重难点12 平面向量中的二级结论（5大结论+最新模拟）-备战2025年高考数学重难点专题突破（新高考专用）

平面向量中的二级结论 掌握平面向量中常用的二级结论并能应用解题. 模型1极化恒等式平行四边形模式：＝ 证明：不妨设 ，则， ① ② 上面两式相减，得：＝————极化恒等式 几何意义：向量的数量积表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. 即：（平行四边形模式）A B C M 模型2极化恒等式三角形模式 在三角形ABD中（M为BD的中点），则极化恒等式可表示为： （三角形模式） 模型3极化恒等式之矩形大法 如图，在矩形中，若对角线和交于点，为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：① ；② 证明：①连接，根据极化恒等式，可得； ②根据极化恒等式，可得 推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和以及向量乘积均相等． 模型4极化恒等式向量乘积型： 定理：平面内，若为定点，,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆． 证明 由，根据极化恒等式可知，，所以，的轨迹是以为圆心为半径的圆． 奔驰定理：设是内一点，,,的面积分别记作,,则. 说明： 本定理图形酷似奔驰的车标而得名. 奔驰定理推论：，则 ① ②，，. 说明：对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。但如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择填空题当中可以迅速的地得出正确答案。 1、四心的概念介绍： （1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1． （2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等． （3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． （4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直． 2、三角形四“心”向量形式的充要条件 设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则 （1）为的外心⇔||＝||＝||＝. （2）为的重心. （3）为的垂心. （4）为的内心. 提示：向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)； 的内心； 平面内一组基底，及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线． (1)当等和线恰为直线AB时，k＝1； (2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)； (3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)； (4)当等和线过O点时，k＝0； (5)若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数； (6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比． 规律方法　要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1时的等和(高)线，利用比例求其他的等和(高)线． 已知M，P，N是平面上不同的三点，点A是此平面上任意一点，则“M，P，N三点共线”的充要条件是“存在实数，使得”．此结论往往称为向量的爪子模型． 【证明】先证充分性．若， 则，， 即，，故M，P，N三点共线． 再证必要性．若M，P，N三点共线，则存在实数，使得， 即，，故． 综上知，结论成立． 向量的爪子模型所表达的意思就是：从一个顶点引出三个向量，且它们不共线，如下图，则等于向量分别乘以它对面的比值的和，简称对面的女孩看过来． 特殊点：当P为NM中点时，，（中线定理） 例1．（2024陕西省咸阳市高三下学期高考模拟检测（二））已知在边长为的菱形中，角为，若点为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【类题演练1】如图，已知M，N是边BC上的两个三等分点，若，，则_______________． 例2（23-24高三上·云南保山·期末）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【类题演练1】如图，在平面四边形ABCD中，AC＝AD＝2，∠DAC＝120°，∠ABC＝90°，则·的最大值为________. 【类题演练2】（2024贵州省名校协作体高三下学期联考（二））已知椭圆的左右焦点分别为，，点在直线上运动，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．13 D．15 例3．（2024山东省泰安高三下学期一轮检测）在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．圆 【对点演练】已知正方形的边长为4，点，分别为，的中点，如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有8个不同的点，使得成立，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例4 已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【类题演练1】点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（    ） A． B．3 C． D．2 【类题演练2】设，过作直线分别交（不与端点重合）于，若，，若与的面积之比为，则 A． B． C． D． 【类题演练3】（2024高三上河南焦作期末）已知所在平面内一点满足，则的面积是的面积的（    ） A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍 例5（23-24高三上·江西新余·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（    ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 【类题演练1】（2024高三·重庆·期中）已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，则点轨迹一定通过三角形的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【类题演练2】（2024·高三·陕西渭南·期末）如图所示，中为重心，过点，，，则 ．    