第09讲 有理数 单元综合检测（难点）-【帮课堂】2024-2025学年六年级数学上册同步学与练（沪教版2024）

第09讲 有理数 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．乘积的末两位数字是（    ） A．25 B．45 C．75 D．95 3．若三个非零有理数，满足，且有，则这三个数的大小关系为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．七年级某班的学生共有49人，军训时排列成的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点n个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令同一名学生可以多次被点，则m次点名后，（n，m为正整数）下列说法正确的是（    ） A．当n为偶数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 B．当n为偶数时，无论m何值，对下的学生人数不可能为偶数个 C．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 D．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 5．已知和是一对互为相反数，的值是（   ） A． B． C． D． 6．已知，且．则的值为（    ） A．0 B．0或1 C．或或 D．或或 二、填空题 7．计算： （﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020＝ ． 8．计算：的结果是 ． 9．九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头，被誉为“宇宙魔方”．将九个数分别填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若 分别表示其中的一个数，则的值为 ． 0 3 1 10．若，则的负倒数是 ． 11．《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了的步骤：①将34，25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）．若图2中a，b，c，d均为正整数，且c，d都不大于8，则b的值为 ，该图表示的乘积结果为 ． 12．已知数轴上有A和B两点，它们之间的距离为1，点A和原点的距离为2，那么所有满足条件的点B对应的数有 ． 13．请你在心里任意想一个两位数，然后把这个数的十位数字与个位数字相加，再用原来的两位数减去它们的和，会得到一个新数，然后重复上面的过程，把新的两位数的十位数字与个位数字再相加，用新的两位数减去这个和，一直这样重复下去，直到所得的数不再是两位数为止，则最终你得到的数字是 ． 14．“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图①，可以把算式1＋3＋5＋7＋9＋11转化为62＝36，请你观察图②，可以把算式转化为 ． 15．观察下列各式：1-=，1-=，1-=，根据上面的等式所反映的规律（1-）（1-）（1-）= 16．某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，施工要求如下： ①先完成工序A，B，C，再完成工序D，E，F，最后完成工序G； ②完成工序A后方可进行工序B，工序C可与工序A，B同时进行； ③完成工序D后方可进行工序E，工序F可与工序D，E同时进行； ④完成各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/天 11 15 28 17 16 31 25 （1）在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少 天完成； （2）现因情况有变，需将工期缩短到80天，工序A，C，D每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是 万元． 17．在数轴上有理数a，分别用点A，A1表示，我们称点A1是点A的“差倒数点”．已知数轴上点A的差倒数点为点A1；点A1的差倒数点为点A2；点A2的差倒数点为点A3…这样在数轴上依次得到点A，A1，A2，A3，…，An．若点A，A1，A2，A3，…，An在数轴上分别表示的有理数为a，a1、a2、a3、…，an．则当a时，代数式a1+a2+a3+…+a2020的值为 ． 18．对于有理数，，，若，则称是关于的“相关数”，例如，，则3是2关于2的“相关数”．若是关于1的“相关数”，是关于2的“相关数”，…，是关于4的“相关数”．则 ．（用含的式子表示） 三、解答题 19．把下列各有理数：，，0，，1.5． (1)分别在数轴上表示出来：    (2)将上述有理数填入图中相应的圈内．    20．怎样简便怎样算 (1)； (2) (3) (4) 21．数学魔术：如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示，，0，4，请回答下列问题．    (1)在数轴上描出A，B，C，D四个点，用“”将4个数按照从小到大的顺序连接； (2)B，C两点间的距离是多少？A，D两点间的距离是多少？ (3)点A，B，C，D的位置不动，现在把数轴的原点取在点B处，其余都不变，那么点A，B，C，D分别表示什么数？ 22．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)判断下列式子的符号；（填“>”，“<”） ①a______0；②b______0；③______0；④______0； (2)比较下列式子的大小，用“<”连接； ；；；；；． (3)化简． 23．阅读材料，解决问题：由，，，，，，，，．．．．．．不难发现3的正整数幂的个位数字以3、9、7、1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． （1）请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字； （2）请探索出的个位数字； （3）请直接写出的个位数字． 24．分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______； (2)已知，，求的值； (3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示） 25．计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机， (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为________    (2)如图，同学设置了一个数值转换机，若输出结果为0，则输入的________    (3)同学也设置了一个计算装置示意图，、是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由，分别输入自然数和，经过计算后的自然数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：    ①若、分别输入1，则输出结果1，记； ②若输入1，输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2，记； 问：当输入自然数7，输入自然数6时，的值是多少？ 26．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．在数轴上点分别表示数．两点间的距离可以用符号表示，利用有理数减法和绝对值可以计算两点之间的距离． 例如：当，时，； 当，时，； 当，时，． 综合上述过程，发现点之间的距离（也可以表示为）． 请你根据上述材料，探究回答下列问题： (1)表示数和的两点间距离是6，则_________； (2)如果数轴上表示数的点位于和3之间，则_________； (3)代数式的最小值是多少？ (4)如图，若点在数轴上表示的有理数分别为，则式子的最小值为_________（用含有的式子表示结果）．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 有理数 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据、、均为整数，且，可得，或，，然后分两种情况分别求出的值即可． 此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键． 【解析】解：，，均为整数，且， ，或，， ①当，时，，， ； ②当，时，， ； 综上，的值为2． 故选：B． 2．乘积的末两位数字是（    ） A．25 B．45 C．75 D．95 【答案】A 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，数字规律问题，掌握数字规律探索的方法是解答本题的关键．通过计算，，，，的结果的末两位数字，归纳得到当算式的最后一个数的尾数是5时，乘积结果的末两位数字为25，即可得到答案． 【解析】计算的末两位数字是05， 的末两位数字是55， 的末两位数字是15， 的末两位数字是25， 的末两位数字是25， 的末两位数字是75， 的末两位数字是75， 的末两位数字是25， 的末两位数字是25， 的末两位数字是75， 的末两位数字是75， 依次类推，可知当算式的最后一个数的尾数是5时，乘积结果的末两位数字为25， 所以乘积的末两位数字是25． 故选A． 3．若三个非零有理数，满足，且有，则这三个数的大小关系为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的乘法以及有理数大小比较的方法，掌握有理数的乘法法则是解题得关键，要分和两种情况讨论求解，当时，由，得，从而得，，由，得，当时，同理可得，即可得解． 【解析】解：当时，∵， ∴， ∵， ∴中有一个为负数， ∴，， ∵， ∴， 当时，∵， ∴， ∵， ∴的符号相同， 当，时，有，即， 当，时， ∵， ∴，即． 故选B． 4．七年级某班的学生共有49人，军训时排列成的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点n个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令同一名学生可以多次被点，则m次点名后，（n，m为正整数）下列说法正确的是（    ） A．当n为偶数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 B．当n为偶数时，无论m何值，对下的学生人数不可能为偶数个 C．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 D．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 【答案】A 【分析】假设站立记为“”，则蹲下为“”，开始时49个“”，其乘积为“”，每次改变其中的个数，当为偶数时，每次的改变其中个数，都不改变上一次的符号，则m次点名后，乘积仍然是“”，故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数；即可获解． 【解析】解：假设站立记为“”，则蹲下为“”，开始时49个“”，其乘积为“”． 