重难点13 球的内切外接问题（13大模型+最新模拟）-备战2025年高考数学重难点专题突破（新高考专用）

球的内切、外接问题 结合空间中的线面平行、线面垂直以及面面平行、面面垂直的性质以及判定定理，能够处理与球的内切、外接相关的问题. 1.常见几何体的内切球、外接球的性质 (1)内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等; (2)正多面体的内切球和外接球的球心重合; (3)正棱锥的内切球和外接球的球心都在高线上. (4)长方体的外接球 ①球心:体对角线的交点; ②半径:R=(a,b,c为长方体的长、宽、高). (5)正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球 球心是正方体的中心,设a为正方体的棱长. ①外接球:半径R=; ②内切球:半径r=; ③棱切球:半径r=. (6)正四面体的外接球与内切球 球心是正四面体的中心,a为正四面体的棱长. ①外接球:半径R=; ②内切球:半径r=. (7)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面外心连线的中点； (8)正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置由计算可得； (9)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心. 2.球面性质 大圆：过球心的截面与球面的交线。大圆半径即球的半径。 小圆：不过球心的截面与球面的交线。 常用公式： （1） （2） （3） 外接球问题 这类问题的求解思路是根据条件找出球心、截面圆的圆心、球心与截面圆的距离，通过构造直角三角形进行求解。 几何体外接球问题的处理方法 解题关键是确定球心和半径，其解题思维流程： (R—球的半径，r—截面圆的半径，h—球心到截面圆的距离) 【注意】若截面为非特殊三角形，则可用正弦定理求其外接圆的半径r. 模型1 线面垂直模型 若棱锥有一条侧棱垂直于底面，且棱长为h,底面多边形的外接圆半径为r，则该棱锥的外接球半径为： 例1（2024·四川凉山·二模）已知在三棱锥中，，，底面是边长为1的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【类题演练】已知三棱锥P-ABC,在底面△ABC中,∠A=60°,BC=，PA⊥面ABC,PA=2,则此三棱锥的外接球的体积为 ( ) 模型2 面面垂直模型 若两个平面垂直，则分别找出两垂直多边形的外接圆圆心，然后分别作过圆心的垂直线，交点即球心 例2．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，为的中点，，与平面所成的角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【类题演练1】（2024·江西南昌·三模）已知三棱锥中，是边长为2的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，分别是线段的中点，若，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【类题演练2】如图，在三棱锥 中，，平面 平面 ，则三棱锥 外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 模型3 侧棱相等的棱锥模型 解题步骤：①取底面的外心，则三点共线；②先算出圆的半径（利用正弦定理），再算出锥体的高；③在利用勾股定理：，解出. 例3（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知三棱锥中，，则三棱锥的外接球的体积为（     ） A． B． C． D． 【类题演练】在正三棱锥中，，，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 模型4 二面角模型 这类问题的解题关键是确定球心，其思路多是可以借助外心垂线相交法来计算解决：①等边三角形中心（即外心）做面垂线，必过球心；②直角三角形斜边中点（即外心）做面垂线，必过球心； 注意：外心垂线夹角与二面角相等或者互补. 例4（23-24高三下·浙江·阶段练习）如图，平行四边形中，，.现将沿起，使二面角大小为120°，则折起后得到的三棱锥外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【类题演练1】已知菱形的边长为6，，将沿对角线翻折，使点到点处，且二面角为，则此时三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【类题演练2】（2024·江西宜春·模拟预测）如图，在四面体中，和均是边长为6的等边三角形，，则四面体外接球的表面积为 . 模型5 共斜边模型 三棱锥中，有两个直角三角形有公共的斜边，则斜边的中点即外接球的球心，该斜边球的直径 例5．在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为 ． 模型6 棱台模型 球内接圆台，棱台：，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．基本规律：正棱台外接球，以棱轴截面为主 例6（2024·山东菏泽·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【类题演练1】(2022·新高考全国Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．100π B．128π C．144π D．192π 【类题演练2】（2024·新疆·三模）设四棱台的上、下底面积分别为，，侧面积为，若一个小球与该四棱台的每个面都相切，则（    ） A． B． C． D． 模型7 旋转体模型 例7．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知某圆台的母线长为，母线与轴所在直线的夹角是，且上、下底面的面积之比为，则该圆台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【类题演练1】已知圆柱的高为2，侧面积为，若该圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【类题演练2】（2024·陕西安康·模拟预测）若某圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球表面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 若三棱锥的对棱相等，此时探寻球心无从着手.因为长方体的相对面的面对角线相等，所以可在长方体中构造三棱锥，从而巧妙探索外接球的球心与半径. 例8．（2024·河南信阳·模拟预测）把沿三条中位线折叠成四面体，其中，，，则四面体的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 模型1：三棱锥的三条侧棱两两互相垂直 模型2：有一侧棱垂直于底面，底面为直角三角形的三棱锥 例9（2024·湖南·二模）如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【类题演练1】（2024·福建福州·一模）已知三棱锥中，为等边三角形，，，，，则三棱锥的外接球的半径为 ． 【类题演练2】（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图，边长为2的正方形中，分别是的中点，将分别沿折起，使重合于点，则三棱锥的外接球的体积为 . 棱切球 例9．（2024·全国·模拟预测）已知正三棱柱的侧面积为36，则与三棱柱各棱均相切的球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【类题演练1】（2024·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则 ． 内切球 例10．（2024·山东烟台·一模）在三棱锥中，，且分别是的中点，，则三棱锥外接球的表面积为 ，该三棱锥外接球与内切球的半径之比为 . 例11 （2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试）已知上底面半径为，下底面半径为的圆台存在内切球（与上，下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【类题演练1】已知圆台上、下两底面与侧面都与球相切，圆台的侧面积为，则该圆台上、下两个底面圆的周长之和为 ． 多球问题 例12.如图，三个半径都是的小球放在一个半球面的碗中，小球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，则碗的半径是___________. 【变式】（2023·湖南郴州·统考三模）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为__________. 最值问题 例13.（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ） A． B． C． D． 【类题演练1】（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【类题演练2】（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024·全国专题练习）长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·四川凉山·二模）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（ ） A． B． C． D． 3、若三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是边长为3的正三角形，SC为球O的直径，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 4、《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图 是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5.三棱锥的侧棱两两垂直，且侧面面积分别为，则该三棱锥内切球的半径为（    ） A．4 B． C． D． 6.（2024·河北联考期中）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 7.已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知四棱锥的各顶点在同一球面上，若，为正三角形，且面面，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9.（2024·河南信阳·一模）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（    ）    A．该正八面体结构的表面积为 B．该正八面体结构的体积为 C．该正八面体结构的外接球表面积为 D．该正八面体结构的内切球表面积为 10．（2024·江西上饶·一模）空间中存在四个球，它们半径分别是2，2，4，4，每个球都与其他三个球外切，下面结论正确的是（    ） A．以四个球球心为顶点的四面体体积为 B．以四个球球心为顶点的四面体体积为 C．若另一小球与这四个球都外切，则该小球半径为 D．若另一小球与这四个球都内切，则该小球半径为 11．（2024·高三·山东菏泽·期末）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为2，则（    ） A．勒洛四面体被平面截得的截面面积是 B．勒洛四面体内切球的半径是 C．勒洛四面体的截面面积的最大值为 D．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 14．（2024·吉林延边·一模）如图，在多面体中，底面是边长为的正方形，平面，动点在线段上，则下列说法正确的是（    ） A． B．存在点，使得平面 C．三棱锥的外接球被平面所截取的截面面积是 D．当动点与点重合时，直线与平面所成角的余弦值为 3、 填空题 12、三棱锥的顶点都在球的表面上，是等边三角形，底面是以为斜边的直角三角形，平面平面，若，则球的表面积为 . 13．（2024·高三·江苏连云港·阶段练习）已知正三棱柱的体积为，若存在球与三棱柱的各棱均相切，则球的表面积为 . 14.如图，在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 球的内切、外接问题 结合空间中的线面平行、线面垂直以及面面平行、面面垂直的性质以及判定定理，能够处理与球的内切、外接相关的问题. 1.常见几何体的内切球、外接球的性质 (1)内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等; (2)正多面体的内切球和外接球的球心重合; (3)正棱锥的内切球和外接球的球心都在高线上. (4)长方体的外接球 ①球心:体对角线的交点; ②半径:R=(a,b,c为长方体的长、宽、高). (5)正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球 球心是正方体的中心,设a为正方体的棱长. ①外接球:半径R=; ②内切球:半径r=; ③棱切球:半径r=. (6)正四面体的外接球与内切球 球心是正四面体的中心,a为正四面体的棱长. ①外接球:半径R=; ②内切球:半径r=. (7)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面外心连线的中点； (8)正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置由计算可得； (9)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心. 2.球面性质 大圆：过球心的截面与球面的交线。大圆半径即球的半径。 小圆：不过球心的截面与球面的交线。 常用公式： （1） （2） （3） 外接球问题 这类问题的求解思路是根据条件找出球心、截面圆的圆心、球心与截面圆的距离，通过构造直角三角形进行求解。 几何体外接球问题的处理方法 解题关键是确定球心和半径，其解题思维流程： (R—球的半径，r—截面圆的半径，h—球心到截面圆的距离) 【注意】若截面为非特殊三角形，则可用正弦定理求其外接圆的半径r. 模型1 线面垂直模型 若棱锥有一条侧棱垂直于底面，且棱长为h,底面多边形的外接圆半径为r，则该棱锥的外接球半径为： 例1（2024·四川凉山·二模）已知在三棱锥中，，，底面是边长为1的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在三棱锥中，，，正的边长为1， 则，即有，同理，而平面， 于是平面，令正的外心为，三棱锥外接球球心为， 则平面，显然球心在线段的中垂面上，取的中点，则， 而，则四边形是矩形，， 所以球半径，表面积. 故选：B 【类题演练】已知三棱锥P-ABC,在底面△ABC中,∠A=60°,BC=，PA⊥面ABC,PA=2,则此三棱锥的外接球的体积为 ( ) 模型2 面面垂直模型 若两个平面垂直，则分别找出两垂直多边形的外接圆圆心，然后分别作过圆心的垂直线，交点即球心 例2．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，为的中点，，与平面所成的角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面垂直和面面垂直的判定可得平面平面，结合交线可确定线面角，进而证得平面；分别取，外接圆圆心，根据球的性质可确定球心位置，根据长度关系可求得半径，进而得到外接球表面积. 【详解】为的中点，，，即为等腰三角形， ，，均为边长为的等边三角形， ，又，平面，平面， 平面，平面平面， 平面平面，为在平面内的射影， 即为与平面所成的角，即， ，，， 又，，平面，平面. 设三棱锥外接球的球心为，外接圆的圆心为，外接圆的圆心为， 连接，则平面，平面， 均为边长为的等边三角形， ，，， 三棱锥外接球的半径， 三棱锥外接球的表面积. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中多面体外接球的求解问题，本题的解题关键是能够通过面面垂直关系确定已知中所给线面角，从而确定几何体的基本结构特征，进而根据外接球的性质来确定球心位置. 【类题演练1】（2024·江西南昌·三模）已知三棱锥中，是边长为2的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，分别是线段的中点，若，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出图象，由面面垂直的判断定理可得平面平面，从而可得三棱锥的外接球的球心，求出外接球的半径，即可得答案. 【详解】因为是边长为2的正三角形，是线段的中点， 所以，又因为，平面，， 所以平面，又因为平面，所以平面平面， 易知， 又因为，是以为斜边的等腰直角三角形， 所以，， 设三棱锥的外接球的球心为，半径为， 则，， 在，，即，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积. 故选：C. 【类题演练2】如图，在三棱锥 中，，平面 平面 ，则三棱锥 外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，取中点E，连接，在上取F点满足， 由题意易知为正三角形，则F点为的外接圆圆心，且, 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 所以底面，底面，过F作， 故三棱锥 外接球的球心O在直线上，作交于G点， 设，球半径为R， 根据， 易知，四边形为矩形， 由勾股定理可知：， 即， 故其外接球表面积为. 故选：B 模型3 侧棱相等的棱锥模型 解题步骤：①取底面的外心，则三点共线；②先算出圆的半径（利用正弦定理），再算出锥体的高；③在利用勾股定理：，解出. 例3（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知三棱锥中，，则三棱锥的外接球的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理可得，点在底面的投影即为的外心，再利用正弦定理求得外接圆的半径，然后找到球心的大致位置，根据半径相等列等式求解即可. 【详解】 过点作平面，垂足为，连接、、， 因为，所以， 故点是底面的外心，设外接圆的半径， 由正弦定理，所以，， 所以，， 设三棱锥的外接球球心为，显然在线段上， 设，三棱锥的外接球的半径为， 则，，又， 所以，，， 三棱锥的外接球的体积为. 故选：C. 【类题演练】在正三棱锥中，，，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法一：如图，取正三角形的中心为，连接， 则三棱锥的外接球球心在上，连接. 在正三角形中，，所以. 在中，，所以. 设外接球的半径为， 由，，解得， 所以三棱锥的外接球表面积. 故选:C.    方法二：在正三棱锥中，过点作底面于点， 则为底面正三角形的中心， 因为正三角形的边长为2，所以. 因为，所以. 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，    则，. 设三棱锥的外接球球心为，半径为. 由，得，解得， 所以， 则三棱锥的外接球表面积. 故选：C. 模型4 二面角模型 这类问题的解题关键是确定球心，其思路多是可以借助外心垂线相交法来计算解决：①等边三角形中心（即外心）做面垂线，必过球心；②直角三角形斜边中点（即外心）做面垂线，必过球心； 注意：外心垂线夹角与二面角相等或者互补. 例4（23-24高三下·浙江·阶段练习）如图，平行四边形中，，.现将沿起，使二面角大小为120°，则折起后得到的三棱锥外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，找到二面角的平面角，并得到球心的位置，利用半径相等得到方程，求出外接球半径，得到表面积. 【详解】如图所示，过点作，过点作，两直线相交于点， 因为，， 所以，⊥，则⊥， 由于⊥，故即为二面角的平面角， 则， 过点作⊥于点， 因为⊥，⊥，，平面， 故⊥平面， 因为平面，所以⊥， 又，平面， 则⊥平面，， 取的中点，则外接球球心在平面的投影为，即⊥平面， 连接，，则，过点作，交直线于点， 则，   ， ， 由余弦定理得 ， 设，则，故， 由勾股定理得，， 故，解得， 故外接球半径为，外接球表面积为. 故选：C 【点睛】方法点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 【类题演练1】已知菱形的边长为6，，将沿对角线翻折，使点到点处，且二面角为，则此时三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接交于，连接，易得为与的中点，    四边形为菱形，，即，， 二面角的平面角为，； 又，，所以， 在中，由余弦定理得， 由三棱锥的结构特征可得其外接球的球心在的平分线上， 记外接球的球心为，设，外接球半径为， 所以， 即，解得，所以， 三棱锥的外接球的表面积为. 故选：D. 【类题演练2】（2024·江西宜春·模拟预测）如图，在四面体中，和均是边长为6的等边三角形，，则四面体外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】设四面体外接球的球心为的中心分别为，则可得平面平面，且四点共面，可得，进而求出，然后由勾股定理求出四面体外接球的半径；取中点，作，设点轨迹所在平面为，求出四面体外接球半径和到平面的距离，从而可求出平面截外接球所得截面圆的半径，进而可得结果. 【详解】 取中点，连接，则，平面， 又和均是边长为6的等边三角形，， ∴平面，， 所以， ∴， 设四面体外接球的球心为的中心分别为， 易知平面平面，且四点共面， 由题可得，， 在中，得，又， 则四面体外接球半径， 所以四面体外接球的表面积为； 模型5 共斜边模型 三棱锥中，有两个直角三角形有公共的斜边，则斜边的中点即外接球的球心，该斜边球的直径 例5．在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】 【详解】取的中点，因为， 所以， 所以三棱锥外接球的球心为，半径为． 故三棱锥外接球的表面积为．    故答案为： 模型6 棱台模型 球内接圆台，棱台：，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．基本规律：正棱台外接球，以棱轴截面为主 例6（2024·山东菏泽·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合棱台的体积公式求出棱台的高，棱台上下底面的外接圆半径，再借助正棱台的结构特征求出其外接球半径即可. 【详解】令给定的正三棱台为正三棱台，， 令正的中心分别为，而， 则，解得， 的外接圆半径，的外接圆半径， 显然正三棱台的外接球球心在直线，设外接球半径为，则， 因此，解得， 所以该正三棱台的外接球表面积为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解. 【类题演练1】(2022·新高考全国Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．100π B．128π C．144π D．192π 【答案】　A 【解析】　由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3＝3，××4＝4. 设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2(图略)，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上． 设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋OO＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)； 当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋OO＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3， 所以R2＝25， 所以该球的表面积为4πR2＝100π. 综上，该球的表面积为100π. 【类题演练2】（2024·新疆·三模）设四棱台的上、下底面积分别为，，侧面积为，若一个小球与该四棱台的每个面都相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用体积相等可得答案. 【详解】设内切球的球心为，连接， 则把四棱台分割成六个四棱锥， 且六个四棱锥的高都为内切球的半径， 四棱台的高为，所以 ， 化简可得. 故选：D. 模型7 旋转体模型 例7．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知某圆台的母线长为，母线与轴所在直线的夹角是，且上、下底面的面积之比为，则该圆台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在轴截面中根据长度和角度关系以及三角形相似可得圆台的上底面半径和下底面半径及高，利用勾股定理建立等式解出方程，即可求得外接球半径，进而求得其表面积． 【详解】如图：上，下底面圆心分别为，外接球球心为， 连接如图所示： 因为上、下底面的面积之比为1：4，则上底面半径与下底面半径之比为，即， 又母线与轴所在直线的夹角是,故，结合, 则有，故 记圆台外接球半径为， 在直角和直角中由勾股定理知：， 则有，解可得， 故圆台外接球的半径， 则该圆台外接球的表面积． 故选：C． 【类题演练1】已知圆柱的高为2，侧面积为，若该圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由圆柱侧面积，解得， 因为圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上， 所以球心在圆柱高的中点处，设球半径为， 则由， 所以, 故选：A 【类题演练2】（2024·陕西安康·模拟预测）若某圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球表面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过圆锥的旋转轴作轴截面，由题意可求得轴截面内切圆的半径为1，进而求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案． 【详解】 如图，由题意知内切圆和外接圆同圆心，即的内心与外心重合，则为正三角形， 因为内切球表面积为，设内切圆的半径为，则，所以内切圆的半径为1， 所以的边长为， 所以圆锥的底面半径为，又高为， 故圆锥体积， 故选：B. 若三棱锥的对棱相等，此时探寻球心无从着手.因为长方体的相对面的面对角线相等，所以可在长方体中构造三棱锥，从而巧妙探索外接球的球心与半径. 例8．（2024·河南信阳·模拟预测）把沿三条中位线折叠成四面体，其中，，，则四面体的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，记的中点分别为， 因为，，， 由中位线性质可得， 翻折后的四面体如图： 由翻折的性质可得， 所以四面体对棱相等， 故可以考虑将四面体补形为长方体如下； 四面体的外接球即长方体的外接球， 设其外接球半径为，， 则， 因为，所以， 所以， 所以四面体的外接球表面积， 故选：D. 模型1：三棱锥的三条侧棱两两互相垂直 模型2：有一侧棱垂直于底面，底面为直角三角形的三棱锥 例9（2024·湖南·二模）如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将四面体补形成长方体，长方体的长､宽､高分别为、、， 四面体的外接球即为长方体的外接球， 而长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为， 故，所以外接球表面积为. 故选：B. 【类题演练1】（2024·福建福州·一模）已知三棱锥中，为等边三角形，，，，，则三棱锥的外接球的半径为 ． 【答案】3 【分析】首先证明，，两两垂直且长度均为，再将该三棱锥放置于正方体当中即可. 【详解】取线段的中点，分别连接，因为为等边三角形， 则，所以，因为，且，平面， 所以平面，因为平面， 所以，又因为的中点为，则垂直平分，因为， 所以，所以为等腰直角三角形， 所以，因为，则， 所以，又因为，平面，，所以平面， 则易知，，两两垂直且长度均为， 所以可将三棱锥补成正方体，如图所示三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 设外接球的半径为，则. 故答案为：3. 【类题演练2】（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图，边长为2的正方形中，分别是的中点，将分别沿折起，使重合于点，则三棱锥的外接球的体积为 . 【答案】 【分析】把三棱锥放到长方体中，利用长方体的外接球就是三棱锥的外接球列式计算。 【详解】由题意知，故三线两两垂直； 如图1构造长方体，长方体的外接球就是三棱锥的外接球， 长方体的体对角线就是外接球的直径，设为， 则，即， 所以所求外接球的体积为. 棱切球 例9．（2024·全国·模拟预测）已知正三棱柱的侧面积为36，则与三棱柱各棱均相切的球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，设上下底面的中心分别为，由对称性可知， 球的球心为的中点，取的中点，连接， 连接并延长，交于，连接，则， 设，则， ， 而，联立两式，解得，则球的半径为， 则其表面积为，故B正确. 故选：B. 【类题演练1】（2024·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则 ． 【答案】 【解析】 设正三棱柱的棱长为，因为正三棱柱上下底面中心连线的中点为外接球的球心， 则外接球的半径，， 所以， 因为，所以为棱切球的球心，则棱切球半径， 所以. 故答案为： 内切球 例10．（2024·山东烟台·一模）在三棱锥中，，且分别是的中点，，则三棱锥外接球的表面积为 ，该三棱锥外接球与内切球的半径之比为 . 【答案】 【解析】如图，，且，故， 可得，则，取中点，连接， 则，又，面，可得面 又面，则，又分别是的中点，连接，则// 由题意得，故，，又， 面，故面，又，则， 可得，则两两垂直， 故以作长方体，如图所示， 则该长方体外接球即为所求三棱锥的外接球，连接， 其中点为所求外接球的球心，设其半径为， 可得，故，解得，而， 设该三棱锥内切球半径为，球心为，连接， 则， 可得， 故， 而，，， 易知是的中点，由，得，故得， 而由勾股定理得，则， 故可将一式化为， 解得，而半径比为， 故答案为：； 例11 （2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试）已知上底面半径为，下底面半径为的圆台存在内切球（与上，下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆台的轴截面为等腰梯形，上底面半径为，下底面半径为，则腰长为， 故梯形的高为， 则该圆台的体积为. 故选：D. 【类题演练1】已知圆台上、下两底面与侧面都与球相切，圆台的侧面积为，则该圆台上、下两个底面圆的周长之和为 ． 【答案】 【详解】 设圆台上底面半径为，下底面半径为，圆台的轴截面如图所示， 则圆台的母线长为， 圆台的侧面积：， ， 上下两个底面的周长之和为. 故答案为：． 多球问题 例12.如图，三个半径都是的小球放在一个半球面的碗中，小球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，则碗的半径是___________. 【答案】 【解析】设三个小球的球心、、在上底面圆（碗口所在的截面圆） 所在平面内的射影分别为、、，如下图所示： 则几何体为正三棱柱， 且该正三棱柱的底面边长为，高为， 则， 设半球面的半径为，因为球与球内切， 则，所以，. 因此，碗的半径为. 【变式】（2023·湖南郴州·统考三模）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为__________. 【答案】 【解析】如图所示：依题意得 ， 底面的外接圆半径为， 点到平面的距离为 ， 所以 ， 所以 设球的半径为，所以 则，得 设球的半径为，则，又 得 所以球的表面积为 最值问题 例13.（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】[方法一]：【最优解】基本不等式 设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r， 设四边形ABCD对角线夹角为， 则 （当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立） 即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为 又设四棱锥的高为，则， 当且仅当即时等号成立. 故选：C [方法二]：统一变量＋基本不等式 由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高， (当且仅当，即时，等号成立) 所以该四棱锥的体积最大时，其高. 故选：C． [方法三]：利用导数求最值 由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则， ，，单调递增， ，，单调递减， 所以当时，最大，此时． 故选：C. 方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解； 方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值； 方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法． 【类题演练1】（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵球的体积为，所以球的半径, [方法一]：导数法 设正四棱锥的底面边长为，高为， 则，, 所以， 所以正四棱锥的体积， 所以， 当时，，当时，， 所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为， 又时，，时，, 所以正四棱锥的体积的最小值为， 所以该正四棱锥体积的取值范围是. 