例6（2024内蒙古自治区包头市高三一模）如图，在菱形中，，，分别为上的点，，．若线段上存在一点，使得，则等于（    ） A． B． C． D． 【类题演练1】如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【类题演练2】（2024全国专题训练） 如图在直角梯形中，，，，动点在以为圆心，且与直线相切的圆内运动，设 则的取值范围是____________ 例7（2024山西省部分学校高三下学期3月月考）已知是的边上一点，若，则（    ） A． B． C．0 D． 【对点练1】（2022年全国新高考I卷）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 【对点练2】如图，在△中，点M是上的点且满足，N是上的点且满足，与交于P点，设，则（ ） A． B． C． D． 1、 选择题 1、如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，若·＝－7，则·＝(　　) A.－9 B.21 C.－21 D.9 2、如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·＝(　　) A.－ B.－ C.－ D.－ 3.（2024·全国·二模）点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 4.（2024高三·全国·专题练习）已知O为正内的一点，且满足，若的面积与的面积的比值为3，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 5.（2024高三下·江西·开学考试）如图，已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 6、（2024高三上·安徽安庆·阶段练习）设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比值为（    ） A．2 B． C． D．3 7.（2024·四川南充·三模）已知点P在所在平面内，若，则点P是的（    ） A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 8.（2024黑龙江牡丹江·阶段练习）若O是△ABC所在平面上一定点，H，N，Q在△ABC所在平面内，动点P满足， ，则直线AP一定经过的____心，点H满足，则H是的____心，点N满足，则N是的____心，点Q满足，则Q是的____心，下列选项正确的是（    ） A．外心，内心，重心，垂心 B．内心，外心，重心，垂心 C．内心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，内心 9．（2024·江西·一模）如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10.（2024全国·专题练习）O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：，则直线AP一定通过的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 11.（2024·全国·模拟预测）已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（    ） A． B． C．2 D． 二、多选题 12．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（    ）    A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 13.（2024·江苏南京·二模）已知内角，，的对边分别为，，，为的重心，，，则（    ） A． B． C．的面积的最大值为 D．的最小值为 14（2024·辽宁·二模）的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（    ） A．三点共线 B． C． D．点在的内部 15．已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则为的内心 C．若为的重心，是边上的中线，则 D．若，则 16.（2024·高三·山东聊城·期中）已知是的内心，，，，则 ． 17.（2024·陕西西安·模拟预测）在平行四边形中，为的重心，，则 ． 18.（2024·高三·上海普陀·期中）在中，过重心的直线交边于点，交边于点（、为不同两点），且，，则的取值范围为 . 19.如图在直角梯形中，，，，动点在以为圆心，且与直线相切的圆内运动，设 则的取值范围是____________ 20．（2024高三·全国·专题练习）M，N分别为的边AB，AC上的点，且满足，，若，且，则MN恒过的 （填“五心”中的一个） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平面向量中的二级结论 掌握平面向量中常用的二级结论并能应用解题. 模型1极化恒等式平行四边形模式：＝ 证明：不妨设 ，则， ① ② 上面两式相减，得：＝————极化恒等式 几何意义：向量的数量积表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. 即：（平行四边形模式）A B C M 模型2极化恒等式三角形模式 在三角形ABD中（M为BD的中点），则极化恒等式可表示为： （三角形模式） 模型3极化恒等式之矩形大法 如图，在矩形中，若对角线和交于点，为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：① ；② 证明：①连接，根据极化恒等式，可得； ②根据极化恒等式，可得 推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和以及向量乘积均相等． 模型4极化恒等式向量乘积型： 定理：平面内，若为定点，,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆． 证明 由，根据极化恒等式可知，，所以，的轨迹是以为圆心为半径的圆． 奔驰定理：设是内一点，,,的面积分别记作,,则. 