特训01 数轴上的动点、距离、最值等问题-2024-2025学年六年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训01 数轴上的动点、距离、最值等问题 一、单选题 1．将在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（    ） A． B．1 C． D．3 2．数轴上点表示的数是，将点沿数轴移动单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 3．如图所示，把数轴上的点A先向左移动3个单位，再向右移动7个单位得到点B，若A与B表示的数互为相反数，则点A表示的数是（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字1，2，3，4，先让圆周上数字1所对应的点与数轴上的数2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向左滚动，数轴上的数1与圆周上的数2重合，数轴上的数与圆周上的数（    ）重合 A．1 B．2 C．3 D．4 5．一只跳蚤在数轴上从原点O开始沿数轴左右跳动，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它第次落下时，落点处对应的数为（    ） A． B． C． D． 6．一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进步后退步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退步，并且每步的距离为个单位长，表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，给出下列结论（1）；（2）；（3）；（4）；（5）其中，正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 7．数轴上一动点A，向左移动2个单位长度到B，再向右移动3个单位长度到C点，若点 C表示的数为5，则点A表示的数为 ． 8．点A表示数轴上的一个点，将点A向右移动10个单位长度，再向左移动8个单位长度，终点恰好是原点，则点A到原点的距离为 ． 9．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画一条长10厘米的线段，则盖住的整数点的个数共有 个． 10．在数轴上剪下8个单位长度（从1到9）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 11．如图，已知点A，（点A在点的左边）分别表示数1，，若数轴上表示数字5的点到和的距离相等，则的值为 ．    12．我们知道数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如可表示为数轴上和这两点的距离，而即则表示和这两点的距离．式子的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离，而，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．根据以上发现，则的最小值为 ． 13．四个互不相等的实数a，b，c，m在数轴上的对应点分别为A，B，C，M，其中，，c为整数，． （1）若，则A，B，C中与M距离最小的点为 ； （2）若在A，B，C中，点C与点M的距离最小，则符合条件的点C有 个． 14．如图，某点从数轴上的A点出发，第1次向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动2个单位长度至C点，第3次从C点向右移动3个单位长度至D点，第4次从D点向左移动4个单位长度至E点，…，依此类推，经过 次移动后该点到原点的距离为2018个单位长度． 15．正方形ABCD在数轴上的位置如图，点A、D对应的数分别为0和-1．若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1．则连续翻转5次后，数轴上5所对应的点是 ；连续翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是 ． 16．如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A向左移动2个单位长度到达点 A1，第二次将点A1，向右移动4个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动6个单位长度到达点A3，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点An，如果点An与原点的距离等于19，那么n的值是 ． 17．电子跳蚤落在数轴上的某点，第一步从向左跳1个单位到，第二步由向右跳2个单位到，第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到，…，按以上规律跳了140步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是2019．则电子跳蚤的初始位置点所表示的数是 ． 18．已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，P、Q两点到点B的距离相等． 三、解答题 19．如图，数轴上的点A、B、C、D，E分别表示有理数、、2、m、n． (1)求A、B两点之间的距离是多少？B、C两点之间的距离呢？B、D两点之间的距离呢？ (2)请用有理数m、n表示D、E两点之间的距离． 20．阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段；线段． 问题： (1)数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段___________； (2)数轴上点E、F代表的数分别为3和，则线段___________； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为12，求另一个点表示的数． 21．结合数轴、绝对值和方程的知识回答下列问题： 数轴上表示和的两点之间的距离是；表示和两点之间的距离是； 一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (1)如果表示数和的两点之间的距离是，那么可列方程为，则_____； (2)若数轴上表示数的点位于表示与的两点之间，则_____； (3)如果点表示、点表示、点表示，点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒，在一段时间内的值不变，直接写出的取值范围． 22．阅读下列材料： 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： (1)表示数轴上________与________所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点到________所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点到________所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得．这样的整数x有 ． 23．综合与实践，阅读理解： 【问题背景】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面：    【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数________对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数0对应的点与数________对应的点重合； 【问题拓展】 （3）若如（2）这样折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为11（点B在A点的右侧），则点A对应的数为________，点B对应的数为________； （4）在（3）的条件下，数轴上有一动点P，动点P从B点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（）． ①动点P从B点向右出发，t为何值时，P、A两点之间的距离为15个单位长度； ②请直接写出动点P从B点向左出发时，P、A两点之间的距离为15个单位长度的t的值． 24．请根据你对数轴的理解，解答下列问题： (1)请在图①的数轴上表示下列各数：，，，，并按从大到小的顺序用“”把它们连接起来； (2)如图②所示，数a和b在数轴上的位置如图所示，将，表示在数轴上，并比较它们的大小； (3)如图③所示，点A，B，C为数轴上的三个点，当点A为原点时，点B表示的数是2，点C表示的数是5；若以点B为原点，则点A表示的数是______；点C表示的数是______；若点A，C表示的两个数互为相反数，则点B表示的数是______． 25．预备知识：在数学中，把点与点之间的距离用表示 如图，在数轴上点表示数点表示数点表示数，已知数是最小的正整数，且满足．    (1) ， ， ； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，运动秒钟后，求三点在数轴上所表示的数（用含的式子表示），若在此过程中，的值保持不变，求的值． (3)在此数轴有上一动点对应的数为，求的最小值． 26．同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索 (1)求____________； (2)同样道理表示数轴上有理数x所对点到和1005所对的两点距离相等，则______________ (3)类似的表示数轴上有理数x所对点到和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是_________________． (4)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 27．点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是______ ，数轴上表示和的两点之间的距离是______ ． (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为______ ． (3)若表示一个有理数，，则 ______ ． (4)若表示一个有理数，则的最小值 ______ ． (5)若表示一个有理数，则的最大值 ______ ． 28．我们知道，表示数a所对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．由此我们可进一步地来研究数轴上任意两个点之间的距离．结合数轴，解答下面的问题：    (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)一般地，可总结出数轴上两点A、B对应的数用a，b表示，那么距离 ； (3)数轴上表示x和的两点A、B之间的距离是 ，若，那么x的值为 ； (4)请你借助“数轴上的距离”这个结论帮助小红解决下列问题： 一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”请问爷爷现在多少岁？ 29．综合与探究 数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题： (1)平移运动 一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换 ①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合． ②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ． ③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ． 30．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？ （ⅱ）探究问题：如图，点分别表示数、2、，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，， ∴的最小值是3，    请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：    解决问题： (1)直接写出式子的最小值是　　　　； (2)当为何值时，代数式的最小值是2； (3)式子的最小值是　　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训01 数轴上的动点、距离、最值等问题 一、单选题 1．将在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，正确理解有理数所表示的点左右移动后得到的点所表示的数是解题的关键．将在数轴上对应的点向右平移2个单位，在数轴上找到这个点，即得这个点所表示的数． 【解析】根据题意：数轴上所对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是1． 故选B． 2．数轴上点表示的数是，将点沿数轴移动单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查数轴上点移动后数字表示，解题关键是移动规律左减右加．根据数轴上点的移动规律，左减右加计算即可． 【解析】解：根据数轴上点的移动规律，左减右加， 可得点向左移动时：， 可得点向右移动时：， 综上可得点表示的数是或， 故选． 3．如图所示，把数轴上的点A先向左移动3个单位，再向右移动7个单位得到点B，若A与B表示的数互为相反数，则点A表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的应用，注意：a的相反数是．设A表示的数是a，根据题意得出方程，求出即可． 【解析】解：设A表示的数是a，根据题意得： ， 解得：， 即A点对应的数是． 故选：C． 4．如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字1，2，3，4，先让圆周上数字1所对应的点与数轴上的数2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向左滚动，数轴上的数1与圆周上的数2重合，数轴上的数与圆周上的数（    ）重合 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上规律问题，根据题意2和之间有个数，循环节为4，计算即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【解析】∵根据题意2和之间有个数，循环节为4， ∴， ∴数轴上的数与圆周上的数重合， 故选C． 5．一只跳蚤在数轴上从原点O开始沿数轴左右跳动，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它第次落下时，落点处对应的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】数轴上点的移动规律是“左加右减”，依据规律计算即可． 【解析】解：由题可得： = =， 故答案选：B． 【点睛】本题考查了数轴与图形的变化，数轴上点的移动规律是“左加右减”，把数和点对应起来，数形结合是解答本题的关键． 6．一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进步后退步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退步，并且每步的距离为个单位长，表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，给出下列结论（1）；（2）；（3）；（4）；（5）其中，正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】机器人每5秒完成一个循环，每个循环前进1步，n÷5的整数值即前进的步数，余数是1，总步数加1，是2加2，是3加3，是4加2． 【解析】依题意得：机器人每5秒完成一个前进和后退，即前5秒对应的数是1，2，3，2，1；根据此规律即可推导判断：（1）和（2），显然正确； （3）中，76÷5=15……1，故x76=15+1=16，77÷5=15……2，故x77=15+2=17，16＜17，故错误； （4）中，103÷5=20……3，故x103=20+3=23，104÷5=20……4，故x104=20+2=22，23＞22，故错误； （5）中，2018÷5=403……3，故x2018=403+3=406，2019÷5=403……4，故错误． 故选：B． 【点睛】本题考查的是归纳探索能力，确定循环次数和第n次的对应数字是解题的关键． 二、填空题 7．数轴上一动点A，向左移动2个单位长度到B，再向右移动3个单位长度到C点，若点 C表示的数为5，则点A表示的数为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了数轴，画出数轴，然后确定出点C的位置，再向左移动3个单位确定出点B，向右移动2个单位确定出A，即可得解，逆向思维确定出各点的位置是解题的关键，作出图形更形象直观． 【解析】解：如图所示： 点表示的数为4， 故答案为：． 8．点A表示数轴上的一个点，将点A向右移动10个单位长度，再向左移动8个单位长度，终点恰好是原点，则点A到原点的距离为 ． 【答案】2 【分析】设点A表示的数为x，然后根据向右平移加，向左平移减列出方程，再解方程即可得出答案. 【解析】设A表示的数是x， 依题意可得：x+10-8=0， 解得：x=-2， 则点A到原点的距离为2. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查的是数轴，解题时需注意点在数轴上移动，向右平移加，向左平移减. 9．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画一条长10厘米的线段，则盖住的整数点的个数共有 个． 【答案】11或10 【分析】本题主要考查了数轴的实际应用，学生一时想不出来，可以动手亲自画一画．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为10厘米的线段，则线段盖住的整点的个数可能正好是11个，当线段起点不在整点，那就是10个． 【解析】解：依题意得：①当线段起点在整点时覆盖个数； ②当线段起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖10个数． 故答案为：11或10． 10．在数轴上剪下8个单位长度（从1到9）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 【答案】4或5或6 【分析】由线段总长度及三条线段的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可． 【解析】解：∵线段长为8，这三条线段的长度之比为， ， ∴这三条线段的长度分别为2，2，4， 若剪下的第一条线段长为2，第2条线段长度也为2， 则折痕表示的数为：； 若剪下的第一条线段长为2，第2条线段长度为4， 则折痕表示的数为：； 若剪下的第一条线段长为4，第2条线段长度为2， 则折痕表示的数为：； ∴折痕表示的数为4或5或6， 故答案为：4或5或6． 【点睛】本题考查数轴与线段综合，列出三条线段所有可能的顺序是解题的关键． 11．如图，已知点A，（点A在点的左边）分别表示数1，，若数轴上表示数字5的点到和的距离相等，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离的表示方法是解题的关键． 由数轴上表示数5的点到和的距离相等得到，解得或，由点在点的左边可以得到． 【解析】解：数轴上表示数5的点到和的距离相等， ， 整理得：， 或， 解得：或， 点在点的左边， ， 故答案为：． 12．我们知道数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如可表示为数轴上和这两点的距离，而即则表示和这两点的距离．式子的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离，而，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．根据以上发现，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，由题意可知表示的是一个数到和的距离的和，而和间的距离为，据此即可求解，理解两点间的距离，就是两个点表示的有理数的差的绝对值是解题的关键． 【解析】解：∵表示的是一个数到和的距离的和，而和间的距离为， ∴的最小值为， 故答案为：． 13．四个互不相等的实数a，b，c，m在数轴上的对应点分别为A，B，C，M，其中，，c为整数，． （1）若，则A，B，C中与M距离最小的点为 ； （2）若在A，B，C中，点C与点M的距离最小，则符合条件的点C有 个． 【答案】 A 3 【分析】（1）若，，，求出m的值，再求出A，B，C中与M距离，比较大小，得出与M距离最小的点为A； （2）若在A，B，C中，点C是一个变化的点，点 M随它变化，因此也随之变化．点C与点M的距离最小，则符合条件的点C有3个． 【解析】解：（1）当，，时，， ，，， 所以A，B，C中与M距离最小的点为A． 故答案为：点A． （2）． ①当时，．，，，此时最小； ②当时，．，，，此时最小； ③当时，．，，，此时最小； 所以符合条件的点C有3个． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了实数大小比较的方法，在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 14．如图，某点从数轴上的A点出发，第1次向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动2个单位长度至C点，第3次从C点向右移动3个单位长度至D点，第4次从D点向左移动4个单位长度至E点，…，依此类推，经过 次移动后该点到原点的距离为2018个单位长度． 【答案】4035或4036 【解析】试题解析：由图可得：第1次点A向右移动1个单位长度至点B，则B表示的数为0+1=1； 第2次从点B向左移动2个单位长度至点C，则C表示的数为1-2=-1； 第3次从点C向右移动3个单位长度至点D，则D表示的数为-1+3=2； 第4次从点D向左移动4个单位长度至点E，则点E表示的数为2-4=-2； 第5次从点E向右移动5个单位长度至点F，则F表示的数为-2+5=3； …； 由以上数据可知，当移动次数为奇数时，点在数轴上所表示的数满足：（n+1）， 当移动次数为偶数时，点在数轴上所表示的数满足：-n， 当移动次数为奇数时，若（n+1）=2018，则n=4035， 当移动次数为偶数时，若-n=-2018，则n=4036． 故答案为4035或4036． 15．正方形ABCD在数轴上的位置如图，点A、D对应的数分别为0和-1．若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1．则连续翻转5次后，数轴上5所对应的点是 ；连续翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是 ． 【答案】 B D 【分析】根据题意可知每4次翻转为一个循环组依次循环，可得第5次翻转后5对应的点，再用2019除以4，根据余数可知点D在数轴上． 【解析】解：∵每4次翻转为一个循环组依次循环， ∴第5次翻转后5对应的点为B， ∵2019÷4=504…3， ∴翻转2019次后，2019在数轴上对应的点是D． 故答案为：B；D． 【点睛】本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键． 16．如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A向左移动2个单位长度到达点 A1，第二次将点A1，向右移动4个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动6个单位长度到达点A3，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点An，如果点An与原点的距离等于19，那么n的值是 ． 【答案】19或18 【分析】根据题意可以分别写出点A移动的规律，当点A奇数次移动后对应数的都是负数，偶数次移动对应的数都是正数，从而可知An与原点的距离等于19分两种情况，从而可以解答本题． 【解析】由题意可得， 第奇数次移动的点表示的数是：1+（﹣2）×， 第偶数次移动的点表示的数是：1+2×， ∵点An与原点的距离等于19， ∴当点n为奇数时，则﹣19=1+（﹣2）×， 解得，n=19； 当点n为偶数，则19=1+2× 解得n=18． 故答案为18或19． 【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是明确题意，可以分别写出点A奇数次和偶数次移动的关系式． 17．电子跳蚤落在数轴上的某点，第一步从向左跳1个单位到，第二步由向右跳2个单位到，第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到，…，按以上规律跳了140步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是2019．则电子跳蚤的初始位置点所表示的数是 ． 【答案】1949 【分析】易得每跳动2次，向右平移1个单位，跳动140次，相当于在原数的基础上加了70，相应的等量关系为：原数字+70=2019． 【解析】解：设k0点所对应的数为x， 由题意得：每跳动2次，向右平移1个单位，跳动140次，相当于在原数的基础上加了70， 则x+70=2019， 解得：x=1949． 即电子跳蚤的初始位置K0点所表示的数为1949． 故答案为：1949． 【点睛】本题考查了数轴、图形的变化规律，得到每跳动2次相对于原数的规律是解决本题的突破点． 18．已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，P、Q两点到点B的距离相等． 【答案】或30 【分析】利用已知条件先求出B、C在数轴表示的数，根据不同时间段，通过讨论P、 Q点的不同位置，找到对应的边长关系，列出关于的方程，进行求解即可． 【解析】∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0， ∴b﹣9＝0，c﹣15＝0， ∴b＝9，c＝15， ∴B表示的数是9，C表示的数是15， ①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，P表示的数为t﹣6，Q表示的数是9﹣3（t﹣6）， ∴P、Q两点到点B的距离相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝， ③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2（t﹣15），Q表示的数是﹣（t﹣9）， ∴P、Q两点到点B的距离相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30， 综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为秒或30秒， 故答案为：或30． 【点睛】本题主要是考查了数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨论，找到等量关系，列出关于时间的方程，并进行求解，这是解决这类问题的主要思路． 三、解答题 19．如图，数轴上的点A、B、C、D，E分别表示有理数、、2、m、n． (1)求A、B两点之间的距离是多少？B、C两点之间的距离呢？B、D两点之间的距离呢？ (2)请用有理数m、n表示D、E两点之间的距离． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离． （1）根据点A、B、C、D，E在数轴上所表示的数结合图形进行解答即可； （2）根据数轴上两点间的距离公式进行计算即可． 【解析】（1）解：； ； ； （2）解：． 20．阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段；线段． 问题： (1)数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段___________； (2)数轴上点E、F代表的数分别为3和，则线段___________； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为12，求另一个点表示的数． 【答案】(1)7 (2)4 (3)另一个点表示的数为17或7 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接根据数轴上两点间的距离求解即可； （2）直接根据数轴上两点间的距离求解即可； （3）分两种情况讨论，当另一个点在表示12的点的右侧或当另一个点在表示12的点的左侧，再根据数轴上两点间的距离求解即可． 【解析】（1）解：数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段， 故答案为：7； （2）解：数轴上点E、F代表的数分别为3和，则线段， 故答案为：4； （3）解：由题可得：①当另一个点在表示12的点的右侧时，； ②当另一个点在表示12的点的左侧时，， 综上，另一个点表示的数为17或7． 21．结合数轴、绝对值和方程的知识回答下列问题： 数轴上表示和的两点之间的距离是；表示和两点之间的距离是； 一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (1)如果表示数和的两点之间的距离是，那么可列方程为，则_____； (2)若数轴上表示数的点位于表示与的两点之间，则_____； (3)如果点表示、点表示、点表示，点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒，在一段时间内的值不变，直接写出的取值范围． 