故选：C. [方法二]：基本不等式法 由方法一故所以当且仅当取到， 当时，得，则 当时，球心在正四棱锥高线上，此时， ，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是 【类题演练2】（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆锥的顶点为，底面圆的圆心为，内切球圆心为， 则，， 因为⊥，⊥，所以∽，则， 设，， 故，由得：， 由得：， 故，所以，， 解得：， 所以圆锥的表面积为， 令，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在时取得最小值，， 此时，， 设圆锥的外接球球心为，连接，设， 则， 由勾股定理得：，即， 解得：，故其外接球的表面积为. 故选：A 一、单选题 1．（2024·全国专题练习）长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方体外接球直径，可求出半径R，再由球体表面积公式，即可求出结果. 【详解】长方体外接球直径，所以该长方体外接球的表面积 故选：C. 2.（2024·四川凉山·二模）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，此四面体可以看成一个长方体的一部分， 长方体的长、宽、高分别为，，，四面体如图所示， 所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线， 即,解得. 所以四面体外接球表面积是.故选：B. 3、若三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是边长为3的正三角形，SC为球O的直径，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出外接圆直径，结合锥体体积公式及球面的性质求出球半径即可计算作答. 【详解】如图，设的中心为，连接，的延长线交球面于点D，连SD， 显然CD是外接圆的直径，则，而平面ABC，则平面ABC， 因正边长为3，则，，又， 而，解得， 在中，球O的直径，球O的半径， 所以三棱锥的外接球的体积为. 故选：D 4、《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图 是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题目条件有，则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同. 【详解】因，平面ABCD，平面ABCD， 则，又因四边形ABCD为矩形，则. 则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同. 又，，．则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：， 则外接球的表面积为： 故选：B 5.三棱锥的侧棱两两垂直，且侧面面积分别为，则该三棱锥内切球的半径为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意可得，，进而由勾股定理可得，，从而求得，再利用等体积法即可求解. 【详解】由题意，可得， 解得，， 由勾股定理可得，， 设中点为，连接，则，且， 所以， 即. 设该三棱锥内切球的球心为，半径为， 由， 即， 即， 解得. 故选：D. 6.（2024·河北联考期中）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，如图所示： 则，故，球的半径， 故体积为. 故选：D 7.已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成直四棱柱，其体对角线就是外接球的直径，求得球的半径，利用球的表面积公式，即可求解． 【详解】方法一： 由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成直四棱柱， 其体对角线就是外接球的直径，所以半径， 由球的表面积公式得， 故选：B． 方法二： 如图，取的中点分别为， 根据题意，它们分别是的外心，因为， 所以四边形是平行四边形，所以， 而底面ABC，所以底面ABC， 取的中点O，于是点O为该直三棱柱外接球的球心． 连接OB，容易求得，则外接球半径 ，于是外接球的表面积为， 故选：B． 8．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知四棱锥的各顶点在同一球面上，若，为正三角形，且面面，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作辅助线，找到球心的位置，证明到四棱锥所有顶点距离相等；根据勾股定理，求出球的半径，进而求出球的表面积. 【详解】如图，取的中点，取的中点，连接、，在线段上取一点，使， 过点作平面的垂线，使，连接， 易知四边形是等腰梯形，、、均为等边三角形， 所以， 因为平面， 所以， 所以， 因为为正三角形，为的中点， 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以，即 又因为，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为为正三角形，为的中点， 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以平面， 又因为是的外心，所以， 所以， 所以即为四棱锥外接球的球心， 因为，， 所以 所以， 故选：C. 二、多选题 9.（2024·河南信阳·一模）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（    ）    A．该正八面体结构的表面积为 B．