每次改变其中的个数，经过m次点名， ①当为偶数时， 若有偶数个“”偶数个“”，变为偶数个“”偶数个“”，其积的符号不变； 若有奇数个“”奇数个“”，变为奇数个“”奇数个“”，其积的符号不变； 故当为偶数时，每次改变其中的个数，其积的符号不变，那么m次点名后，乘积仍然是“”， 故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数； ②当为奇数时， 若有偶数个“”奇数个“”，变为偶数个“”奇数个“”，其积的符号改变； 若有奇数个“”偶数个“”，变为奇数个“”偶数个“”，其积的符号改变； 故当为奇数时，每次改变其中的个数，其积的符号改变， 那么m次点名后， 若为偶数，乘积仍然是“”，故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数； 若为奇数，乘积最后是“”，故最后出现的“”的个数为奇数，即蹲下的人数为奇数； 综上所述，选项A正确，选项B、C、D均错误； 故选：A． 【点睛】此题考查了正负数的意义、有理数乘法中积的符号的判断，熟练掌握有理数乘法中符号法则与分类讨论的思想方法是解答此题的关键． 5．已知和是一对互为相反数，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先用绝对值非负性求出a、b的值，代入到所求的代数式中再运用进行简便运算． 【解析】∵和是一对互为相反数 ∴+=0 ∴a=1，b=2 ∴ = = = = = 故选：C． 【点睛】此题考查绝对值的非负性和有理数的简便运算．其关键是要发现并运用对，，等进行裂项，并两俩抵消． 6．已知，且．则的值为（    ） A．0 B．0或1 C．或或 D．或或 【答案】A 【分析】由，，可得、、三个数中有一个负因数，且正因数绝对值的和大于负因数的绝对值，由此可得、、的符号有三种情况（，，或，，或，，），再根据绝对值的性质分三种情况求得的值即可解答 【解析】∵，， ∴、、三个数中有一个负因数，且正因数绝对值的和大于负因数的绝对值， ∴，，或，，或，，， 当，，时，，，， ∴ ； 当，，时，，，， ∴ ； 当，，时，，，， ∴ 综上，当，时， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的运算法则及绝对值的性质，正确得到、、的符号有三种情况（，，或，，或，，）是解决问题的关键 二、填空题 7．计算： （﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020＝ ． 【答案】1010 【分析】根据数的特点，每两个一组进行运算即可． 【解析】解：（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020 ＝[（﹣1）+2]+[（﹣3）+4]+…+[（﹣2017）+2018]+[（﹣2019）+2020] ＝1+1+…+1 ＝1010， 故答案为：1010． 【点睛】本题考查数字的变化规律，根据所给数的特点，分组进行求解是解题的关键． 8．计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】应用加法交换律、加法结合律以及减法的性质，求出算式的值是多少即可． 【解析】 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意运算顺序，注意加法运算定律和减法的性质的应用． 9．九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头，被誉为“宇宙魔方”．将九个数分别填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若 分别表示其中的一个数，则的值为 ． 0 3 1 【答案】9 【分析】本题主要考查了有理数减法计算、加减混合运算法则等知识点，求出的值是解题的关键． 先根据题意列方程组，求得的值，然后代入式子计算即可． 【解析】解：由题意解答：，即； ∴，即：，解得：； ，即，解得：； ，解得：； ，即，解得：； 所以． 故答案为9． 10．若，则的负倒数是 ． 【答案】 【分析】由，，，，，，，可得的值，即可求出负倒数． 【解析】∵ ， ∴的负倒数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，认真审题，找出规律是解决此题的关键． 11．《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了的步骤：①将34，25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）．若图2中a，b，c，d均为正整数，且c，d都不大于8，则b的值为 ，该图表示的乘积结果为 ． 【答案】 2或3 或 【分析】如图2所示，由题意得，，由此可得，进而求出，；如图2-1所示，的结果十位数为1，则或，由此讨论b的值求解即可. 【解析】解：如图2所示，由题意得，， ∵都是自然数，且， ∴， ∴， ∴； 如图2-1所示，∵的结果十位数为1， ∴或， 当时，符合题意，此时的乘积为； 当时，符合题意；，此时的乘积为； 故答案为：2或3；或 【点睛】此题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是根据题意找到运算特点进行求解． 12．已知数轴上有A和B两点，它们之间的距离为1，点A和原点的距离为2，那么所有满足条件的点B对应的数有 ． 【答案】1、3、、 【分析】设点B对应的数为，根据点A与原点O的距离为2，得到点A表示的数为，当点A表示的数为-2时，根据数轴上A，B两点之间的距离为1，得到，推出，解得x=-3，或x=-1，当点A表示的数为2时，得到，推出，解得x=3，或x=1． 【解析】解：设点B对应的数为， ∵数轴上A，B两点之间的距离为1，点A与原点O的距离为2， ∴点A表示的数为 当点A表示的数为-2时，， ∴， ∴x=-3，或x=-1， 当点A表示的数为2时， ， ∴， ∴x=3，或x=1， 综上点B对应的数为：1、3、、． 故答案为：1、3、、． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，解决问题的关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式，绝对值的化简． 13．请你在心里任意想一个两位数，然后把这个数的十位数字与个位数字相加，再用原来的两位数减去它们的和，会得到一个新数，然后重复上面的过程，把新的两位数的十位数字与个位数字再相加，用新的两位数减去这个和，一直这样重复下去，直到所得的数不再是两位数为止，则最终你得到的数字是 ． 【答案】9 【分析】可任意选几个两位数，根据题意进行操作，从而可得出结果． 【解析】解：当心里想的一个两位数是12时，则：12-(1+2)=9， 当心里想的一个两位数是21时，则：21-(2+1)=18，18-(1+8)=9， 当心里想的一个两位数是35时，则：35-(3+5)=27，27-(2+7)=18，18-(1+8)=9， …… 故最终得到的数是：9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是理解清楚题意，多列几个数进行求证． 14．“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图①，可以把算式1＋3＋5＋7＋9＋11转化为62＝36，请你观察图②，可以把算式转化为 ． 【答案】 【分析】根据图形观察发现，把正方形看作单位“1”，即算式可以转化成，再求出答案即可． 【解析】解：把正方形看作单位“1”，由图可得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算和数据分析能力，同时还考查了数据的推理能力． 15．观察下列各式：1-=，1-=，1-=，根据上面的等式所反映的规律（1-）（1-）（1-）= 【答案】 【分析】先根据已知等式探索出变形规律，然后根据规律进行变形，计算有理数的乘法运算即可． 【解析】解：由已知等式可知：， ， ， 归纳类推得：，其中n为正整数， 则， 因此， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查的是有理数运算的规律题，根据已知等式探索出运算规律并应用是解题关键． 16．某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，施工要求如下： ①先完成工序A，B，C，再完成工序D，E，F，最后完成工序G； ②完成工序A后方可进行工序B，工序C可与工序A，B同时进行； ③完成工序D后方可进行工序E，工序F可与工序D，E同时进行； ④完成各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/天 11 15 28 17 16 31 25 （1）在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少 天完成； （2）现因情况有变，需将工期缩短到80天，工序A，C，D每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是 万元． 【答案】 86 38 【分析】本题主要考查了逻辑推理，有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，列出算式准确计算． （1）在完成C的同时完成A、B，然后完成D，E的同时完成F，最后完成G，列式计算即可； （2）根据题意可以缩短A工序2天，缩短C工序4天，缩短D工序2天，然后列出算式进行计算即可． 【解析】解：（1）在完成C的同时完成A、B，最少需要28天，完成D，E的同时完成F最少需要天，完成G需要25天， ∴在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少需要： （天）； 故答案为：86； （2）（天）， ∴至少需要将整个任务缩短6天， ∵B，E，F，G不可缩短， ∴工序最多可以缩短天， ∵天， ∴只缩短工序2天，A工序可以不缩短，然后工序每缩短1天，C工序就要缩短1天， ∴当缩短A工序2天，缩短C工序4天，缩短D工序2天，正好可以将工期缩短到80天，此时增加的投入最少，且最少为： （万元）， 故答案为：38． 17．在数轴上有理数a，分别用点A，A1表示，我们称点A1是点A的“差倒数点”．已知数轴上点A的差倒数点为点A1；点A1的差倒数点为点A2；点A2的差倒数点为点A3…这样在数轴上依次得到点A，A1，A2，A3，…，An．若点A，A1，A2，A3，…，An在数轴上分别表示的有理数为a，a1、a2、a3、…，an．则当a时，代数式a1+a2+a3+…+a2020的值为 ． 【答案】 【分析】先根据已知求出各个数，根据求出的数得出规律，即可得出答案． 【解析】解：∵a， ∴， ∴， ∴， ∴， …， ∵2020÷3＝673……1， ∴ ∴a1+a2+a3+…+a2020 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴和有理数的计算，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 18．对于有理数，，，若，则称是关于的“相关数”，例如，，则3是2关于2的“相关数”．若是关于1的“相关数”，是关于2的“相关数”，…，是关于4的“相关数”．则 ．（用含的式子表示） 【答案】9﹣3|x﹣1| 【分析】先读懂“相关数”的定义，列出对应等式，再根据等式分析各个数的取值范围，去绝对值，进而求出结果． 【解析】解：依题意有：|x1﹣1|+|x﹣1|＝1，① |x2﹣2|+|x1﹣2|＝1，② |x3﹣3|+|x2﹣3|＝1，③ |x4﹣4|+|x3﹣4|＝1，④ 由①可知0≤x，x1≤2，若否，则①不成立， 由②可知1≤x1，x2≤3，若否，则②不成立， 同理可知2≤x2，x3≤4，3≤x3，x4≤5， ∴x1﹣1+|x﹣1|＝1，⑤ x2﹣2+2﹣x1＝1，⑥ x3﹣3+3﹣x2＝1，⑦ 3×⑤+2×⑥+⑦，得x1+x2+x3﹣3+3|x﹣1|＝6， ∴x1+x2+x3＝9﹣3|x﹣1|． 故答案为：9﹣3|x﹣1|． 【点睛】本题考查绝对值和新定义问题．解题的关键在于读懂题意，列出等式，根据等式判断出五个数的取值范围，进而去绝对值符号，最后得出结果．注意可以取特殊值，如x＝1或x＝2，来验证计算的结果是否正确． 三、解答题 19．把下列各有理数：，，0，，1.5． (1)分别在数轴上表示出来：    (2)将上述有理数填入图中相应的圈内．    【答案】(1)数轴见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了化简绝对值、化简多重符号、用数轴上的点表示有理数、有理数的分类，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． （1）先化简，再把各数表示在数轴上即可； （2）根据正数、整数、负数的定义即可得到答案． 【解析】（1）解：，， 把各数表示在数轴上如下，    （2）解：如图， ． 20．怎样简便怎样算 (1)； (2) (3) (4) 【答案】(1)0 (2) (3)1 (4) 【分析】（1）根据将原式变形为即可得到答案； （2）将原式先加上，再减去，根据有理数加减计算法则求解即可； （3）根据，利用乘法的分配律将分子变形为，由此即可得到答案； （3）根据先将括号内的式子变形为，再由进行求解即可． 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的简便计算，熟知有理数的相关计算法则和运算律是解题的关键． 21．数学魔术：如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示，，0，4，请回答下列问题．    (1)在数轴上描出A，B，C，D四个点，用“”将4个数按照从小到大的顺序连接； (2)B，C两点间的距离是多少？A，D两点间的距离是多少？ (3)点A，B，C，D的位置不动，现在把数轴的原点取在点B处，其余都不变，那么点A，B，C，D分别表示什么数？ 【答案】(1)描点见详解图， (2)， (3)：，：，：，： 【分析】（1）在数轴上表示出点，再根据数轴进行大小比较，即可求解； （2）数轴上两点间的距离：右边点表示的数减去左边点表示的数，据此即可求解； （3）可得把数轴的原点取在点B处，就是在原数轴上将各点向右平移个单位，再由数轴上点的平移规律：“左减右加”即可求解． 【解析】（1）解：如图    所以由数轴得：． （2）解：B，C两点间的距离：， A，D两点间的距离：． （3）解：因为把数轴的原点取在点B处， 所以就是在原数轴上将各点向右平移个单位， 所以平移后各点表示的数： ：，：，：，：， 所以：，：，：，：． 【点睛】本题主要考查了数轴上点的表示，有理数大小比较，数轴上两点间的距离，数轴上点的平移，掌握两点间的距离求法及平移规律是解题的关键． 22．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)判断下列式子的符号；（填“>”，“<”） ①a______0；②b______0；③______0；④______0； (2)比较下列式子的大小，用“<”连接； ；；；；；． (3)化简． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据数轴上的位置得出有理数的大小即可； （2）根据数轴上的位置结合有理数的加减法法则得出结论即可； （3）根据绝对值的性质去掉绝对值，再进行合并即可． 【解析】（1）由数轴可知，①；    ②；    ③；    ④； 故答案为：． （2）由数轴可知： （3），，， ， ， ． 【点睛】本题考查有理数的比较大小，熟练掌握有理数大小比较的方法是解题的关键． 23．阅读材料，解决问题：由，，，，，，，，．．．．．．不难发现3的正整数幂的个位数字以3、9、7、1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． （1）请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字； （2）请探索出的个位数字； （3）请直接写出的个位数字． 【答案】（1）2；（2）3；（3）1； 【分析】（1）仿照材料内容，得到规律，7的正整数幂的个位数字以7、9、3、1为一个周期循环出现，8的正整数幂的个位数字以8、4、2、6为一个周期循环出现，由此可以得出； （2）仿照材料内容，得到规律，发现2的正整数次幂的个位数字以2、4、8、6为一个周期循环出现，即可求得； （3）仿照材料内容，82018个位数字是4，22018的个位数字是4，32018的个位数字是9，即可求得； 【解析】解：（1）由于71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807… 发现7的正整数幂的个位数字以7、9、3、1为一个周期循环出现，由此可以得出： ∵799＝74×24+3 ∴799的个位数字与73的个位数字相同，应为3 由于81＝8，82＝64，83＝512，84＝4096，85＝32768…发现8的正整数幂的个位数字以8、4、2、6为一个周期循环出现，由此可以得出： ∵899＝84×24+3 ∴899的个位数字与83的个位数字相同，应为2 （2）由于2¹=2，2²=4，2³=8，24=16，25=32…，发现2的正整数次幂的个位数字以2、4、8、6为一个周期循环出现，由此可知22019=2504×4+3与2³的个位数子相同，22019的个位数字是8 , 根据（1）可知72019的个位数字是3, 82019的个位数字是2 ∴22019＋72019＋82019的个位数字是3； (3) 据前面的分析可知82018=8504×4+2与82的个位数字相同，82018个位数字是4； 22018=2504×4+2与22的个位数字相同，22018的个位数字是4； 32018=3504×4+2与22的个位数字相同，32018的个位数字是9； ∴ 82018－22018－32018的个位数字是14-4-9==1． 【点睛】本题为仿照材料找规律的题目，主要考查了理解和观察能力． 24．分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______； (2)已知，，求的值； (3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示） 【答案】(1)，1， (2)或3 (3) 【分析】本题考查的是数字的规律，有理数的混合运算，解题的关键是一个不等于0的数除以它的绝对值等于1或，将题目转化为由几个正1和几个的问题． （1）根据绝对值的应用解即可； （2）已知，，所以，，一正两负，根据（1）的结论解即可； （3）个正数，负数由个，式子中由个正1，个，相加得答案． 【解析】（1）解： ，，， 故答案为：，1，． （2）， ∴， ，， ，，的正负性可能为： ①当为正数，，为负数时：原式； ②当为正数，，为负数时，原式； ③当为正数，，为负数时，原式， 原式或3． （3）个正数，负数的个数为， ． 故答案为：． 25．计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机， (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为________    (2)如图，同学设置了一个数值转换机，若输出结果为0，则输入的________    (3)同学也设置了一个计算装置示意图，、是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由，分别输入自然数和，经过计算后的自然数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：    ①若、分别输入1，则输出结果1，记； ②若输入1，输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2，记； 问：当输入自然数7，输入自然数6时，的值是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律题，有理数的混合运算，理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据程序的运算法则计算解题即可； （2）根据题意，分两种情况列方程解应用题即可； （3）根据题目中给的三个性质依次运算解题即可． 【解析】（1）解：输入的值为，输出结果为：， 故答案为：； （2）当时，，解得； 当时，，解得，不符合题意，舍去； 故答案为：； （3）当输入自然数，输入自然数，则， 根据性质③： ， 根据性质②： ， 根据性质①；， 综上，的值为． 26．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．在数轴上点分别表示数．两点间的距离可以用符号表示，利用有理数减法和绝对值可以计算两点之间的距离． 例如：当，时，； 当，时，； 当，时，． 综合上述过程，发现点之间的距离（也可以表示为）． 请你根据上述材料，探究回答下列问题： (1)表示数和的两点间距离是6，则_________； (2)如果数轴上表示数的点位于和3之间，则_________； (3)代数式的最小值是多少？ (4)如图，若点在数轴上表示的有理数分别为，则式子的最小值为_________（用含有的式子表示结果）．    【答案】(1)或4 (2)7 (3)2 (4) 【分析】（1）根据题意可得，求解即可获得答案； （2）根据题意可得，从而得到，，进而得到，，即可求解； （3）分情况讨论，可得时，代数式存在最小值，化简即可求解； （4）根据题意可得，原式表示的对应点到对应的点的距离之和，从而得到当时，有最小值，即可求解． 【解析】（1）解：根据题意，可得， ∴ 或， 解得：或4． 故答案为：或4； （2）∵表示数的点位于和3之间， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：7； （3）表示点到1，2，3的距离之和， 当点在1左侧时，如下图，    此时， ∴； 当点与表示1的点重合时，如下图，    此时， ∴； 当点在1，2之间时，如下图，    此时， ∴， ∵， ∴，即； 当点与表示2的点重合时，如下图，    此时， ∴； 当点在2，3之间时，如下图，    此时， ∴， ∴； 当点与表示3的点重合时，如下图，    此时， ∴； 当点在3右侧时，如下图，    此时， ∴． 综上所述，当时，该代数式有最小值， 此时； （4）， ∴原式表示的对应点到对应的点的距离之和， 如下图，    ∴当时，有最小值， ∴此时原式 ． 【点睛】本题主要考查了绝对值得几何意义、数轴上两点间的距离等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解答是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 12 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$