【答案】(1)或； (2)； (3)当时，的值不变． 【分析】（）根据绝对值的意义解方程即可求解； （）由得到所求式子的值为数表示的点到表示的点与到表示的点的距离之和，即为表示的点到表示的点的距离，根据两点间距离公式计算即可求解； （）根据题意可知，当点在线段上运动时，的值不变,分别求出点从点运动到点和到点的时间即可求解； 本题考查了数轴上两点间的距离及动点问题，掌握数轴上两点间的距离计算方法是解题的关键． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或； （2）解：∵， ∴所求式子的值为数表示的点到表示的点与到表示的点的距离之和，即为表示的点到表示的点的距离， ∴， 故答案为：； （3）解：根据题意可知，当点在线段上运动时，的值不变, 点从点运动到点的时间为秒， 点从点运动到点的时间为秒， ∴当时，的值不变． 22．阅读下列材料： 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： (1)表示数轴上________与________所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点到________所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点到________所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得．这样的整数x有 ． 【答案】(1)4，1 (2)5， (3)这样的整数点有 【分析】本题考查数轴上两点间的距离公式． （1）根据两点间的距离公式，进行作答即可； （2）根据两点间的距离公式，进行作答即可； （3）根据两点间的距离，得到在之间时，，即可得出结论． 掌握两点间的距离公式，是解题的关键． 【解析】（1）解：表示数轴上与所对应的两点之间的距离； 故答案为：4，1； （2）表示数轴上有理数x所对应的点到5所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点到所对应的点之间的距离； 故答案为：5，； （3）表示到之间的距离与到之间的距离的和为7， ∵到之间的距离为7， ∴在之间， ∴这样的整数x有． 23．综合与实践，阅读理解： 【问题背景】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面：    【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数________对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数0对应的点与数________对应的点重合； 【问题拓展】 （3）若如（2）这样折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为11（点B在A点的右侧），则点A对应的数为________，点B对应的数为________； （4）在（3）的条件下，数轴上有一动点P，动点P从B点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（）． ①动点P从B点向右出发，t为何值时，P、A两点之间的距离为15个单位长度； ②请直接写出动点P从B点向左出发时，P、A两点之间的距离为15个单位长度的t的值． 【答案】（1）3；（2）；（3），4.5；（4）①2；②13 【分析】（1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （2）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （3）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，列方程求解； （4）①根据题意，,点P对应的数为，用代数式表示，列方程求解即可； ②根据题意，点P在点A的左侧，点P对应的数为，用代数式表示，列方程求解即可． 本题考查了数轴上的动点问题以及数轴上两点之间的距离，难度较大，属于压轴题，熟练掌握数轴上两点之间的距离的表示方法是解题的关键． 【解析】解：（1）根据题意，得对称中心是原点，则数对应的点与数3对应的点重合； 故答案为：3 （2）因为数2对应的点与数对应的点重合， 所以，对称中心是数对应的点， ， 此时数0对应的点与数对应的点重合； 故答案为：0 （3）由（2）可知，对称中心是数对应的点， 数轴上A、B两点之间的距离为11（点B在A点的右侧）， 设点A对应的数为x，点B对应的数为， ， 解得：， 则， 所以，点A对应的数为，点B对应的数为， 故答案为：，； （4）①根据题意，, 点P对应的数为， ， 解得：， 答：t为2时，P、A两点之间的距离为15个单位长度； ②动点P从B点向左出发，P、A两点之间的距离为15个单位长度时， 此时，点P在点A的左侧， 点P对应的数为， ， 解得：， 答：时，P、A两点之间的距离为15个单位长度． 24．请根据你对数轴的理解，解答下列问题： (1)请在图①的数轴上表示下列各数：，，，，并按从大到小的顺序用“”把它们连接起来； (2)如图②所示，数a和b在数轴上的位置如图所示，将，表示在数轴上，并比较它们的大小； (3)如图③所示，点A，B，C为数轴上的三个点，当点A为原点时，点B表示的数是2，点C表示的数是5；若以点B为原点，则点A表示的数是______；点C表示的数是______；若点A，C表示的两个数互为相反数，则点B表示的数是______． 【答案】(1)数轴表示见解析， (2)数轴表示见解析， (3)；3； 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，数轴上两点的距离计算，熟知数轴上左边的数小于右边的数以及数轴上两点距离计算公式是解题的关键． （1）先在数轴上表示出各数，再根据轴上左边的数小于右边的数用大于号将各数连接起来即可； （2）根据题意可得，则，据此在数轴上表示出对应的数即可； （3）先算出，，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【解析】（1）解：数轴表示如下所示： ∴ （2）解：数轴表示如下所示： ∴； （3）解：∵原本点A为原点时，点B表示的数是2，点C表示的数是5， ∴，， ∴若以点B为原点，则点A表示的数是；点C表示的数是3； 若点A，C表示的两个数互为相反数， ∴的中点表示的数为0， ∵ ∴点B表示的数是， 故答案为：；3；． 25．预备知识：在数学中，把点与点之间的距离用表示 如图，在数轴上点表示数点表示数点表示数，已知数是最小的正整数，且满足．    (1) ， ， ； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，运动秒钟后，求三点在数轴上所表示的数（用含的式子表示），若在此过程中，的值保持不变，求的值． (3)在此数轴有上一动点对应的数为，求的最小值． 【答案】(1)，1，7 (2)点A表示的数为，点B表示的数为；点C表示的数为， (3)9 【分析】（1）根据数是最小的正整数，得出，根据绝对值和平方的非负性得出，即可得出a和c的值； （2）根数两点之间的距离表示方法，即可得出t秒后A、B、C三点表示的数，得出关于t的表达式，根据的值保持不变可知，的值与t无关，即可求出m的值． （3）根据绝对值的几何意义，可得表示点Q和的距离，表示点Q和7的距离，则当点Q在和7之间时，的值最小，即可求解． 【解析】（1）解：∵数是最小的正整数， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：，1，7； （2）解：根据题意可得： ∵， ∴t秒中后，点A表示的数为，点B表示的数为；点C表示的数为， ∴，， ∴， ∵的值保持不变， ∴的值与t无关，即， 解得：； （3）解：∵， ∴表示点Q和的距离， ∵表示点Q和7的距离， ∴当点Q在和7之间时，的值最小， 此时． 【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，绝对值的几何意义，数轴上两点之间距离的表示方法，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0，以及数轴上两点之间距离的表示方法． 26．同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索 (1)求____________； (2)同样道理表示数轴上有理数x所对点到和1005所对的两点距离相等，则______________ (3)类似的表示数轴上有理数x所对点到和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是_________________． (4)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)7 (2) (3) (4)3 【分析】（1）化简绝对值求解； （2）有理数x所对点在和1005所对的两点之间，化简绝对值，求解； （3）该点到所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为7，整数x可为； （4）当有理数x所对点在和6所对的两点之间时，有最小值，最小值为． 【解析】（1）解：； （2）解：由题知，，得 ； （3）解：式子理解为：在数轴上，某点到所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为7， 所以满足条件的整数x可为； （4）解：表示数轴上有理数x所对点到和6所对的两点距离之和， 当有理数x所对点在和6所对的两点之间时，有最小值，最小值为． 【点睛】本题考查数轴上两点间距离计算；理解两点间距离公式是解题的关键． 27．点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是______ ，数轴上表示和的两点之间的距离是______ ． (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为______ ． (3)若表示一个有理数，，则 ______ ． (4)若表示一个有理数，则的最小值 ______ ． (5)若表示一个有理数，则的最大值 ______ ． 【答案】(1)8,12 (2) (3)或 (4)3 (5)2022 【分析】（1）依据在数轴上A、B两点之间的距离求解即可 （2）依据在数轴上A、B两点之间的距离求解即可； （3）表示数轴上x和1的两点之间与x和的两点之间距离和为5，进行分类讨论 （4）依据绝对值的几何意义回答即可； （5）根据绝对值的几何意义解答即可； 【解析】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是：， 数轴上表示和的两点之间的距离是：， 故答案为：8,12 （2）解：数轴上表示和的两点之间的距离为：， 故答案为：， （3）解：，表示数轴上x和1的两点之间与x和的两点之间距离和为5， 当时， 则有 ， 解得， 当时， ， 此时x无解， 当， ， ， 或， 故答案为：或 （4）解：表示数轴上x和1的两点之间与x和的两点之间距离， 当x在1所表示的点和所表示的点组成的线段上时，此时的距离和最小， 最小值为：， 故答案为：3 （5）解：，表示数轴上x和1的两点之间与x和2023的两点之间距离只差， 要使为最大值，则x在2023的右边， 则最大值为：， 故答案为：2022 ． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．注意分类思想的运用． 28．我们知道，表示数a所对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．由此我们可进一步地来研究数轴上任意两个点之间的距离．结合数轴，解答下面的问题：    (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)一般地，可总结出数轴上两点A、B对应的数用a，b表示，那么距离 ； (3)数轴上表示x和的两点A、B之间的距离是 ，若，那么x的值为 ； (4)请你借助“数轴上的距离”这个结论帮助小红解决下列问题： 一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”请问爷爷现在多少岁？ 【答案】(1)3，3，4 (2)或 (3)或，1或 (4)70岁 【分析】（1）根据两点间的距离公式，列出算式求出答案即可； （2）根据两点间的距离公式进行解答即可； （3）根据两点间的距离公式列出方程，进行解答即可； （4）借助数轴，把小红和爷爷现在的年龄表示在数轴上，求出他们的年龄差，从而解答说明即可． 【解析】（1）∵，，， ∴表示2和5的两点之间的距离是3，数轴上表示和的两点之间的距离是3，数轴上表示1和的两点之间的距离是4， 故答案为：3，3，4； （2）或， 故答案为：或； （3）数轴上表示x和的两点A、B之间的距离是或， ∵|AB|＝2， ∴或， 解之得：或， 故答案为：或，1或； （4）由题意可得如下数轴：    数轴上点A表示小红现在的年龄，点B表示爷爷现在的年龄，之间的距离就是小红与爷爷的年龄差， 由题意可知：，点C、D之间的距离为， ∴， ∴（岁），（岁）， ∴小红的年龄为15岁，爷爷的年龄为70岁． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，数形结合是解答本题的关键． 29．综合与探究 数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题： (1)平移运动 一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换 ①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合． ②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ． ③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ． 【答案】(1)；1012 (2)①；②；1013；③ 【分析】本题考查图形变化的规律，熟知折叠后能重合的两个点到折点的距离相等是解题的关键． （1）根据机器人的运动方式，依次求出每次跳完落在数轴上时所表示的数，发现规律即可解决问题． （2）根据折叠后重合的点到折点的距离相等即可解决问题． 【解析】（1）解：根据机器人的运动方式可知， 它跳完第1次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第2次时，落在数轴上的点表示的数是：1； 它跳完第3次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第4次时，落在数轴上的点表示的数是：2； 它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第6次时，落在数轴上的点表示的数是：3； …， 由此可见，它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是n， 它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是； 当，即 时， ， 所以它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是； 当，即时， 可得它跳完第2024次时，落在数轴上的点表示的数是1012； 故答案为： ，1012． （2）①由表示的点与表示3的点重合可知， ， 则折点所表示的数为1． 因为， 所以表示5的点与表示的点重合． 故答案为：． ②因为折痕与①的折痕相同， 所以这次折叠的折点所表示的数也为1． 又因为， 所以点D表示的数为，点E表示的数为1013． 故答案为：，1013． ③由折叠可知， ， 因为点M、N表示的数分别是、8， 所以 ． 又因为点落在点N的右边，并且线段的长度为3， 所以． 因为，， 所以点P表示的数为． 故答案为：． 30．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？ （ⅱ）探究问题：如图，点分别表示数、2、，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，， ∴的最小值是3，    请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：    解决问题： (1)直接写出式子的最小值是　　　　； (2)当为何值时，代数式的最小值是2； (3)式子的最小值是　　 　． 【答案】(1)5 (2)或 (3)8 【分析】（1）把原式转化看作是数轴上表示的点与表示3与的点之间的距离最小值，进而问题可求解； （2）根据原式的最小值为2，得到在表示4的点的左边和右边，且到4距离为2的点即可获得答案； （3）设数轴上点分别表示数、1、5，点表示数，分情况讨论当点处在数轴上不同位置时式子的值，即可获得答案． 【解析】（1）解：的最小值是5，理由如下： ， 在数轴上点分别表示数、3、，如下图，    几何意义是线段与的长度之和， 当点在线段上时，， 当点在点的左侧或点的右侧时，， 所以，的最小值是5； （2）当为或时，代数式为或，数轴上表示数2的点到表示数4的点的距离为2，数轴上表示数6的点到表示数4的点的距离也为2， 所以，当为或时，原式的最小值是2； （3）式子的最小值是8，理由如下：①③④ 设数轴上点分别表示数、1、5，点表示数， ①如下图，当点在点左侧时，    ； ②如下图，当点与点重合时，    ； ③如下图，当点在线段上时，    ； ④如下图，当点与点重合时，    ； ⑤如下图，当点在线段上时，    ； ⑥如下图，当点与点重合时，    ； ⑦如下图，当点在点右侧时，    ． 综上所述，式子的最小值是8． 【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离问题是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$