精品解析：湖北省武汉市新洲区阳逻街第一初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

阳逻街2023—2024学年度八年级下学期期中测试 数学试题 答卷时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 2. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，的对边分别是a，b，c，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直且相等 6. 如图，平行四边形中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径，恰好互相垂直，小径的中点与点被湖隔开，若测得小径的长为，则，两点距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，，则的长为( ) A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，R，P分别是，上的点，E，F分别是，的中点，当点P在上从点A向点D移动，而点R保持不动时，下列结论成立的是（ ） A. 线段的长逐渐增大 B. 线段的长逐渐减小 C. 线段的长不变 D. 线段的长先增大后减小 10. 如图，中，对角线交于点，，分别是，的中点．下列结论正确的是（ ） ①；②；③平分；④平分；⑤四边形是菱形． A. ③⑤ B. ①②④ C. ①②③④ D. ①②③④⑤ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 计算：的结果是___________． 12. 若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 13. 如图，在中，，平分，则的长是______． 14. 四边形为矩形，以为边作等边三角形，连接，若，，则的长为_____． 15. 如图，在边长为8的菱形中，为边的中点，连接交对角线于点．若，则这个菱形的面积为________． 16. 如图，四边形中，于点，若，则的长为______． 三、解答题（共8题，72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知，，求下列各式的值． （1）． （2）． 19. 已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF． 20. 在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求原来的路线AC的长． 21. 在的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形的顶点坐标分别是，，，，仅用无刻度的直尺在给定的网格中作图并回答： （1）四边形周长是______； （2）连接格点D和点C，使，则格点D的坐标是______；并在边上画出点H使． （3）在线段上画点E，使（保留画图过程的痕迹）． 22. 如图，菱形中，对角线，交于点，点是的中点，延长到点，使，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 23. 用四根一样长的木棍搭成菱形，是线段上的动点（点不与点和点重合），在射线上取一点，连接，，使． 操作探究一 （1）如图1，调整菱形，使，在射线上取一点N，使，则______，_______． 操作探究二 （2）如图2，调整菱形，使，在射线上取一点，使，连接，探索与的数量关系，并说明理由． 拓展迁移 （3）在菱形中，，．若点在直线上，且当时，请直接写出的长． 24. 如图1，在中，，，，点在轴上，以为一边，在外作等边三角形，是的中点，连接并延长交于． （1）①求点B的坐标； （2）如图2．将图1中的四边形折叠，使点与点重合，折痕为，求的长； （3）如图1，连接，在线段上有一动点，连接，，直接写出的最小值为______； （4）若去掉题干中这个条件，点为外一点，连接，，，若，，则当线段的长度最小时，______，的最小值是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阳逻街2023—2024学年度八年级下学期期中测试 数学试题 答卷时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意得． 解得x≥3， 故选：A． 2. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，化简二次根式，根据最简二次根式的定义进行求解即可：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式是二次根式叫做最简二次根式． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除运算可进行求解． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意； B、，原计算错误，故不符合题意； C、，原计算正确，故符合题意； D、，原计算错误，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查二次根式的加减乘除运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． 4. 在中，，，的对边分别是a，b，c，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理．根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，故A选项不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故B选项不符合题意； 设，则，不能构成三角形，故C选项符合题意； 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴最大的角为， ∴是直角三角形，故D选项不符合题意； 故选：C 5. 下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直且相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形．正确． B、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形．错误． C、对角线相等的四边形不一定是平行四边形．错误． D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形．错误． 故选：A． 6. 如图，平行四边形中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质结合已知条件即可求解． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴． 故选：D． 7. 某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径，恰好互相垂直，小径的中点与点被湖隔开，若测得小径的长为，则，两点距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵，恰好互相垂直， ∴， ∵为的中点， ∴， 故选：A． 8. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，，则的长为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，设，则，，再证明，利用相似比得到，进而根据勾股定理求得，根据，求得，从而得到的长，然后利用勾股定理计算出的长，根据矩形的性质即可得出． 【详解】解：四边形为矩形， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， 即， （负值舍去）， ， ， ， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，在矩形中，R，P分别是，上的点，E，F分别是，的中点，当点P在上从点A向点D移动，而点R保持不动时，下列结论成立的是（ ） A. 线段的长逐渐增大 B. 线段的长逐渐减小 C. 线段的长不变 D. 线段的长先增大后减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、矩形的性质、勾股定理，连接，由三角形中位线定理可得，由矩形的性质结合勾股定理可得，由点保持不动可得长度不变，从而可得线段的长不变，熟练掌握三角形中位线定理是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， ，分别是，的中点， 是的中位线， ， 四边形为矩形， ， ， 点保持不动， 的长度始终不变， 的长不变， 故选：C． 10. 如图，中，对角线交于点，，分别是，的中点．下列结论正确的是（ ） ①；②；③平分；④平分；⑤四边形是菱形． A. ③⑤ B. ①②④ C. ①②③④ D. ①②③④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】由中点的性质可得出，且，结合平行即可证得②结论成立，由得出，即而得出，由中线的性质可知，且，，通过证得出得出①成立，再证得出④成立，此题得解． 【详解】解：令和的交点为点，如图 、分别是、的中点， ，且， 四边形为平行四边形， ，且， （两直线平行，内错角相等）， 点为的中点， ， 在和中，， ，即②成立， ，， （内错角相等，两直线平行）， ，点为平行四边形对角线交点， ， 为中点， ， ， ，为中点， 为中点，即，且， 在和中，， ， ， ，即①成立， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 平分，即④成立， 综上所述，正确的有①②④， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、中位线定理以及平行线的性质定理，解题的关键是利用中位线，寻找等量关系，借助于证明全等三角形找到边角相等． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 计算：的结果是___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式乘法运算，根据二次根式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：3． 12. 若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．利用同类二次根式的定义列出关于a的方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：1 13. 如图，在中，，平分，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线性质，勾股定理，全等三角形性质及判定．根据题意过点作交于点，再设，在中应用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：过点作交于点， ， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴在中应用勾股定理：，解得：， 故答案为：． 14. 四边形为矩形，以为边作等边三角形，连接，若，，则的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和勾股定理，根据矩形的性质，等边三角形的性质分当在矩形外面时和当在矩形内部时两种情况讨论即可，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，当在矩形外面时，过作，交的延长线于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， 如图，当在矩形内部时，过作，交的延长线于点， 同理∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：或． 15. 如图，在边长为8的菱形中，为边的中点，连接交对角线于点．若，则这个菱形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形面积，连接交于O，如图，根据菱形的性质得到，，再利用得到，证明得，则，所以，接着利用勾股定理计算出，从而得到，然后根据菱形的面积公式计算它的面积． 【详解】解：连接交于O，如图，     ∵四边形为菱形， ∴，， ∵E为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴菱形的面积． 故答案为：． 16. 如图，四边形中，于点，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，可得，从而，进而求得，因此，过点D作，交的延长线于点N，得到，从而，证明，得到，，在中，根据勾股定理构造方程即可求出，从而通过解直角三角形即可解答． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点D作，交的延长线于点N，则 ∵， ∴在中，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∵在中，， 即， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形．通过角的关系证得是解题的关键． 三、解答题（共8题，72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键； （1）先化简再计算即可； （2）把括号里的每一项都除以，再化简即可； 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 已知，，求下列各式的值． （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用已知得出，的值，进而结合完全平方公式计算得出答案； （2）结合平方差公式计算得出答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ， ∴ ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，求代数式的值，运用了整体代入的思想．正确运用乘法公式进行因式分解是解题关键． 19. 已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//DC，AB=DC， ∴∠BAE=∠DCF， 在△AEB和△CFD中， ， ∴△AEB≌△CFD（SAS）， ∴BE=DF． 【解析】 【分析】利用SAS证明△AEB≌△CFD，再根据全等三角形的对应边相等即可得． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 20. 在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求原来的路线AC的长． 