说明： 本定理图形酷似奔驰的车标而得名. 奔驰定理推论：，则 ① ②，，. 说明：对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。但如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择填空题当中可以迅速的地得出正确答案。 1、四心的概念介绍： （1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1． （2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等． （3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． （4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直． 2、三角形四“心”向量形式的充要条件 设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则 （1）为的外心⇔||＝||＝||＝. （2）为的重心. （3）为的垂心. （4）为的内心. 提示：向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)； 的内心； 平面内一组基底，及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线． (1)当等和线恰为直线AB时，k＝1； (2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)； (3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)； (4)当等和线过O点时，k＝0； (5)若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数； (6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比． 规律方法　要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1时的等和(高)线，利用比例求其他的等和(高)线． 已知M，P，N是平面上不同的三点，点A是此平面上任意一点，则“M，P，N三点共线”的充要条件是“存在实数，使得”．此结论往往称为向量的爪子模型． 【证明】先证充分性．若， 则，， 即，，故M，P，N三点共线． 再证必要性．若M，P，N三点共线，则存在实数，使得， 即，，故． 综上知，结论成立． 向量的爪子模型所表达的意思就是：从一个顶点引出三个向量，且它们不共线，如下图，则等于向量分别乘以它对面的比值的和，简称对面的女孩看过来． 特殊点：当P为NM中点时，，（中线定理） 例1．（2024陕西省咸阳市高三下学期高考模拟检测（二））已知在边长为的菱形中，角为，若点为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件及极化恒等式，结合向量的线性运算即可求解. 【详解】设F是AB的中点，则EF=1，根据极化恒等式. 故选：C. 【类题演练1】如图，已知M，N是边BC上的两个三等分点，若，，则_______________． 【答案】-4 【解析】取MN中点E，由向量数量积的极化恒等式，∴， ∴，∴． 例2（23-24高三上·云南保山·期末）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及极化恒等式，结合向量的线性运算即可求解. 【详解】取的中点，连接，如图所示，    所以的取值范围是，即， 又由， 所以. 故选：B. 【类题演练1】如图，在平面四边形ABCD中，AC＝AD＝2，∠DAC＝120°，∠ABC＝90°，则·的最大值为________. 【答案】　1 【解析】　取CD的中点E，连接EA，EB， ∵AC＝AD＝2， ∠DAC＝120°， ∴AE⊥CD，DE＝ADsin 60°＝， 由∠ABC＝∠AEC＝90°， ∴A，B，C，E四点共圆，且AC为直径， 则·＝||2－||2＝||2－()2≤||2－3＝22－3＝1， 所以·的最大值为1. 【类题演练2】（2024贵州省名校协作体高三下学期联考（二））已知椭圆的左右焦点分别为，，点在直线上运动，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．13 D．15 【答案】A 【详解】由椭圆可得，，根据极化恒等式可得 点在直线上运动，根据点到直线的距离公式可得，故最小值为7，故选：A 例3．（2024山东省泰安高三下学期一轮检测）在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．圆 【答案】D 【分析】 根据题意求出动点的轨迹方程即可判断. 【详解】设的中点A，由极化恒等式可得，因为是两个定点，从而为定值，所以点的轨迹为圆. 故选：D 【对点演练】已知正方形的边长为4，点，分别为，的中点，如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有8个不同的点，使得成立，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示,设的中点为,则根据极化恒等式可得（可由计划恒等是直接得出）， 即，所以,由对称性可知每个边上存在两个点，所以点在边的中点和顶点之间，故,解得，故选:D 例4 已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】由，得， 如图，分别是的中点， 则， 所以在线段上，且， 得，设，则，所以， 因为，，， 所以，则，解得. 故选：B 【类题演练1】点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【解析】 因为， 所以，即， 取中点为点， 则，即， 所以在中线上，且 过，分别作边上的高，垂足为， 则， 所以，， 所以， 所以， 故选：C. 【类题演练2】设，过作直线分别交（不与端点重合）于，若，，若与的面积之比为，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接并延长，则通过的中点，过，分别向所在直线作垂线，垂足分别为，， 如图所示 与的面积之比为 根据三角形相似可知，则 即 由平行四边形法则得 根据待定系数法有，则 故选 【类题演练3】（2024高三上河南焦作期末）已知所在平面内一点满足，则的面积是的面积的（    ） A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍 【答案】A 【分析】根据奔驰定理可得 【详解】因为，即，所以 所以的面积是的面积的5倍． 故选：A. 例5（23-24高三上·江西新余·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（    ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 【答案】ABC 【分析】A选项，，作出辅助线，得到三点共线，同理可得M为的重心；B选项，设内切圆半径为，则，，，代入后得到；C选项，得到，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设，，，则，，，结合三角函数得到，，进而求出正切值的比；D选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值. 【详解】A选项，因为，所以， 取的中点，则，所以， 故三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得三点共线，三点共线， 所以M为的重心，A正确； B选项，若M为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； C选项，若M为的垂心，， 则， 如图，⊥，⊥，⊥，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， 同理可得，即，故， ，则， 故， ，则， 故， ， 故， 同理可得， 故，C正确； D选项，若，，M为的外心， 则， 设的外接圆半径为，故， ， 故，，， 所以，D错误. 故选：ABC 【类题演练1】（2024高三·重庆·期中）已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，则点轨迹一定通过三角形的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】D 【分析】结合图形，将题干条件变形为，从而得解. 【详解】记为的中点，连接，作，如图， 则，， 因为， 所以， 所以点在三角形的中线上，则动点P的轨迹一定经过的重心. 故选：D. 【类题演练2】（2024·高三·陕西渭南·期末）如图所示，中为重心，过点，，，则 ．    【答案】3 【解析】设 根据题意，； ，，，三点共线，则存在，使得， 即，即， ，整理得，所以； 故答案为：3 例6（2024内蒙古自治区包头市高三一模）如图，在菱形中，，，分别为上的点，，．若线段上存在一点，使得，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 以为基底可表示出，由三点共线可构造方程求得，将所求数量积化为，根据数量积的定义和运算律可求得结果. 【详解】 设与交于，则，又因为，，根据等和(高)线定理可得， ，结合平面向量基本定理可得 解得：，， . 故选：A. 【类题演练1】如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决. 【详解】 作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F， 设，则， ∵BC//EF，∴设，则 ∴， ∴ ∴ 故选：A. 【类题演练2】（2024全国专题训练） 如图在直角梯形中，，，，动点在以为圆心，且与直线相切的圆内运动，设 则的取值范围是____________ 【答案】 【解析】设圆与直线相切于点，过作于，作直线，且直线与圆相切与，连，则过圆心，且，由图可知，对圆内任意一点 在直线上的射影长度满足：， 又， 所以 而，所以 例7（2024山西省部分学校高三下学期3月月考）已知是的边上一点，若，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】结合爪子模型可得，进而可得，代入运算即可. 【详解】由题意可得：， 可知，所以. 故选：B. 【对点练1】（2022年全国新高考I卷）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何条件以及结合爪子模型即可解出． 【详解】因为点D在边AB上，，，故 所以 ． 故选：B． 【对点练2】如图，在△中，点M是上的点且满足，N是上的点且满足，与交于P点，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三点共线有，使、，由平面向量基本定理列方程组求参数，即可确定答案. 【详解】，， 由，P，M共线，存在，使①， 由N，P，B共线，存在，使得②， 由①② ，故. 故选：B. 1、 选择题 1、如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，若·＝－7，则·＝(　　) A.－9 B.21 C.－21 D.9 【答案】　D 【解析】　·＝||2－||2＝－7， ∴||2＝16， ·＝||2－||2＝25－16＝9. 2、如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·＝(　　) A.－ B.－ C.－ D.－ 【答案】　B 【解析】　∵＝2，圆O的半径为1， ∴||＝，由极化恒等式得 ·＝2－2＝－1＝－. 3.（2024·全国·二模）点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】A 【解析】设的中点为点，所以， 则， 若四点共线时，即点都在中线上，所以经过三角形的重心， 若四点不共线时，，且，连结，交于点， 如图， ，即点是三角形的重心，即经过的重心， 综上可知，经过的重心. 故选：A 4.（2024高三·全国·专题练习）已知O为正内的一点，且满足，若的面积与的面积的比值为3，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】由奔驰定理得，解之得，故选C． 5.（2024高三下·江西·开学考试）如图，已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 取的中点，连接、，根据数量积的运算律得到，再求出即可求出的范围，从而得解. 【详解】 取的中点，连接、，    则 ， 又， 所以，， 即， 所以，． 故的取值范围为． 故选：C 6、（2024高三上·安徽安庆·阶段练习）设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【详解】 根据奔驰定理的面积与的面积的比值为. 故选：A. 7.（2024·四川南充·三模）已知点P在所在平面内，若，则点P是的（    ） A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 【答案】D 【解析】在中，由，得， 即，由，同理得， 显然，即与不重合，否则，同理， 则，即，， 于是平分，同理平分， 所以点P是的内心. 故选：D 8.（2024黑龙江牡丹江·阶段练习）若O是△ABC所在平面上一定点，H，N，Q在△ABC所在平面内，动点P满足， ，则直线AP一定经过的____心，点H满足，则H是的____心，点N满足，则N是的____心，点Q满足，则Q是的____心，下列选项正确的是（    ） A．外心，内心，重心，垂心 B．内心，外心，重心，垂心 C．内心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，内心 【答案】B 【分析】推出，又所在直线一定为的平分线，从而得到直线AP一定经过的内心，点到三个顶点相等，故点是的外心，作出辅助线，得到三点共线，且，所以是的重心，推导出，，得到为的垂心. 【详解】，变形得到， 其中分别代表方向上的单位向量， 故所在直线一定为的平分线， 故直线AP一定经过的内心， ，即点到三个顶点相等，故点是的外心， 因为，所以， 如图，取的中点，连接， 则，所以， 故三点共线，且， 所以是的重心，    由可得， 故，同理可得， 故为三条高的交点，为的垂心. 故选：B 9．（2024·江西·一模）如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据题意，由平面向量数量积的运算化简，可得，再由的范围，即可得到结果. 【详解】由题意可得， ， 当与正六边形的边垂直时，， 当点运动到正六边形的顶点时，， 所以，则，即. 故选：B 10.（2024全国·专题练习）O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：，则直线AP一定通过的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】 根据平面向量的线性运算结合三角形四心的定义即可得解. 【详解】 取线段BC的中点E，则， 动点P满足：， 则，则，所以， 又为两向量的公共起点，所以三点共线， 所以直线一定通过的重心． 故选：C． 11.（2024·全国·模拟预测）已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】如图所示，由三角形重心的性质，可得，所以， 所以，即， 因为三点共线，可得，所以. 故选：A． 二、多选题 12．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（    ）    A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 【答案】AD 【分析】 由奔驰定理可判断A选项，利用重心结论可判断B选项； 由外心可知，即可判断C选项； 由内心可知，满足勾股定理，D选项正确. 【详解】 对于A，由奔驰定理可得，， 因为，，不共线，所以，故A正确； 对于B，若是的重心，， 因为，所以，即共线，故B错误． 对于C，当为的外心时，， 所以， 即，故C错误． 对于D，当为的内心时，（为内切圆半径）， 所以，所以，故D正确. 故选：AD. 13.（2024·江苏南京·二模）已知内角，，的对边分别为，，，为的重心，，，则（    ） A． B． C．的面积的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【解析】 延长交于点. 因为是的重心， 所以点是中点，， 则. 对于选项A：因为，故选项A正确； 对于选项B：由得：， 所以，当且仅当时等号成立. 又因为，即，， 所以， 即，当且仅当时等号成立，故选项B正确； 对于选项C：因为，当且仅当时等号成立，， 所以，故选项C正确； 对于选项D：由，， 得， 所以由余弦定理可得： ，即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值是，故选项D错误. 故选：ABC. 14（2024·辽宁·二模）的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（    ） A．三点共线 B． C． D．点在的内部 【答案】AC 【解析】 ， 因为点为的重心， 所以，所以， 所以三点共线，故A正确，B错误； ， 因为， 所以，即，故C正确； 因为， 所以点的位置随着点位置的变化而变化，故点不一定在的内部，故D错误； 故选：AC． 15．已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则为的内心 C．若为的重心，是边上的中线，则 D．若，则 【答案】AD 【解析】取的中点，连接，则， 若，则，则三点共线，且， 则为的重心，故A正确； 若，则为的外心，不一定是内心，故B错误； 若为的重心，是边上的中线，则，则，故C错误； 取的中点，连接，则， 若，则，则三点共线，且， 则，故D正确. 故选：AD. 16.（2024·高三·山东聊城·期中）已知是的内心，，，，则 ． 【答案】36 【解析】如图所示： 以为圆心作的内切圆，分别与、、相切于点、、， 设， 根据切线长定理得， , , 所以， 即，解得，即， 由题意可得, 所以， 所以, . 故答案为：36. 17.（2024·陕西西安·模拟预测）在平行四边形中，为的重心，，则 ． 【答案】/ 【解析】如图，设与相交于点，又为的重心， 所以为的中点，， 则， 则，故． 故答案为： 18.（2024·高三·上海普陀·期中）在中，过重心的直线交边于点，交边于点（、为不同两点），且，，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意，， 延长交于，则是中点， , 又，，所以， 又三点共线，所以，， ， 设，则， 时，，递减，时，，递增， ，又，即， 所以的取值范围是， 故答案为：， 19.如图在直角梯形中，，，，动点在以为圆心，且与直线相切的圆内运动，设 则的取值范围是____________ 解：设圆与直线相切于点，过作于，作直线，且直线与圆相切与，连，则过圆心，且，由图可知，对圆内任意一点 在直线上的射影长度满足：， 又， 所以 而，所以 20．（2024高三·全国·专题练习）M，N分别为的边AB，AC上的点，且满足，，若，且，则MN恒过的 （填“五心”中的一个） 【答案】重心 【分析】设G为的重心，根据题意可得，再结合三点共线的结论分析判断. 【详解】因为，， 则，， 设G为的重心，则， 又因为，且，即，可得， 所以G，M，N三点共线，故MN恒过的重心． 故答案为：重心. 学科网（北京）股份有限公司 $$