该正八面体结构的体积为 C．该正八面体结构的外接球表面积为 D．该正八面体结构的内切球表面积为 【答案】ACD 【解析】 对A：由题知，各侧面均为边长为的正三角形， 故该正八面体结构的表面积，故A正确； 对B：连接，则，底面， 故该正八面体结构的体积，故B错误； 对C：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心，外接球半径， 故该正八面体结构的外接球表面积，故C正确； 对D：该正八面体结构的内切球半径， 故内切球的表面积，故D正确； 故选：ACD． 10．（2024·江西上饶·一模）空间中存在四个球，它们半径分别是2，2，4，4，每个球都与其他三个球外切，下面结论正确的是（    ） A．以四个球球心为顶点的四面体体积为 B．以四个球球心为顶点的四面体体积为 C．若另一小球与这四个球都外切，则该小球半径为 D．若另一小球与这四个球都内切，则该小球半径为 【答案】ACD 【解析】设半径为2的两球球心为A，B；半径为4的两球球心为C,D，易知，，, 取中点，连接， 因为，点为中点， 所以，，则， 故，则， 因为平面，所以平面， 则，故A正确，B不正确； 若另一小球与这四个球都外切，设小球中心为，半径为，则点在四面体内，取中点，中点，连接， 则，，又，，所以， 则球心在上，所以， 同理，代入解得或（舍），故C正确； 若另一小球与这四个球都内切，设小球中心为，半径为，则，，且点在上， 所以， 同理，代入得或（舍），故D正确. 故选：ACD. 11．（2024·高三·山东菏泽·期末）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为2，则（    ） A．勒洛四面体被平面截得的截面面积是 B．勒洛四面体内切球的半径是 C．勒洛四面体的截面面积的最大值为 D．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 【答案】BC 【解析】观察几何体知，勒洛四面体的最大截面是经过正四面体的任意三个顶点的平面截勒洛四面体而得， 勒洛四面体被平面截得的截面是正及外面拼接上以各边为弦的三个弓形， 弓形弧是以正各顶点为圆心，边长为半径且所含圆心角为的扇形弧，如图所示： 因此，截面面积为：，选项A错误，C正确； 由对称性知，勒洛四面体内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心， 正外接圆半径，正四面体的高， 设正四面体的外接球半径为，在中，，解得， 因此，勒洛四面体内切球半径为，选项B正确； 勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切，即为勒洛四面体内切球， 所以勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为，选项D错误． 故选：BC． 14．（2024·吉林延边·一模）如图，在多面体中，底面是边长为的正方形，平面，动点在线段上，则下列说法正确的是（    ） A． B．存在点，使得平面 C．三棱锥的外接球被平面所截取的截面面积是 D．当动点与点重合时，直线与平面所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】设,连接，令中点为，连接，如图所示： 由底面是正方形可得：是的中点，且； 由平面，平面，平面, 可得平面平面，； 由，,可得四边形为矩形. 对于选项A:由，平面平面， 且平面平面,面，可得面， 又面,所以，故选项A正确； 对于选项B: 因为在矩形中, 所以四边形是平行四边形，则直线 因为平面,平面,则面. 故当是线段的中点时，直线面,故B正确； 对于选项C:因为在中，, 所以, 由正弦定理得：的外接圆直径, 则半径为，圆面积为, 因为三棱锥的外接球的球心在过点且与平面垂直的直线上，且四边形为矩形， 所以点在三棱锥的外接球上. 所以三棱锥的外接球被平面所截取的截面是的外接圆， 因此三棱锥的外接球被平面所截取的截面面积是，故C错误． 对于选项D:因为面，平面, 所以面平面， 所以在平面内的射影在直线上， 即直线与平面所成角为. 在中，, 故选项D正确； 故选：ABD. 3、 填空题 12、三棱锥的顶点都在球的表面上，是等边三角形，底面是以为斜边的直角三角形，平面平面，若，则球的表面积为 . 【答案】 【详解】取中点，底面是直角三角形，所以为底面外接圆圆心， 取中点，连接，在线段上取点，使，是等边三角形，所以为外接圆圆心. 过点，分别作平面和平面的垂线，则两垂线的交点，即为球的球心. 因为是等边三角形，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，所以. 因为为中点，为中点，所以，又底面是以为斜边的直角三角形，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，所以， 所以四边形为矩形， 所以，， 所以，即球的半径， 球的表面积为. 故答案为: .    13．（2024·高三·江苏连云港·阶段练习）已知正三棱柱的体积为，若存在球与三棱柱的各棱均相切，则球的表面积为 . 【答案】 【解析】 如图所示，取上下底面的中心，分别为上底面棱上的切点， 则为的中点，设， 由题意易知， 则， 因为， 所以. 故答案为：. 14.如图，在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为 . 【答案】/ 【详解】 取和的中点分别为，，过点作面于点， 连结，，,平面,故， 又，则又平面, 故平面，平面，故 则为二面角的补角， ， 因为，，则，且， 易知， 因为为等腰直角三角形，所以是的外心. 设三棱锥的外接球的球心为，则面，易知， 作，易知为矩形，， 设，，则在中，， 且中，，解得， 所以外接球表面积为. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$