【答案】（1） 解：是， 理由是：在△CHB中， ∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25， BC2=2.25， ∴CH2+BH2=BC2， ∴△CHB是直角三角形， ∴CH是从村庄C到河边的最近路； （2）原来的路线AC的长为1.25千米． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明△CHB是直角三角形即可； （2）设AC=x千米， 在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2， 再根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设AC=x千米， 在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2， 由勾股定理得：AC2=AH2+CH2 ∴x2=（x-0.9）2+1.22， 解这个方程，得x=1.25， 答：原来的路线AC的长为1.25千米． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答． 21. 在的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形的顶点坐标分别是，，，，仅用无刻度的直尺在给定的网格中作图并回答： （1）四边形周长是______； （2）连接格点D和点C，使，则格点D的坐标是______；并在边上画出点H使． （3）在线段上画点E，使（保留画图过程的痕迹）． 【答案】（1）20 （2），点即为所求 （3） 如图，点E即为所求， 【解析】 【分析】（1）根据已知坐标点即可求得对应线段的长度，即可求出四边形周长； (2)根据网格取点，点，连接、交于点H即可，即可利用全等三角形的性质证明垂直和平行； (3)利用网格特点连接，作出以为对角顶点的矩形的另一条对角线，得到两线交点后再与C点相连并反向延长交于点E，点E即为所求； 【小问1详解】 解：∵，，，， ∴，， ∴四边形周长为， 故答案为：20； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查作图，涉及全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题， 22. 如图，菱形中，对角线，交于点，点是的中点，延长到点，使，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明四边形为平行四边形，再根据菱形的性质得到，然后根据矩形的判定可证得结论； （2）根据矩形的对角线相等求得，再根据菱形的性质和勾股定理求出对角线，的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是矩形，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形的面积为． 23. 用四根一样长的木棍搭成菱形，是线段上的动点（点不与点和点重合），在射线上取一点，连接，，使． 操作探究一 （1）如图1，调整菱形，使，在射线上取一点N，使，则______，_______． 操作探究二 （2）如图2，调整菱形，使，在射线上取一点，使，连接，探索与的数量关系，并说明理由． 拓展迁移 （3）在菱形中，，．若点在直线上，且当时，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2）解：，理由如下： 四边形是菱形，， ，， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 如图2，作交于，则，， 在中，，， ， ， ； （3）长度为或 【解析】 【分析】（1）证明得到，，从而得到，推出为等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可得到答案； （2）证明得到，，从而得到，作交于，则，，根据含角的性质及勾股定理得出，从而得到； （3）当时，点和点重合，再分两种情况：当点在线段的延长线时，过点作于点；当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点；利用等腰直角三角形的性质以及锐角三角形函数进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 即； （2）略 （3）当时，点和点重合， 如图3，当点在线段的延长线时，过点作于点， 设， ，， 为等腰直角三角形， ， 四边形是菱形，，，， ，， 由菱形的对称性及可得， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ； 如图4，当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点， 设，同①可得：，， ， ， ， 综上所述，的长度为或． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、菱形的性质、正方形的性质、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 24. 如图1，在中，，，，点在轴上，以为一边，在外作等边三角形，是的中点，连接并延长交于． （1）①求点B的坐标； （2）如图2．将图1中的四边形折叠，使点与点重合，折痕为，求的长； （3）如图1，连接，在线段上有一动点，连接，，直接写出的最小值为______； （4）若去掉题干中这个条件，点为外一点，连接，，，若，，则当线段的长度最小时，______，的最小值是______． 【答案】（1）点的坐标为； （2）的长为； （3） （4），4 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形性质和勾股定理即可求得答案； （2）设，则，运用勾股定理建立方程求解即可求得答案； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，可得，当、、、在同一条直线上时，为最小值，再运用勾股定理即可求得； （4）以为边在内部作等边三角形，连接，可证得，得出，当线段的长度最小时，最小，即可求得答案． 【小问1详解】 解：在中，，，， ，， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，设， 是等边三角形， ， ， 由折叠得， 在中，， 即， 解得：， 的长为； 【小问3详解】 解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， 则，，，， 是等边三角形， ， ， 当、、、在同一条直线上时，为最小值， 是的中点，， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， 点是的中点， ， ， 、、三点在同一条直线上， ， ， 故答案为：； 【小问4详解】 解：如图，以为边在内部作等边三角形，连接， 则，， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， 当线段的长度最小时，最小， ， 的最小值为4，此时点落在线段上，， 的最小值为4； 故答案为：，4． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠变换和旋转变换的性质，勾股定理，两点之间线段最短等，正确添加辅助线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $