精品解析：广东省深圳外国语学校（集团）龙华高中部2025届高三第一次月考数学试题

深圳外国语学校（集团）龙华高中部2025届高三年级 第一次月考 数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则实数（ ） A. 2 B. C. 或4 D. 4 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的底面半径为2，高为4，有一个半径为1的圆柱内接于此圆锥，则该圆柱的侧面积是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是上的增函数 B. 的值域为 C. “”是“”的充要条件 D. 若关于的方程恰有一个实根，则 7. 已知函数满足，若在区间上恰有3个零点，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数具有以下的性质：对于任意实数和，都有，则以下选项中，不可能是值的是（ ） A. B. C. 0 D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若随机变量，，则（ ） A. B. C. D. 若，则 10. 已知三次函数有极小值点，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 函数有三个零点 C. 函数的对称中心为 D. 过可以作两条直线与的图象相切 11. 数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列四个结论，其中正确结论是（ ） A. 图形关于轴对称 B. 曲线恰好经过6个整点（即横､纵坐标均为整数的点） C. 曲线上存在到原点的距离超过的点 D. 曲线所围成的“心形”区域的面积大于3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且的周长为6，面积的最大值为，则椭圆的离心率为__________. 13. 已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．则a的值是__________ 14. 有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. （1）求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m） （2）求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 16. 已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. （1）求双曲线的方程； （2）若为双曲线上的两点且不关于原点对称，直线过的中点，求直线的斜率. 17. 如图，在四棱锥中，正方形所在平面与正所在平面垂直，分别为的中点，在棱上． (1)证明：平面． (2)已知，点到的距离为，求三棱锥的体积． 18. 蓝莓种植技术获得突破性进展，喷洒A型营养药有--定的改良蓝莓植株基因的作用，能使蓝莓果的产量和营养价值获得较大提升．某基地每次喷洒A型营养药后，可以使植株中的80%获得基因改良，经过三次喷洒后没有改良基因的植株将会被淘汰，重新种植新的植株． （1）经过三次喷洒后，从该基地的所有植株中随机检测一株，求-株植株能获得基因改良的概率； （2）从该基地多个种植区域随机选取-一个，记为甲区域，在甲区域第一次喷洒A型营养药后，对全部N株植株检测发现有162株获得了基因改良，请求出甲区域种植总数N的最大可能值； （3）该基地喷洒三次A型营养药后，对植株进行分组检测，以淘汰改良失败的植株，每组n株，一株检测费为10元，n株混合后的检测费用为元，若混合后检测出有未改良成功的，还需逐一检测，求n的估计值，使每株检测的平均费用最小，并求出最小值．（结果精确到0.1元） 19. “函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有，若函数的图象关于点对称，且当时， （1）求的值； （2）设函数 ①证明函数的图象关于点称； ②若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳外国语学校（集团）龙华高中部2025届高三年级 第一次月考 数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将B中元素分别代入，验证即可. 【详解】将B中元素分别代入，只有1符合， 则． 故选：D． 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件求出的代入形式，进而可得其共轭复数. 【详解】， 所以. 故选：B． 3. 已知向量，，若，则实数（ ） A. 2 B. C. 或4 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，，利用向量垂直的坐标表示，列方程求参数值. 【详解】由题设，， 所以，可得或4. 故选：C 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二倍角公式求得，切化弦后，结合同角三角函数平方关系可求得结果. 【详解】， ， . 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数值的求解问题，涉及到二倍角公式、同角三角函数平方关系的应用，属于较易题. 5. 已知圆锥的底面半径为2，高为4，有一个半径为1的圆柱内接于此圆锥，则该圆柱的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 作出轴截面，在轴截面中由相似三角形可求解． 【详解】如图，设圆柱的高为，由题意可得，所以，从而圆柱的侧面积， 故选：D. 【点睛】本题考查圆柱侧面积的计算公式，对旋转体解题时可作出轴截面，在轴截面中计算． 6. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是上的增函数 B. 的值域为 C. “”是“”的充要条件 D. 若关于的方程恰有一个实根，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，举例判断，对于B，先求出每一段的值域，再可求出函数的值域，对于C，由解不等式，再结合充要条件的定义分析判断，对于D，画出函数图象分析判断即可. 【详解】对于A，当时，，所以不是上的增函数，所以A错误， 对于B，当时，，当时，， 所以的值域为，所以B错误， 对于C，当时，由，得，解得， 当时，由，得，解得， 综上，由，得，或， 所以“”是“”的充分不必要条件，所以C错误， 对于D，的图象如图所示， 由图可知当时，直线与图象只有一个交点， 即关于的方程恰有一个实根，所以D正确， 故选：D 7. 已知函数满足，若在区间上恰有3个零点，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合周期性可知为的一条对称轴，进而可得在之后的零点，结合题意分析求解. 【详解】由题意可知，的最小正周期， 因为，可知为的一条对称轴， 所以在之后的零点依次为，，，，…， 若在区间上恰有3个零点，所以. 故选：C. 8. 已知函数具有以下的性质：对于任意实数和，都有，则以下选项中，不可能是值的是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意令得或；令可得，代入即可求解. 【详解】因为函数对于任意实数和，都有，所以令，有，即，所以或； 令，为任意实数，有，即； 因为，所以， 当时，；当时，； 所以的值不可能是， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若随机变量，，则（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正态分布的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，随机变量满足正态分布，且， 故，故A正确； 对于B，当时， 此时，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，，故单调递增， 故，即， 解得，故D正确. 故选：ACD 10. 已知三次函数有极小值点，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 函数有三个零点 C. 函数的对称中心为 D. 过可以作两条直线与的图象相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意可得，即可判断A；求出函数的单调区间及极值，即可判断B；求出即可判断C；设出切点，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点求出切点，即可判断D. 【详解】， 因为函数有极小值点， 所以，解得， 所以，， 当或时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又 所以函数仅有个在区间上的零点，故A正确，故B错误； 对于C，由， 得， 所以函数的图象关于对称，故C正确； 对于D，设切点为，则， 故切线方程为， 又过点，所以， 整理得，即， 解得或， 所以过可以作两条直线与的图象相切，故D正确. 故选：ACD. 11. 数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列四个结论，其中正确结论是（ ） A. 图形关于轴对称 B. 曲线恰好经过6个整点（即横､纵坐标均为整数的点） C. 曲线上存在到原点的距离超过的点 D. 曲线所围成的“心形”区域的面积大于3 【答案】ABD 【解析】 【分析】将换成方程不变，得到图形关于轴对称，根据对称性，分类讨论，逐一判定，即可求解. 【详解】对于A，将换成方程不变，所以图形关于轴对称，故A正确； 对于B，当时，代入可得，解得，即曲线经过点， 当时，方程变换为，由，解得，所以只能取整数， 当时，，解得或，即曲线经过， 根据对称性可得曲线还经过，故曲线一共经过6个整点，故B正确； 对于C，当时，由可得，（当时取等号），，，即曲线上轴右边的点到原点的距离不超过，根据对称性可得：曲线上任意一点到原点的距离都不超过，故C错误； 对于D，如图所示，在轴上图形的面积大于矩形的面积：，轴下方的面积大于等腰三角形的面积：，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于，故D正确； 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了命题的真假判定及应用，以及曲线与方程的应用，其中解答中合理利用图形的对称性，逐一判定是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且的周长为6，面积的最大值为，则椭圆的离心率为__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据题意列式，求出，结合离心率定义，即得答案. 【详解】依题意，的周长为， 所以面积的最大值为， 又，整理得,即, 解得，故椭圆的离心率为， 故答案为： 13. 已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．则a的值是__________ 【答案】3 【解析】 【分析】求出在点处的切线方程为，设该切线与切于点，求导得到，求出，从而得到方程，求出答案. 【详解】由题意知，，，， 则在点处的切线方程为， 即，设该切线与切于点， 其中，则，解得， 将代入切线方程，得， 则，解得； 故答案为：3 14. 有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】还原情境，利用独立重复实验的概率公式即可求解； 【详解】要想满足题意，则需要步两阶与步一阶， 由于登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，概率均为， 则所求概率为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. （1）求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m） （2）求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，则，，，由余弦定理得到，得到答案； （2）由余弦定理求出B的余弦值. 【小问1详解】 由题意得， 设，，则，， 由题意得. 在中，由余弦定理得 ， 解得或（舍去）， ∴ 【小问2详解】 由（1）知，，. ∴. 16. 已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. （1）求双曲线的方程； （2）若为双曲线上的两点且不关于原点对称，直线过的中点，求直线的斜率. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）先求出焦点坐标，再根据渐近线方程可求基本量，从而可得双曲线的方程. （2）利用点差法可求直线的斜率，注意检验. 【小问1详解】 椭圆的焦点为，故， 由双曲线的渐近线为，故，故， 故双曲线方程为：. 【小问2详解】 设，的中点为， 因为在直线，故， 而，，故， 故， 由题设可知的中点不为原点，故，所以， 故直线的斜率为. 此时， 由可得，整理得到：， 当即或， 即当或时，直线存在且斜率为1. 17. 如图，在四棱锥中，正方形所在平面与正所在平面垂直，分别为的中点，在棱上． (1)证明：平面． (2)已知，点到的距离为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，；根据线面平行的判定定理可分别证得平面和平面；根据面面平行判定定理得平面平面，利用面面平行性质可证得结论；（2）根据面面垂直性质可知平面，由线面垂直性质可得；根据等边三角形三线合一可知；根据线面垂直判定定理知平面，从而得到；设，表示出三边，利用面积桥构造方程可求得；利用体积桥，可知，利用三棱锥体积公式求得结果. 【详解】（1）取中点，连接， 为中点 又平面，平面 平面 四边形为正方形，为中点 又平面，平面 平面 ，平面 平面平面 又平面 平面 （2）为正三角形，为中点 平面平面，，平面平面，平面 平面，又平面 又，平面 平面 平面 设，则，， ，即：，解得： 【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、三棱锥体积的求解，涉及到线面平行的判定、面面平行的判定与性质、线面垂直的判定与性质、面面垂直的性质的应用等知识；解决三棱锥体积问题的常用方法是利用体积桥的方式，将问题转化为底面积和高易求的三棱锥的体积的求解问题. 18. 蓝莓种植技术获得突破性进展，喷洒A型营养药有--定的改良蓝莓植株基因的作用，能使蓝莓果的产量和营养价值获得较大提升．某基地每次喷洒A型营养药后，可以使植株中的80%获得基因改良，经过三次喷洒后没有改良基因的植株将会被淘汰，重新种植新的植株． （1）经过三次喷洒后，从该基地的所有植株中随机检测一株，求-株植株能获得基因改良的概率； （2）从该基地多个种植区域随机选取-一个，记为甲区域，在甲区域第一次喷洒A型营养药后，对全部N株植株检测发现有162株获得了基因改良，请求出甲区域种植总数N的最大可能值； （3）该基地喷洒三次A型营养药后，对植株进行分组检测，以淘汰改良失败的植株，每组n株，一株检测费为10元，n株混合后的检测费用为元，若混合后检测出有未改良成功的，还需逐一检测，求n的估计值，使每株检测的平均费用最小，并求出最小值．（结果精确到0.1元） 【答案】（1） （2）202株 （3），2.6元 【解析】 【分析】（1）由题意，获得基因改良的概率等于第一获得加上第二次获得加上第三次获得的概率，计算即可； （2）由二项分布的概率结合题意列不等式组，解出即可； （3）由二项分布的期望公式求出，再结合题意求出每组中每株检测的平均费用为，然后由二项式定理的展开求出，再结合基本不等式求出最后结果. 【小问1详解】 记事件“该基地的植株经过三次喷洒后，随机检测一株植株能获得基因改良”， 所以， 【小问2详解】 因为植株经过一次喷洒后基因改良的概率为0.8，经过一次喷洒后基因改良的株数k服从二项分布， ， 当时， 当时，设 若时，则 若时，则 ，所以， 解得，又，所以 所以甲区域种植总数N的最大可能值为202株． 【小问3详解】 设每组n株的总费用为X元，则X的取值为， 所以 X P 所以 则每组中每株检测的平均费用为 所以 因为 所以（当且仅当时等号成立） 所以当以10个每组时，检测成本最低，每株2.6元． 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键在于求出的值，可用二项式定理展开式求出. 19. “函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有，若函数的图象关于点对称，且当时， （1）求的值； （2）设函数 ①证明函数的图象关于点称； ②若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）4 （2）①证明见详解 ② 【解析】 【分析】（1）计算，令，即求. （2）①计算，由新定义即可证明. ②求出的值域，设在上的值域为，存在与恒成立思想可得是的值域的子集，再由二次函数的最值以及对称性求出，结合集合的包含关系即可求出范围. 【小问1详解】 由题意可得，，令，可得. 【小问2详解】 ①由，， ， 所以函数的图象关于点对称. ②，函数在上单调递增，所以， 不妨设在上的值域为，则， 因为时，， 所以，即函数的图象过对称中心， （i）当时，即，函数在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，所以在上单调递增， 由，，所以，所以， 由，可得，解得； （ii）当时，即，函数在上单调递减，在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 结合对称性可得， 或， 因为，所以，， 易知，又，所以， 所以当时，成立； （iii）当时，即时，函数在上单调递减， 由对称性可知，在上单调递减，所以函数在上单调递减， 又，，则，由得， ，解得. 综上可知，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $