由正方体性质及面面平行性质定理知截面为平行四边形. 第二种情况，如图，    直线与相交于点，直线与相交于点，直线与相交于点，与相交于点，直线与相交于点与相交于点， 易知所得截面为六边形，A错误，B正确. 当截面为正六边形时，正六边形的边长为，它的面积为，C正确. 当截面为平行四边形时，由对称性可知， 若四边形为菱形，则， 可得，可得， 可得或，可得或，D正确. 故选：BCD. 6．（多选）（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在正方体中，分别为棱的中点，点是面的中心，则下列结论正确的是（    ） A．四点共面 B．平面被正方体截得的截面是等腰梯形 C．平面 D．平面平面 【答案】BD 【分析】可得过三点的平面为一个正六边形，判断A；分别连接和，截面是等腰梯形，判断B；分别取的中点，易证显然不平行平面，可判断C；平面，可判断D. 【详解】对于A：如图经过三点的平面为一个正六边形，点在平面外，四点不共面，选项A错误； 对于B：分别连接和，则平面即平面，截面是等腰梯形，选项B正确； 对于C：分别取的中点，则平面即为平面， 由正六边形，可知，所以不平行于， 又平面，所以，所以平面， 所以不平行于平面，故选项错误； 对于D：因为是等腰三角形，， ，， 是的中点，易证，由正方体可得平面， 平面，又平面，， 平面，平面， 平面，平面平面故选项D正确． 故选：BD． 7．（2024·广东广州·三模）在正四棱柱中，，，E，F分别为，的中点，点M是侧面上一动点（含边界），则下列结论正确的是（    ） A．∥平面 B．若，则点M的轨迹为抛物线的一部分 C．以为直径的球面与正四棱柱各棱共有16个公共点 D．以为直径的球面与正四棱柱各侧面的交线总长度为 【答案】ACD 【分析】利用线线平行易证线面平行可判断选项A；利用线线角为定值，知另一边在一个圆锥上，从面用截面思想可判断选项B；利用球心在正四棱柱的中心，然后可以判断到上下底面各棱的距离都正好等于半径，而到各侧棱的距离都小于半径，从而可以判断选项C；利用球被平面所截是一个小圆，小圆的圆心就是球心到各侧面的射影，从而可通过计算交线长，再来判断选项D． 【详解】 根据已知条件可知，，，连结，可得四边形是平行四边形， 所以可得，又因为平面,平面, 所以平面，故选项A正确； 因为是一个定值，所以也等于一个定值，所以一定是以为轴的一个圆锥的母线， 这样的圆锥被过顶点的平面所截，所得的是两条母线， 即落在侧面内的轨迹就是线段，所以选项B是错误的； 由正四棱柱的中心对称心可知，以为直径的球心一定是在正四棱柱的中心， 根据，，可知， 所以可知球心到上下两底面各棱的中点的距离都等于该球的半径， 即该球与上下两底面各棱的交点共有8个， 又因为球心到各侧棱的距离是，到各顶点的距离是1， 所以每条侧棱上都有两个点到球心等于该球的半径，即总共就有16个.故C选项正确； 由上面推理易知，以为直径的球与上下两底面的交线是两个完整的内切圆， 此时一个圆的周长是， 而根据该球心到一个侧面射影是，，， 可解得，所在侧面截得交线如图： 由，，可得，即， 所以在该侧面内留下的交线长为， 即该球面与正四棱柱各侧面的交线总长度为，故D选项正确； 故选：ACD. 8．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（    ） A．当P在平面上运动时，三棱锥的体积为定值 B．当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 C．若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足时，长度的最小值是 D．使直线AP与平面ABCD所成的角为的点P的轨迹长度为 【答案】ABD 【分析】求三棱锥的体积判断A的真假；根据线线角的概念确定与所成角的取值范围，判断B的真假；确定点轨迹，求长度的最小值，判断C的真假；判断点轨迹，求P的轨迹长度判断D的真假. 【详解】对A：当P在平面上运动时，点到平面的距离为2， ，所以，故A正确； 对B：如图： 取中点，连接，则. 当P在线段AC上运动时，因为，且， 所以为异面直线与所成角. 当与重合时，异面直线与所成角为. 当与不重合时，因为,，所以，所以，所以异面直线与所成角的范围为，故B正确； 对C：如图： 根据正方体的结构特点，平面，为中点， 因为，所以点轨迹是过点且平行于平面的平面，即为平面，其中分别为所在棱上的中点. 故当P在底面ABCD上运动，且满足时，P点的运动轨迹为线段. 其中分别为，中点.易知六边形为正六边形， 所以当与重合时，， 此时为点到直线的垂线段，取得最小值，为，故C错误； 对D：如图： 当直线与平面ABCD所成的角为时， 因为，所以不可能在四边形内（除外）； 同理不可能在四边形内（除外）. 在平面与平面的运动轨迹为线段和，且； 当在平面时，作平面，垂足为，连接， 因为，所以， 所以在四边形上的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆的， 所以点的轨迹长度为：，故D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点拨：对于立体几何的综合问题的解答方法： （1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； （2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； （3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 9．（2024·福建漳州·一模）在直三棱柱中，，，过作该直三棱柱外接球的截面，所得截面的面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意直观想象三棱住的外接球位置，再利用球的截面性质可得当为所截圆的直径时截面面积最小，从而得解. 【详解】由直三棱柱可知，平面， 又，所以两两垂直， 设直三棱柱外接球的半径为R， 通过构造长方体可知该三棱柱的外接球与以为边长的长方体外接球相同； 过作该直三棱柱外接球的截面，当为所截圆的直径时截面面积最小， 因为， 则所求截面面积最小值为. 故答案为：. 10．（22-23高一下·山西晋中·期中）如图，在长方体中，，，为的中点，过的平面分别与棱，交于点E，F，且，则截面四边形的面积为 . 【答案】 【分析】利用平面的基本性质作出截面，然后求解面积即可. 【详解】如图： 过点B作的平行线分别与，的延长线交于G，H，连接，， 并分别与，交于E，F，因为，且平面，平面， 所以平面，所以平面即为平面，因为，， 所以，所以四边形为菱形，且，， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决截面问题的关键是根据平面的性质结合题意作截面图形，一般作平面内与已知直线的平行线或者相交线，考查学生的空间想象能力. 学科网（北京）股份有限公司 $$